[トピック一覧：基本行列]
・定義：基本行列[type1/2/3]　
・性質：基本行列と基本変形の対応、基本行列の正則性と逆行列、基本行列の積の正則性と逆行列　
※関連ページ：基本変形、掃き出す、階数　　　　
→総目次・線形代数目次・文献一覧

定義：基本行列elementary matrix　
　　[永田『理系のための線形代数の基礎』1.7(p.39);藤原『線形代数』2-3(pp.37-46);
　　斎藤『線形代数入門』2章§4(pp.46-47);ホフマン・クンツェ『線形代数学I』1.3(pp.6-7)。
　　志賀『線形代数30講』11講(pp.71-74);19講(pp.121-125);20講(p.129)]
(舞台設定)
R：実数をすべて集めた集合（実数体）　
A：(m,n)型実行列　

(本題)
実数体R上のn次基本行列とは、次の3つのtypeの「実数体R上のn次正方行列」のこと。　
・基本行列type 1：P_n ( i, j, c_i,j )　
　　[永田『理系のための線形代数の基礎』1.7(p.39);藤原『線形代数』2-3(pp.37-46);　
　　　　斎藤『線形代数入門』2章§4(pp.46-47);ホフマン･クンツェ『線形代数学I』1.3(pp.6-7)。]
　・「実数体R上のn次単位行列」の非対角成分の一つを、　
　　　c_i,j∈Rで上書きしてつくった「実数体R上のn次正方行列」。
　・詳しく言えば、基本行列P_n ( i, j, c_i,j )とは、以下の3条件をすべて満たす「実数体R上のn次正方行列」。
　　　条件１：すべての対角成分が「実数体Rにおける乗法の単位元『1』」であり、
　　　条件2：ある一つの( i, j )成分[ただしi≠j ]がc_i,j∈R、　　　
　　　条件3：上記の( i, j )成分を除く非対角成分がすべて「実数体Rにおける加法の単位元『０』」　
　・j<i　である場合の基本行列P_n ( i, j, c_i,j )の例
　　　　　　　　　　
　　・i<j　である場合の基本行列P_n ( i, j, c_i,j )の例
　　　　　　　　　　
　・実数体R上の(m,n)型実行列Aに、右からn次基本行列type 1：P_n ( i, j, c_i,j )をかけると、
　　(m,n)型実行列Aに列基本変形type1を施したことになる。　
　　※本当？→証明　　
　・実数体R上の(m,n)型実行列Aに、左からm次基本行列type 1：P_m ( i, j, c_i,j )をかけると、
　　(m,n)型実行列Aに行基本変形type1を施したことになる。
　　※本当？→証明　　
　・n次基本行列type 1：P_n ( i, j, c_i,j )は正則行列。その逆行列は、n次基本行列type 1：P_n ( i, j,−c_i,j )。　
　　※本当？→証明　　

→[トピック一覧：基本行列]　　　
→総目次・線形代数目次

・基本行列type 2：Q_n ( i, j )　
　　[永田『理系のための線形代数の基礎』1.7(p.39);藤原『線形代数』2-3(pp.37-46);
　　斎藤『線形代数入門』2章§4(pp.46-47);ホフマン・クンツェ『線形代数学I』1.3(pp.6-7)。]
　・「実数体R上のn次単位行列」の二つの列を入れ替えてつくった「実数体R上のn次正方行列」。
　・詳しく言えば、以下の4条件をすべて満たす「実数体R上のn次正方行列」。　　
　　条件１：対角成分のうち、( i, i )成分と( j, j )成分[ただしi≠j ]の二つが
　　　　　　　　　　　　　　　　「実数体Rにおける加法の単位元『０』」。　
　　条件2：上記の( i, i )成分と( j, j )成分の二つを除くすべての対角成分が、　　
　　　　　　　「実数体Rにおける乗法の単位元『1』」。　　
　　条件3：非対角成分のうち、上記のi , j に応じてきまる( i, j )成分と( j, i )成分の二つが、　　
　　　　　　　「実数体Rにおける乗法の単位元『1』」。　　　
　　条件4：上記の( i, j )成分と( j, i )成分を除く非対角成分がすべて「実数体Rにおける加法の単位元『０』」。
　・i<j　である場合の基本行列P_n ( i, j, c_ij )の例
　　　　　　　　　　
　・実数体R上の(m,n)型実行列Aに、右からn次基本行列type 2：Q_n ( i, j )をかけると、
　　(m,n)型実行列Aに列基本変形type2を施したことになる。　
　　※本当？→証明　
　・実数体R上の(m,n)型実行列Aに、左からm次基本行列type 2：Q_n ( i, j )をかけると、
　　(m,n)型実行列Aに行基本変形type2を施したことになる。　
　　※本当？→証明　
　・n次基本行列type 2：Q_n ( i, j )は正則行列で、その逆行列も、n次基本行列type 2：Q_n ( i, j )。　
　　※本当？→証明　

→[トピック一覧：基本行列]　　　
→総目次・線形代数目次

・基本行列type 3：R_n ( i, c )　
　　[永田『理系のための線形代数の基礎』1.7(p.39);藤原『線形代数』2-3(pp.37-46);
　　斎藤『線形代数入門』2章§4(pp.46-47);ホフマン・クンツェ『線形代数学I』1.3(pp.6-7)。]
　・「実数体R上のn次単位行列」の対角成分の一つを、
　　　c∈Rで上書きしてつくった「実数体R上のn次正方行列」。
　・詳しく言えば、以下の3条件をすべて満たす「実数体R上のn次正方行列」。　　
　　条件１：ある一つの対角成分( i, i )成分がc∈R。　
　　条件2：上記の( i, i )成分を除くすべての対角成分が、「実数体Rにおける乗法の単位元『1』」。　　
　　条件3：非対角成分がすべて「実数体Rにおける加法の単位元『０』」。　　　
　　　　　　　　　　　
　・実数体R上の(m,n)型実行列Aに、右からn次基本行列type 3：R_n ( i, c )をかけると、
　　(m,n)型実行列Aに列基本変形type3を施したことになる。　
　　※本当？→証明　　　　
　・実数体R上の(m,n)型実行列Aに、左からm次基本行列type 3：R_n ( i, c )をかけると、
　　(m,n)型実行列Aに行基本変形type3を施したことになる。　
　　※本当？→証明　　　　
　・n次基本行列type 3：R_n ( i, c )は正則行列で、その逆行列は、n次基本行列type 3：R_n ( i, c^−１ )。　
　　※本当？→証明　　　

→[トピック一覧：基本行列]　　　
→総目次・線形代数目次

定理：基本行列と基本変形の対応関係　　　　
　　[永田『理系のための線形代数の基礎』1.7(p.39);藤原『線形代数』2-3(pp.37-39);
　　斎藤『線形代数入門』2章§4(pp.46-47);]
(舞台設定)
R：実数をすべて集めた集合（実数体）　
A：(m,n)型実行列　

(本題)　
・実数体R上の(m,n)型実行列Aに、右からn次基本行列type 1：P_n ( i, j, c_i,j )をかけると、
　(m,n)型実行列Aに列基本変形type1を施したことになる。　
　　※本当？→証明　　
・実数体R上の(m,n)型実行列Aに、左からm次基本行列type 1：P_m ( i, j, c_i,j )をかけると、
　(m,n)型実行列Aに行基本変形type1を施したことになる。
　　※本当？→証明　　
・実数体R上の(m,n)型実行列Aに、右からn次基本行列type 2：Q_n ( i, j )をかけると、
　(m,n)型実行列Aに列基本変形type2を施したことになる。　
　　※本当？→証明　
・実数体R上の(m,n)型実行列Aに、左からm次基本行列type 2：Q_n ( i, j )をかけると、
　(m,n)型実行列Aに行基本変形type2を施したことになる。　
　　※本当？→証明　
・実数体R上の(m,n)型実行列Aに、右からn次基本行列type 3：R_n ( i, c )をかけると、
　(m,n)型実行列Aに列基本変形type3を施したことになる。　
　　※本当？→証明　　　　
・実数体R上の(m,n)型実行列Aに、左からm次基本行列type 3：R_n ( i, c )をかけると、
　(m,n)型実行列Aに行基本変形type3を施したことになる。　
　　※本当？→証明　　　

→[トピック一覧：基本行列]　　
→総目次・線形代数目次　　

定理：基本行列の正則性と逆行列　　　
　　　[永田『理系のための線形代数の基礎』1.7(p.40);斎藤『線形代数入門』2章§4(pp.46-47);]　
・n次基本行列type 1：P_n ( i, j, c_i,j )は正則行列。その逆行列は、n次基本行列type 1：P_n ( i, j,−c_i,j )。　
　　※本当？→証明　
・n次基本行列type 2：Q_n ( i, j )は正則行列で、その逆行列も、n次基本行列type 2：Q_n ( i, j )。　
　　※本当？→証明　　　　　
・n次基本行列type 3：R_n ( i, c )は正則行列で、その逆行列は、n次基本行列type 3：R_n ( i, c^−１ )。　
　　※本当？→証明　　

→[トピック一覧：基本行列]　　
→総目次・線形代数目次　　

定理：基本行列の積の正則性と逆行列　　　
　n次基本行列A,Bの行列積ABは正則行列であって、(AB)^-1=B^-1A^-1 。　
(証明)　　
　・n次基本行列A,Bは、その定義により、n次正方行列である。…(1)　
　・n次基本行列A,Bは、正則行列である。（∵）　…(2)　　　　
　・定理「n次正方行列A,Bが正則行列ならば、行列積ABも正則行列であって、(AB)^-1=B^-1A^-1 」…(3)　　
　・(1)(2)より、n次基本行列A,Bは、(3)の条件を満たす。
　　ゆえに、n次基本行列A,Bの行列積ABは正則行列であって、(AB)^-1=B^-1A^-1 　　

→[トピック一覧：基本行列]　　
→総目次・線形代数目次　　

(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目83行列D行列の階数(p.220)
線形代数のテキスト
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、11講消去法と基本変形(pp.71-74);19講正則行列と基本行列(pp.121-125);第20講基本変形(p.129)。
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.3基底と次元(pp.41-50)。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、�Vベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。線形従属・独立については、数ベクトルに限定？
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。 線形従属・独立については、数ベクトルに限定？
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§2線形空間(p.96):実線形空間･複素線形空間のみ;附録�V§2体(p.249)。

→[トピック一覧：基本行列]　　　
→総目次・線形代数目次