行列の標準形と階数rank  ：　トピック一覧　


・標準形への変形可能
　→　基本行列の積を用いた表現
　→　正則行列を用いた表現　

・標準形

・階数

・階数の一意性　

【関連ページ】
　
　・基本行列
　・行列の基本変形
　・掃き出す　

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定義：行列の標準形、階数　rank　　

　[斎藤『線形代数入門』2章§4定理4.2(pp.50-51);砂田『行列と行列式』§4.2定理4.11(p.144);永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.7.4(p.41).]　
　
(舞台設定)　　　　
K：体（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
A：体K上の(m,n)型行列　
(本題1：標準形への変形可能)　　　　
　体K上の(m,n)型行列Aは、どのようなものでも、基本変形のみを用いて、
　次に示す標準形D(m,n,r)に変形できる。　　
　　　　　行列の標準形　　
　　　　　　　
　これは、(1,1)成分, (2,2)成分, …, (r,r)成分というr個の成分だけが1、　　
　　　　　そのほかの成分はすべて０　　　
　という行列。　　　
　※本当？→証明　　　　
　※他の表現→基本行列を用いた表現/正則行列を用いた表現　　　　　
（本題2：標準形）
　　r=0とした際の標準形D(m,n,０)は零行列であり、
　　m=n=r とした際の標準形D(m,m,m)は、単位行列Imである。　　
（本題3：階数）
　　この行列D(m,n,r)上にある1の個数rを、Aの階数rankと呼び、rank A、rank(A)などで表す。
（本題4：階数の一意性）
　　Aの階数rank A=r　は、Aのみによって決まり、基本変形の順序・やりかたなどには依存しない。　　
　　※本当？→証明　　

（本題1の、基本行列の積を用いた表現）　　
　任意の「体K上の(m,n)型行列」Aにたいして、　
　　　ある有限個のm次基本行列をかけあわせた行列積Pmと、　　
　　　ある有限個のn次基本行列をかけあわせた行列積Pnと、
　　　ある「０を含めた自然数」rが存在し、　　
　Pm A Pn =D(m,n,r)　　
　　　　行列の標準形　　
　を満たす。　[砂田『行列と行列式』§4.2定理4.8(p.140);定理4.11(p.144);定理4.13(pp.145-6);]　　
　　※本当？→証明　　

（本題1の、正則行列を用いた表現）　　
　任意の「体K上の(m,n)型行列」Aにたいして、　
　　　　あるm次正則行列Pmと、あるn次正則行列Pnと、　　
　　　　ある「０を含めた自然数」rが存在し、　　

　Pm A Pn =D(m,n,r)　　
　　　　　行列の標準形　　
　を満たす。　[砂田『行列と行列式』§4.2定理4.8(p.140);定理4.11(p.144);定理4.13(pp.145-6);]　
　※なぜ？　
　・ある有限個の基本行列を掛け合わせた行列積はすべて、正則行列である（∵）。　
　・逆に、正則行列はすべて、ある有限個の基本行列を掛け合わせた行列積として表せる（∵）。　
　・上記2点より、「基本行列の行列積」と「正則行列」は、言換え可能であるから、
　　（本題1の基本行列の積を用いた表現）のなかにあらわれる「基本行列の行列積」を、
　　「正則行列」を言いかえてよい。　


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(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目83行列D行列の階数(p.220)
線形代数のテキスト
・斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第2章§4行列の基本変形・階数(pp.50-51);第4章§5線形写像とくに線形変換(pp.115-7)。
・永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.7行列の階数と基本変形:定理1.7.4-1.7.6(pp.41-42)。
・砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§4.2行列の階数と標準形(pp.140-7).
・藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、2.3行列の基本変形と階数(p.42);4.3線形写像の階数と行列の階数(pp.102-7).
・志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、21講線形写像の核と行列の階数(pp.132-7)。

数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§5.2.6行列の階数(p.186)。