定義：《実数の集合》の閉包　closure point, adherence

【閉包の定義】

　　→　距離のみを用いた閉包定義の表現
　　→　開区間を用いた閉包定義の表現
　　→　近傍を用いた閉包定義の表現
　　→　触点を用いた閉包定義の表現
　　→　境界を用いた閉包定義の表現
　　→　内点・境界点を用いた閉包定義の表現　
　　→　内部・境界を用いた閉包定義の表現
　　→　外点を用いた閉包定義の表現
　　→　集積点を用いた閉包定義の表現　
　　→　閉集合を用いた閉包定義の表現　
　　→　数列を用いた閉包定義の表現　　　

【閉包の性質】
【閉包の関連概念】
→《実数の集合》間の位置関係を表す概念一覧
→[トピック一覧：距離空間(R,d)]
→総目次　

閉包の定義　：　距離表現

・「《Rの部分集合E》の閉包」　 E
  ないし cl E　ないし　[E]　
　とは、

　下記【条件】のなかのaに代入することによって、下記【条件】を真にする実数を、
　あらゆる実数Rから、あつめ尽くした集合のこと。
　
　【条件】　　
　　εに設定した距離を変更して、《実数aからの距離ε以内のゾーン》の幅をどのように変えたときでも、
　　《実数aから距離ε以内のゾーン》に、「Eに属す実数」が実在している

・論理記号と集合の記号で表すと、

　　 E
  （ないし cl E , [E]　） =　{ a∈R  |　∀ε>0　∃x∈E |x-a|<ε}
　
　　　　　　「任意の正数ε>0に対して、ある実数x∈E－{a}　が存在して、|x-a|<εを満たす」を真にする実数aを収集した集合(真理集合)

【文献】
　見当たらない。
　上記は、触点を用いた閉包の定義のなかの触点・接触点を、その語義で上書きしたもの。

　　※記号　 E
  を採用するテキスト：
　　　　　　　　・松坂『解析入門3』12.1-C(p.53)
　　　　　　　　・高橋『経済学とファイナンスのための数学』1.1Ⅱ注1(p.5)　　　
　　※記号　cl E を採用するテキスト：
　　　　　　　　・奥野鈴村『ミクロ経済学Ｉ』数学付録2.C(p.264)　　　　　　　
　　※記号　[E] を採用するテキスト：
　　　　　　　　・小平『解析入門I』§1.6-b(p.56)脚注「閉包を表す定まった記号はない。ここでは高木貞治『解析概論』に従って[ ]を用いる」:R2


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閉包の定義　：　開区間表現


・「《Rの部分集合E》の閉包」　 E
  ないし cl E　ないし　[E]　
　とは、

　下記【条件】のなかのaに代入することによって、下記【条件】を真にする実数を、
　あらゆる実数Rから、あつめ尽くした集合のこと。
　
　【条件】　(a－ε, a＋ε) の幅εをどのように変えたときでも、
　　　　　　　(a－ε, a＋ε) に、最低一個以上の「Eに属す実数」の実在を確認できる

・論理記号と集合の記号で表すと、

　　 E
  （ないし cl E , [E]　） =　{ a∈R  |　∀ε>0 　 (a－ε, a＋ε) ∩E≠φ　}
　　　　　　　　　　　　　　　　　「任意の正数ε>0に対して、(a－ε, a＋ε) とEは、交わる」を真にする実数aを収集した集合(真理集合)
　　　　　　　　　　　　　=　{ a∈R  |　∀ε>0　∃x∈E　　　x∈(a－ε, a＋ε)　}　　　　
　　　　　　　　　　　　　=　{ a∈R  |　∀ε>0　∃x∈R　　x∈E かつ x∈ (a－ε, a＋ε) 　}　　　　
　　　　　　　　　　　　　=　{ a∈R  |　∀ε>0　∃x∈R　　x∈ (a－ε, a＋ε) ∩ E　}　　

【文献】
　見当たらない。
　上記は、
　　触点を用いた閉包定義のなかの触点・接触点を、その語義で上書きしたもの
　　ないし
　　近傍を用いた閉包定義のなかの

　　※記号　 E
  を採用するテキスト：
　　　　　　　　・松坂『解析入門3』12.1-C(p.53)
　　　　　　　　・高橋『経済学とファイナンスのための数学』1.1Ⅱ注1(p.5)　　　
　　※記号　cl E を採用するテキスト：
　　　　　　　　・奥野鈴村『ミクロ経済学Ｉ』数学付録2.C(p.264)　　　　　　　
　　※記号　[E] を採用するテキスト：
　　　　　　　　・小平『解析入門I』§1.6-b(p.56)脚注「閉包を表す定まった記号はない。ここでは高木貞治『解析概論』に従って[ ]を用いる」:R2


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閉包の定義　：　近傍表現


・「《Rの部分集合E》の閉包」　 E
  ないし cl E　ないし　[E]　
　とは、

　下記【条件】のなかのaに代入することによって、下記【条件】を真にする実数を、
　あらゆる実数Rから、あつめ尽くした集合のこと。
　
　【条件】　実数aの近傍Uε(a)の半径εをどのように変えたときでも、
　　　　　　　Uε(a)に、最低一個以上の「Eに属す実数」の実在を確認できる

・論理記号と集合の記号で表すと、

　　 E
  （ないし cl E , [E]　） =　{ a∈R  |　∀ε>0 　Uε(a) ∩E≠φ　}


【文献】
　・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,2.4(a)(p.60)
　・一楽『集合と位相―そのまま使える答えの書き方』問題3.3.14(pp.108-109)　

　　※記号　 E
  を採用するテキスト：
　　　　　　　　・松坂『解析入門3』12.1-C(p.53)
　　　　　　　　・高橋『経済学とファイナンスのための数学』1.1Ⅱ注1(p.5)　　　
　　※記号　cl E を採用するテキスト：
　　　　　　　　・奥野鈴村『ミクロ経済学Ｉ』数学付録2.C(p.264)　　　　　　　
　　※記号　[E] を採用するテキスト：
　　　　　　　　・小平『解析入門I』§1.6-b(p.56)脚注「閉包を表す定まった記号はない。ここでは高木貞治『解析概論』に従って[ ]を用いる」:R2

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閉包の定義　：　触点を用いた表現


・「《Rの部分集合E》の閉包」　 E
  ないし cl E　ないし　[E]　
　とは、

　「点集合Eの触点」を全部あつめた集合のこと。


【文献―触点を用いた定義】
　・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,2.4(a)(p.60):距離空間一般について。closure pointをε近傍で定義し、closure pointをあつめた集合を、closureとして定義。{ a | ∀ε>0 　Uε(a)∩ (E)≠φ }
　・高橋『経済学とファイナンスのための数学』1.1Ⅱ注1(p.5):R1。 近傍でpoint of closureを定義。point of closureをあつめた集合をclosure, もとの集合からclosureを除去した集合をboundaryと定義。{ x |∃y∈A ∀δ>0 |x-y|<δ}
　・Lang, Undergraduate Analysis,Chapter6§5Exercises1(p.131):"Let S be a subset of a normed vector space E(ex. R), and let S~ the set of all points of E which are adherent to S. .. We call S~ the closure of S."closure の性質。
　・佐久間『集合・位相―基礎から応用まで―』3.4(p.65)
　・杉浦『解析入門I』I§6定義1(p.50)

　　※記号　 E
  を採用するテキスト：
　　　　　　　　・松坂『解析入門3』12.1-C(p.53)
　　　　　　　　・高橋『経済学とファイナンスのための数学』1.1Ⅱ注1(p.5)　　　
　　※記号　cl E を採用するテキスト：
　　　　　　　　・奥野鈴村『ミクロ経済学Ｉ』数学付録2.C(p.264)　　　　　　　
　　※記号　[E] を採用するテキスト：
　　　　　　　　・小平『解析入門I』§1.6-b(p.56)脚注「閉包を表す定まった記号はない。ここでは高木貞治『解析概論』に従って[ ]を用いる」:R2

　　　
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閉包の定義　：　境界を用いた表現


・「《Rの部分集合E》の閉包」　 E
  ないし cl E　ないし　[E]　
　とは、

　Eと「Eの境界」の合併のこと。

・すなわち、

　　 E
  （ないし cl E , [E]　） =　E ∪ ∂E 　　



【文献―境界を用いた定義】
　・黒田『微分積分』定義8.5の直前(p.273):境界との合併。
　・小平『解析入門I』1.6-b(p.56):R2
　・松坂『集合・位相入門』第4章§1C(p.143)
　
　　※記号　 E
  を採用するテキスト：
　　　　　　　　・松坂『解析入門3』12.1-C(p.53)
　　　　　　　　・高橋『経済学とファイナンスのための数学』1.1Ⅱ注1(p.5)　　　
　　※記号　cl E を採用するテキスト：
　　　　　　　　・奥野鈴村『ミクロ経済学Ｉ』数学付録2.C(p.264)　　　　　　　
　　※記号　[E] を採用するテキスト：
　　　　　　　　・小平『解析入門I』§1.6-b(p.56)脚注「閉包を表す定まった記号はない。ここでは高木貞治『解析概論』に従って[ ]を用いる」:R2

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閉包の定義　：　内点・境界点を用いた表現


・「《Rの部分集合E》の閉包」　 E
  ないし cl E　ないし　[E]　
　とは、

　　「点集合Eの内点」「点集合Eの境界点」を全部あつめた集合のこと。

【文献】　
　・黒田『微分積分』定義8.5の直前(p.273);
　・松坂『集合・位相入門』第4章§1C(p.143)]
　・松坂『解析入門3』12.1(p.53)

　　※記号　 E
  を採用するテキスト：
　　　　　　　　・松坂『解析入門3』12.1-C(p.53)
　　　　　　　　・高橋『経済学とファイナンスのための数学』1.1Ⅱ注1(p.5)　　　
　　※記号　cl E を採用するテキスト：
　　　　　　　　・奥野鈴村『ミクロ経済学Ｉ』数学付録2.C(p.264)　　　　　　　
　　※記号　[E] を採用するテキスト：
　　　　　　　　・小平『解析入門I』§1.6-b(p.56)脚注「閉包を表す定まった記号はない。ここでは高木貞治『解析概論』に従って[ ]を用いる」:R2
　


閉包の定義　：　内部・境界を用いた表現


・「《Rの部分集合E》の閉包」　 E
  ないし cl E　ないし　[E]　
　とは、
　　
　「点集合Eの内部」と「点集合Eの境界」の合併のこと。

・すなわち、
　　 E
  （ないし cl E , [E]　） =　int E ∪ ∂E 　　　[de la Fuente2.4(a)式(3)(p.60)]　


【文献】　

・黒田『微分積分』定義8.5の直前(p.273);
・松坂『集合・位相入門』第4章§1C(p.143)
・松坂『解析入門3』12.1(p.53)
・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,2.4(a)式(3)(p.60)

　　※記号　 E
  を採用するテキスト：
　　　　　　　　・松坂『解析入門3』12.1-C(p.53)
　　　　　　　　・高橋『経済学とファイナンスのための数学』1.1Ⅱ注1(p.5)　　　
　　※記号　cl E を採用するテキスト：
　　　　　　　　・奥野鈴村『ミクロ経済学Ｉ』数学付録2.C(p.264)　　　　　　　
　　※記号　[E] を採用するテキスト：
　　　　　　　　・小平『解析入門I』§1.6-b(p.56)脚注「閉包を表す定まった記号はない。ここでは高木貞治『解析概論』に従って[ ]を用いる」:R2

閉包の定義　：　外点を用いた表現


・「《Rの部分集合E》の閉包」　 E
  ないし cl E　ないし　[E]　
　とは、

　「点集合Eの外点」でない実数を全部あつめた集合のこと。

【文献】　

　・松坂『集合・位相入門』第4章§1C(p.143);
　・松坂『解析入門3』12.1(p.53)


　　※記号　 E
  を採用するテキスト：
　　　　　　　　・松坂『解析入門3』12.1-C(p.53)
　　　　　　　　・高橋『経済学とファイナンスのための数学』1.1Ⅱ注1(p.5)　　　
　　※記号　cl E を採用するテキスト：
　　　　　　　　・奥野鈴村『ミクロ経済学Ｉ』数学付録2.C(p.264)　　　　　　　
　　※記号　[E] を採用するテキスト：
　　　　　　　　・小平『解析入門I』§1.6-b(p.56)脚注「閉包を表す定まった記号はない。ここでは高木貞治『解析概論』に従って[ ]を用いる」:R2

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閉包の定義　：　集積点を用いた表現


・「《Rの部分集合E》の閉包」　 E
  ないし cl E　ないし　[E]　
　とは、

　「点集合Eの集積点」を全部あつめて、
　　点集合Eに付け加えた集合のこと。


【文献―集積点を用いた定義】
　・高木『解析概論』第1章12(p.29)　
　・志賀『位相への30講』第14講(p.102)：距離区間一般。部分集合に、その部分集合の集積点をすべて付け加えて得られる集合。
　・加藤十吉『微分積分学原論』定義19.1(p.238)Rnについて。志賀と同じ。
　・Lang, Undergraduate Analysis,Chapter6§5Exercises13(p.132) ：Rのみならず、ノルムベクトル空間全般。
　・Lang,『ラング現代微積分学』の6章§5練習問題(p.144)には、第13問は未収録。

Let S be a subset of a normed vector space E.
 An element v of S is called isolated in S if there exists an open ball centered at v such that v is the only element of S in this open ball.
An element x of E is called an accumulation point (or point of accumulation)of S if x belongs to the closure of the set S-{x}.
(a) show that "x is adherent to S" ⇔ "x is either an accumulation point of S or an isolated point of S"
(b) show that the closure of S is the union of S and its set of accumulation points.

　　※記号　 E
  を採用するテキスト：
　　　　　　　　・松坂『解析入門3』12.1-C(p.53)
　　　　　　　　・高橋『経済学とファイナンスのための数学』1.1Ⅱ注1(p.5)　　　
　　※記号　cl E を採用するテキスト：
　　　　　　　　・奥野鈴村『ミクロ経済学Ｉ』数学付録2.C(p.264)　　　　　　　
　　※記号　[E] を採用するテキスト：
　　　　　　　　・小平『解析入門I』§1.6-b(p.56)脚注「閉包を表す定まった記号はない。ここでは高木貞治『解析概論』に従って[ ]を用いる」:R2

閉包の定義　：　閉集合を用いた表現


・「《Rの部分集合E》の閉包」　 E
  ないし cl E　ないし　[E]　
　とは、

　　　点集合Eを含む閉集合すべての共通部分、

　　　点集合Eを含む最小の閉集合のこと。


【文献―閉集合を用いた定義】
　・二階堂『現代経済学の数学的方法―位相数学による分析入門』§12(p.83):Eを含む最小の閉集合。
　・斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』4.1.11(p.104):Eの閉包とは、Eを含む閉集合すべての共通部分。Eの閉包は、Eを含む最小の閉集合。
　・奥野鈴村『ミクロ経済学Ｉ』数学付録2.C(p.264):記号cl
　・松坂『解析入門3』12.1D命題3(p.54)閉集合を、自らの境界点がすべて自分自身に属している集合と定義。その性質として。

　　※記号　 E
  を採用するテキスト：
　　　　　　　　・松坂『解析入門3』12.1-C(p.53)
　　　　　　　　・高橋『経済学とファイナンスのための数学』1.1Ⅱ注1(p.5)　　　
　　※記号　cl E を採用するテキスト：
　　　　　　　　・奥野鈴村『ミクロ経済学Ｉ』数学付録2.C(p.264)　　　　　　　
　　※記号　[E] を採用するテキスト：
　　　　　　　　・小平『解析入門I』§1.6-b(p.56)脚注「閉包を表す定まった記号はない。ここでは高木貞治『解析概論』に従って[ ]を用いる」:R2

閉包の定義　：　数列を用いた表現


　・「点集合Eの閉包」とは、
　　　　　　　{x∈R| ∃xi∈E, i∈N; xi→x} [一楽]


【文献】　
　・一楽『集合と位相―そのまま使える答えの書き方』定義3.3.4(p.108)：閉包は点列で定義。;問題3.3.14(pp.108-109):ε近傍を用いた定義に一致することを証明。

　　※記号　 E
  を採用するテキスト：
　　　　　　　　・松坂『解析入門3』12.1-C(p.53)
　　　　　　　　・高橋『経済学とファイナンスのための数学』1.1Ⅱ注1(p.5)　　　
　　※記号　cl E を採用するテキスト：
　　　　　　　　・奥野鈴村『ミクロ経済学Ｉ』数学付録2.C(p.264)　　　　　　　
　　※記号　[E] を採用するテキスト：
　　　　　　　　・小平『解析入門I』§1.6-b(p.56)脚注「閉包を表す定まった記号はない。ここでは高木貞治『解析概論』に従って[ ]を用いる」:R2

　→トピック一覧：《実数の集合》の閉包
　→《実数の集合》間の位置関係を表す概念一覧
　→距離空間(R,d)
　→総目次


《実数の集合》の閉包の性質

　
　・点集合Eと、点集合Eの境界の合併集合。
　　Eの閉包＝int E ∪ ∂E 　　
　　　　[de la Fuente2.4(a)式(3)(p.60)][一楽『集合と位相―そのまま使える答えの書き方』問題3.3.18(p.109)]
　・int E ⊂E⊂《Eの閉包》[de La Fuente2.4(a)式(1)(p.60)]
　・《Aの閉包》の閉包＝Aの閉包[黒田『微分積分』問8.1.3(p.275):Rn一般]
　・A⊂Bならば《Aの閉包》⊂《Bの閉包》 [小平『解析入門I』§1.6-b(p.56):R2]　

　→閉包と内部・外部・境界との関係　
　→閉包と、集積点・孤立点　

《実数の集合》の閉包の関連概念

・《実数の集合》の閉包の活用例：　　
・《実数の集合》を拡 張・一般化した境界概念：　《R2の部分集合》の閉包 / 《Rnの 部分集合》の閉包 / 《距離空間一般の部 分集合》の閉包　/ 位相空間一般における閉包

・《実数の集合》－《実数の集合》間の位置関係を表す概念一覧：内部/外部/境界/閉包/導集合　 　

・実数－《実数の集合》間の位置関係を表す概念一覧：内点/外点/境界点/触点・接触点/集積点/孤立点 　

・R上の位相概念間の関係一覧　

・距離空間(R,d)における概念一覧　　　　　


　→トピック一覧：《実数の集合》の閉包
　→《実数の集合》間の位置関係を表す概念一覧
　→距離空間(R,d)
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