定義：Rにおける位相概念間の関係　

【内点・外点・境界点の関係/内部・外部・境界の関係】
【点集合の内部・外部・境界と、その補集合の内部・外部・境界との関係】

【触点と内点・外点・境界点との関係/閉包と内部・外部・境界との関係】


【内点・外点・境界点と集積点】



【触点・閉包と、集積点・孤立点】





【無限集合・有限集合と集積点】

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内点・外点・境界点の関係　/　内部・外部・境界の関係 


【特定の点集合の内部・外部・境界の関係】

・《Rの部分集合E》に対して、Int E , Ext E, ∂E　は互いに交わらない(互いに素) 。
　つまり、Int E∩Ext E ＝ φ かつ　 Int E∩∂E ＝ φ　かつ　 Ext E∩∂E ＝ φ　

・《Rの部分集合E》に対して、Rは、int E , Ext E, ∂E　に直和分割される。　　　　　
　つまり、
　　R=Int E ＋ Ext E ＋ ∂E　

【特定の点集合の内点・外点・境界点の関係】

・《Rの部分集合E》に対して、
　　あらゆる実数は、《Eの内点》《Eの外点》《Eの境界点》のいずれか一つに該当する。

【文献】
　・de la Fuente,2.4(a)(p.60):intA∪extA∪Aの境界＝R
　・松坂『解析入門3』12.1-C(p.53):「Rの部分集合Aを与えると、Rは、《Aの内部》《Aの外部》《Aの境界》の三つの集合の直和に分割される」
　・松坂『集合・位相入門』第4章§1B(p.14２)「Rnは、Mi,Me,Mfの直和となる。」
　・黒田『微分積分』8.1.4(8.1.5)(p.272):Rn一般
　　　　「intA,extA,Aの境界は互いに交わらず、 R=intA∪extA∪Aの境界がなり立つ。」
　　　　　　　　　だから、R=intA ＋ extA + Aの境界 と直和分割される、ということ。

　

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特定の点集合の内部・外部・境界と、その点集合の補集合の内部・外部・境界との関係

・Int E = Ext (Ec ) 　  [松坂『解析入門3』12.1-C(p.53);黒田『微分積分』8.1.4(8.1.6)(p.272):Rn一般]
・Ext E = Int (Ec )　　[de la Fuente：2.4(a)(p.60);松坂『解析入門3』12.1-C(p.53);黒田『微分積分』8.1.4(8.1.6)(p.272):Rn一般]
・ ∂E  =  ∂(Ec )　　[松坂『解析入門3』12.1-C(p.53);高木『解析概論』第1章12(p.29);黒田『微分積分』8.1.4(8.1.6)(p.272):Rn一般]



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触点と内点・外点・境界点との関係、閉包と内部・外部・境界との関係

【閉包-内部関係】


・《Rの部分集合E》に対して、　Int E ⊂ E ⊂ [E] 

・《Rの部分集合E》に対して、すべての《Eの内点》は、Eの触点。　

[文献]
　・de la Fuente：2.4(a)(p.60);
　・松坂『解析入門3』12.1-C(p.52;53)]


【閉包-境界関係】


・《Rの部分集合E》に対して、[E] = E ∪ ∂E 

・《Rの部分集合E》に対して、
　すべての《Eの触点》は、Eに属す点か、《Eの境界点》か、その両方。　

[文献]
　・黒田『微分積分』定義8.5の直前(p.273):境界との合併;
　・小平『解析入門I』1.6-b(p.56):R2;
　・松坂『集合・位相入門』第4章§1C(p.143)
　・高橋『経済学とファイナンスのための数学』1.1Ⅱ注1(p.5)「A－《Aの閉包》は、Aの境界」とあるが、これは「《Aの閉包》－A」の間違い？

【閉包-内部・境界関係】


・《Rの部分集合E》に対して、　[E] = Int E ∪ ∂E 　　　

・《Rの部分集合E》に対して、
　すべての《Eの触点》は、《Eの内点》か、《Eの境界点》か、その両方。　

[文献]
　・de la Fuente2.4(a)式(3)(p.60)
　・一楽『集合と位相―そのまま使える答えの書き方』問題3.3.18(p.109)
　・黒田『微分積分』問8.1.3(p.275):Rn一般

【閉包-外部関係】


・《Rの部分集合E》に対して、　[E] = (Ext E)c = R－ Ext E　　　　　　
・《Rの部分集合E》に対して、
　すべての《Eの触点》は、《Eの外点》でない実数。　
　　　　
[文献]
　・黒田『微分積分』問8.1.3(p.275):Rn一般

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