定義:《実数の集合》の集積点　accumulating point, accumulation point , point of accumulation 　極限点　limit point , cluster point

・ビギナー向け「集積点」定義　
・厳密な「集積点」定義　
　→集積点の操作的定義─タイプ0：距離のみを用いた表現/開区間を用いた表現/近傍を用いた表現/除外近傍を用いた表現 　
　→集積点の操作的定義─タイプ1：距離のみを用いた表現/開区間を用いた表現/近傍を用いた表現/触点を用いた表現/閉包を用いた表現　
　→集積点の操作的定義─タイプ2：距離のみを用いた表現/開区間を用いた表現/近傍を用いた表現　
　→数列をつかった集積点の定義　
・厳密な「集積点」定義間の関係
　・集積点定義タイプ0⇔集積点定義タイプ1/集積点定義タイプ0⇔集積点定義タイプ2/集積点定義タイプ0⇔数列をもちいた集積点定義　　
　・集積点定義タイプ1⇔集積点定義タイプ2/集積点定義タイプ2⇔数列をもちいた集積点定義　
・集積点と他の位相概念との関係
　→集積点と内点・外点・境界点との関係　　
　→集積点と触点・閉包との関係　　

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【ビギナー向け】　きわめて感覚的な「集積点」定義

・「実数aが『《実数の集合E》の集積点』である」とは、

　　　（実数aそのものではなく）「実数aの隣」に、《Eに属す実数》がある

　　　　　　〜つまり、実数aの直前か直後か、その両方が、《Eに属す実数》である〜　

　ということ。

・「実数aが『《実数の集合E》の集積点』である」ということは、

　実数aそのものが、《Eに属す実数》であるか、《Eに属さない実数》であるか、という点に、何ら関わらない。

・だから、下記いづれのケースでも、「実数aは『《実数の集合E》の集積点』である」と言ってよい。

　【ケース1】　実数a自体が《Eに属す実数》であって、実数aの直前か直後（ないしは、その両方）も、《Eに属す実数》であるとき　

　【ケース2】　実数a自体は《Eに属さない実数》だけれでも、実数aの直前か直後か（ないしは、その両方）が、《Eに属す実数》であるとき

・下記いづれのケースでも、「実数aは『《実数の集合E》の集積点』」ではない。

　【ケース1】　実数a自体は《Eに属す実数》であるが、実数aの両隣が、《Eに属さない実数》であるとき　（→Eの孤立点）　

　【ケース2】　実数a自体が《Eに属さない実数》であって、実数aの両隣も、《Eに属さない実数》であるとき　（→Eの外点）
　　　
・集積点感覚が馴染んだところで、《厳密な集積点定義》への即時アップグレード推奨。
　この定義には、決定的な不備があるので[下記の吹き出しコラム]。

　





【上記の「集積点」定義の曖昧さ】

　・自然数や整数のなかで考えるときは、自然数nの「直前」「直後」「隣」は、ハッキリしている。
　　たとえば、「3の直前」は2、「3の直後」は4、したがって、「3の隣」は2と4、というように。

　・ところが、実数の範囲に広げて考えると、実数aの「直前」「直後」「隣」は、何を指すのか、不明確になってしまう。　

　・たとえば、πの「直前」「直後」「隣」とは、何を指すのだろう？　
　　　　　・3は、πの「前」にはあるけれど、
　　　　　　　　　3よりは、3.1のほうが、πの「直前」には相応しい。
　　　　　・しかし、3.1よりは、3.14のほうが、πの「直前」には相応しい。
　　　　　・しかし、3.14よりは、3.145のほうが、πの「直前」には相応しい。
　　　　　・しかし、3.145よりは、3.1459のほうが、πの「直前」には相応しい。
　　　　　：
　　　　　：

　・こんな具合で、
　　実数aの「直前」「直後」「隣」は、確かにあるはずなのだけども、
　　これだと思って捕まえようとした途端、もっと、実数aに近い「直前」「直後」「隣」が必ず現れてくるので、
　　どこまでいっても、どの実数が実数aの「直前」「直後」「隣」なのか、明示できなくなってしまうのだ。

　　どの実数が実数aの「直前」「直後」「隣」なのか、明示できないということは、
　　　実数aの隣（直前・直後）が、「Eに属す実数」なのかどうかも、明示できない。
　　だから、上記の定義に照らし合わせて、
　　「実数aが『Eの集積点』である」がどうか判定しようとしても、
　　その結果を明示することは出来ないということになる。

　・こうした事態は、《切れ目がない》という実数の性質に起因する。
　　実数には《切れ目がない》から、実数aの「直前」「直後」「隣」にあたる実数は？という発想が不適切になるのだ。

　・それでは、実数aの「直前」「直後」「隣」にあたる実数がEに属すかどうかを問うのをやめて、
　　「実数aに限りなく近い実数」が、「Eに属す実数」かどうか問うことにすれば、
　　事態は改善するだろうか？

　・残念ながら、改善の見込みはない。
　　やはり、
　　　どの実数が「実数aに限りなく近い実数」なのか、明示できない、
　　　したがって、「実数aに限りなく近い実数」が「Eに属す実数」なのかどうかも、明示できない。
　　これでは、
　　ネーミングが、
　　　実数aの「直前」「直後」「隣」から、
　　　「実数aに限りなく近い実数」に変わった
　　というだけの話だ。

　・いっそのこと、
　　《切れ目がない》という実数の性質に逆らわず、
　　《切れ目がない》という実数の性質に素直に従ってみたらどうだろうか。

　　《切れ目がない》という実数の性質に逆らって、
　　「aの直前・直後・隣」の実数、「aに限りなく近い実数」という、個々の実数に着目しようとするのはやめてにして、
　　
　　《切れ目がない》という実数の性質に身を任せて、
　　実数aの前後をカバーする《切れ目がない》ゾーンに着目すれば、
　　もっと明確に「実数aが『Eの集積点』である」ということを定義できるのではないか。
　　この発想で組み立てられたのが、下段の厳密な「集積点」定義になる。






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厳密的な「集積点」定義　〜　アイデアだけ　

・「実数aが『《実数の集合E》の集積点』である」とは、

　「実数aの前後をまたぐ《切れ目のないゾーン》」をとると、
　「実数aの前後をまたぐ《切れ目のないゾーン》」をどれだけ狭くとったときも、
　「実数aの前後をまたぐ《切れ目のないゾーン》」に、
　　「実数a以外の《Eに属す実数》」が存在している
　ということ。

・つまり、

　【case1】　実数aが、《Eに属さない実数》である場合

　　　　→　　【case1-1】　「実数aの前後をまたぐ《切れ目のないゾーン》」をどこまで狭くとっても、
　　　　　　　　　　　　　　「実数aの前後をまたぐ《切れ目のないゾーン》」に《Eに属す実数》が実在。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→　実数aは『Eの集積点』。このとき、実数aは『Eの触点』でもある。

　　　　→　　【case1-2】　ある程度まで狭く「実数aの前後をまたぐ《切れ目のないゾーン》」をとると、
　　　　　　　　　　　　　　「実数aの前後をまたぐ《切れ目のないゾーン》」から《Eに属す実数》が消え失せる。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→　実数aは『Eの集積点』でない。このとき、実数aは『Eの外点』。

　【case2】　実数aが《Eに属す実数》である場合

　　　　→　　【case2-1】　「実数aの前後をまたぐ《切れ目のないゾーン》」をどこまで狭くとっても、
　　　　　　　　　　　　　　「実数aの前後をまたぐ《切れ目のないゾーン》」に《a以外のEに属す実数》が残る。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→　実数aは『Eの集積点』。このとき、実数aは『Eの触点』でもある。
　　　　→　　【case2-2】　ある程度まで狭く「実数aの前後をまたぐ《切れ目のないゾーン》」をとると、
　　　　　　　　　　　　　　「実数aの前後をまたぐ《切れ目のないゾーン》」から《a以外のEに属す実数》が消え失せて、
　　　　　　　　　　　　　　「実数aの前後をまたぐ《切れ目のないゾーン》」にある《Eに属す実数》は、 実数a一個だけになる。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→　実数aは『Eの集積点』でない。このとき、実数aは『Eの孤立点』であり、『Eの触点』でもある。

操作化された厳密な「集積点」定義

・上記アイデアの「実数aの前後をまたぐ《切れ目のないゾーン》」を、
　操作化したのが、下記集積点定義。

　→集積点の操作的定義─タイプ0：距離のみを用いた表現/開区間を用いた表現/近傍を用いた表現/除外近傍を用いた表現　
　→集積点の操作的定義─タイプ1：距離のみを用いた表現/開区間を用いた表現/近傍を用いた表現/触点を用いた表現/閉包を用いた表現　
　→集積点の操作的定義─タイプ2：距離のみを用いた表現/開区間を用いた表現/近傍を用いた表現　
　→数列を用いた集積点の定義　

【上記4タイプの集積点定義は、同値】

　→集積点定義タイプ0⇔集積点定義タイプ1　
　→集積点定義タイプ0⇔集積点定義タイプ2　
　→集積点定義タイプ0⇔数列をもちいた集積点定義　　
　→集積点定義タイプ1⇔集積点定義タイプ2　
　→集積点定義タイプ2⇔数列をもちいた集積点定義　

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【性質】

　・《Aの集積点をすべてあつめた集合》∩ 《Aの孤立点全体の集合》=φ　 　[黒田『微分積分』問8.1.4(ii)(p.275):Rn一般]
　→集積点と内点・外点・境界点との関係　　
　→集積点と触点・閉包との関係　　


　・無限集合・有限集合と集積点
　　　・Lang,『ラング現代微積分学』2章§1(p.43)は、Eを「数の無限集合」に限定して、集積点を定義している。
　　　これに対して、志賀『位相への30講』第4講(p.27)は、
　　　・Eが「有限個の点からなる集合のときには、」Eの「集積点は存在しない」
　
　・コンパクト集合と集積点　　　[斎藤5.2.28(p.152)：位相空間全般において]　

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【具体例】

　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』4.1.9数列との関連。ex4.1.7(p.139)：
　　(-1,4]∪{100}の集積点と孤立点
　　(-1,2)∪(2,5)
　　{1+1/n | n∈N}
　　{q∈Q | 0<q<1}
　　{1/2n | n∈N}
　　{n+1/n | n∈N}　
　　Z
　　{x∈R | x2-2x>3 }
　　{ (-1)n (1-1/n)  | n∈N}

　・ルディン『現代解析学』2.23例(p.34)
　　　(d) Z :  閉集合。開集合でない。完全集合でない。
　　　(e)1/n(n=1,2,3,…)からなる集合。この集合の元はどれも集積点ではないが、この集合は、集積点0をもつ。
　　　　　　　　　　　閉集合でない。開集合でない。完全集合でない。有界集合である。
　　　(g)開区間　：閉集合でない。開集合(R1の部分集合としては)。完全集合でない。有界集合である。

　・吹田新保『理工系の微分積分学』1章§2例9(p.16)
　　(0,1)の集積点全体からなる集合は、[0,1]。
　　[0,1]の集積点全体からなる集合は、[0,1]。
　　{q∈Q | 0<q<1}の集積点全体からなる集合は、[0,1]。

　・高木『解析概論』第1章7.集積点(p.14);
　　　数列に含まれる数の集合Sの集積点。
　　　数列のなかに、同じ数aが無数に繰り返して出てくる場合：aが「Sの集積点」であるとは限らない。
　　　数列のなかに、同じ数が無数に含まれることがなければ、
　　　その数列がaに収束することは、Sが有界で、aがSの唯一の集積点であることと同等。
　・志賀『位相への30講』第4講例1(p.27)：
　　　{(-1)n (1-1/n) | n=1,2,3,… }