定義：Rにおける位相概念間の関係　

【内点・外点・境界点の関係/内部・外部・境界の関係】

【点集合の内部・外部・境界と、その補集合の内部・外部・境界との関係】

【触点と内点・外点・境界点との関係/閉包と内部・外部・境界との関係】


【内点・外点・境界点と集積点】


【触点・閉包と、集積点・孤立点】


【無限集合・有限集合と集積点】

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   ある点集合の集積点は、その点集合の触点　　

・ 任意の《Rの部分集合E》について、　
　すべての《Eの集積点》 は、《Eの触点》。　　 　

　　　∀a∈R　 「aが《Eの集積点》 」⇒「aは《Eの触点》」
　　　∀a∈R　  a∈《Eの導集合》 ⇒ a∈ [ E ] 

・つまり、 任意の《Rの部分集合E》について、　《Eの導集合》 ⊂　 [ E ] 

・特に、
　任意の《R上の区間和E》については、
　すべての《Eの集積点》 が、《Eの触点》であるだけでなく、　
　すべての《Eの触点》も、《Eの集積点》となる。　

　つまり、　

　　任意の《R上の区間和E》については、　《Eの導集合》 =  [ E ] 

【文献】
・斎藤5.2.27(p.152)：位相空間全般において。《Aの集積点》∈《Aの閉包》。ということは、《Aの導集合》⊂《Aの閉包》？
・松坂『解析入門3』12.1-J-命題6a(p.63)。「Aの集積点はもちろんAの触点である」　
・Lang,『ラング現代微積分学』8章§1(p.175)。「Sの集積点は特にSの触点でもある」
・赤攝也『実数論講義』定義6.1.1;注意2(p.１２１)Aが区間和である場合においては、《Aの導集合》＝《Aの閉包》。
　

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ある点集合の触点は、その点集合の集積点か孤立点のいずれか一方。

・ 任意の《Rの部分集合E》について、　
　すべての《Eの触点》 は、《Eの集積点》か《Eの孤立点》のいずれか一方。
　
・



・
【文献】
・《Aの閉包》=《Aの導集合》∪《Aの孤立点の集合》, 《Aの導集合》∩ 《Aの孤立点全体の集合》=φ　　[黒田『微分積分』問8.1.4(ii)(iv)(p.275):Rn一般]
　　　　　　ということは、《Aの閉包》=《Aの導集合》＋《Aの孤立点の集合》と直和分解できる、ってこと？
・ "x is adherent to S" ⇔ "x is either an accumulation point of S or an isolated point of S"[Lang, Undergraduate Analysis,Chapter6§5Exercises13(p.132) ：Rのみならず、ノルムベクトル空間全般。和訳未収録]


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ある点集合の触点は、その点集合に属す元か、その点集合の集積点。

・ 任意の《Rの部分集合E》について、　
　すべての《Eの触点》 は、《Eに属す実数》か《Eの集積点》。
　

　　　　AがRの部分集合に過ぎない場合には、《Aの閉包》＝A∪《Aの導集合》[赤攝也『実数論講義』定義6.1.1;注意2(p.１２１)]
　　　・the closure of S is the union of S and its set of accumulation points.[Lang, Undergraduate Analysis,Chapter6§5Exercises13(p.132) ：Rのみならず、ノルムベクトル空間全般。和訳未収録]



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【文献】

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ある点集合の触点が、その点集合に属さないならば、その点集合の集積点。

・ 任意の《Rの部分集合E》について、　
　Eに属さない《Eの触点》 は、《Eの集積点》。
　
・特に、
　任意の《R上の区間和E》については、
　すべての《Eの触点》 が、《Eの集積点》であるだけでなく、　
　すべての《Eの集積点》も、《Eの触点》となる。　

・
　　　・《Aの閉包》−Aの点は、Aの集積点　　　　[斎藤5.2.27(p.152)：位相空間全般において]。ということは、《Aの閉包》−A⊂《Aの導集合》？
　　　・「Aに属さない《Aの閉包》の点は、Aの集積点」「《Aの閉包》はAにAのすべての集積点をつけ加えることによって得られる」[松坂『解析入門3』12.1-J(p.63)]


　　　・Aが区間和である場合においては、《Aの導集合》＝《Aの閉包》。[赤攝也『実数論講義』定義6.1.1;注意2(p.１２１)]


【文献】

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→位相概念間関係
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ある点集合の内部の触点は、その点集合の集積点。ある点集合の集積点は、その点集合の内部の触点。


　　　・《intAの閉包》=《Aの導集合》 [黒田『微分積分』問8.1.4(iv)(p.275):Rn一般]
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【文献】　
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