《実数の集合》の境界 : トピック一覧
・定義:《実数の集合》の境界
・性質:《実数の集合》の境界
・関連概念
・リファレンス
→《実数の集合》間の位置関係を表す概念一覧 →距離空間(R,d) →総目次
定義:《実数の集合》の境界
[境界点を用いた定義]
・「点集合Eの境界」とは、Eの境界点をすべてあつめた集合。(a,b)、[a,b]ではa,bの2点。
{ x∈R | xは「Eの境界点」である } = { x∈R | xは「Eの境界点」である }
[内点・外点を用いた定義]
「点集合Eの境界」とは、Eの内点でも、Eの外点でもない点をあつめた集合のこと。
[高木『解析概論』第1章12(p.29);松坂『集合・位相入門』第4章§1B(p.142)]
[内部・外部を用いた定義]
「点集合Eの境界」とは R −( int E ∪ ext E )のこと。[松坂『集合・位相入門』第4章§1B(p.142)]]
・記号「∂E」な
どで表す。
《実数の集合》の境界の性質
・int E ∪ ext E ∪∂E =R [de la Fuente2.4(a)式(2)(p.60)]
・ Eの境界=Eの補集合の境界
[松坂『解析入門3』12.1-C(p.53);高木『解析概論』第1章12(p.29);黒田『微分積分』8.1.4(8.1.6)(p.272):Rn一般]
→内部・外部・境界の関係
→点集合の内部・外部・境界と、その補集合の内部・外部・境界との関係
→閉包と内部・外部・境界との関係
→内部・外部・境界と導集合との関係
《実数の集合》の境界の関連概念
・《実数の集合》の境界の活用例: 閉包の定義
・《実数の集合》を拡
張・一般化した境界概念: 《R2の部分集合》の境界 / 《Rnの
部分集合》の境界 / 《距離空間一般の部
分集合》の境界
・《実数の集合》−《実数の集合》間の位置関係を表す概念一覧:内部/外部/境界/閉包/導集合
・実数−《実数の集合》間の位置関係を表す概念一覧:内点/外点/境界点/触点・接触点/集積点/孤立点
・R上の位相概念間の関係一覧
・距離空間(R,d)における概念一覧
reference
・高木『解析概論』第1章12(p.29):特にRの例をあげず、一般的に。
・高橋『経済学とファイナンスのための数学』1.1U注1(p.5):R1において。「A−《Aの閉包》を、Aの境界boudaryと呼び、∂Aと書く」
・松坂『集合・位相入門』第4章§1B(p.142)
「Rnの点でMの内点でも外点でもない点をMの境界点とよび、Mの境界点全部の集合Rn−(Mi∪Me)をMの境界という。本書ではそれをMfで表す。定義から明らかに、aがMfの点であることは、aにどれほど近いところにも必ずMの点もMに属さない点も存在すること、もっと正確に言えば、どのような正数εをとっても、B(a;ε)∩M≠φ,B(a;ε)∩Mc≠φが成り立つことを意味する。」
・小平『解析入門I』p.56;.73.
・吹田・新保『理工系の微分積分学』p.155
・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,2.4(a)Definition4.5(iii)(p.59):距離空間一般において。
・一楽『集合と位相―そのまま使える答えの書き方』定義3.3.3(pp.100-101) :Rnにおいて。Aの境界点全体の集合のこと。
・杉浦『解析入門I』W章§9定義3(p.268):Rn
・加藤十吉『微分積分学原論』定義19.1(p.238):Rn;「Kの閉包−Kの内部」を、Kの境界という。
定義15.6開集合DのDに属さない集積点の全体を∂Dと書き、Dの境界という。(p.191)
・奥野鈴村『ミクロ経済学』数学附録T-2-B(pp.262-3)Rn上