ノルムとノルム空間の定義　：　トピック一覧

・定義：ベクトルのノルム/ノルム空間、単位ベクトル/ノルムから定められる距離　
・性質：ノルム空間と距離空間/単位ベクトル化　
※計量実ベクトル空間関連ページ：内積・計量実ベクトル空間の定義/内積の性質/計量同型写像　
　　　　　　　　　　　　　　　正規直交系･正規直交基底の定義/直交系・直交基底と内積/直交系･正規直交系の性質/正規直交基底の存在と構成//直交補空間
※ノルム空間の具体例：実n次元数ベクトル空間Rnに定義されたノルム空間/実n次元数ベクトル空間Rnに 定義されたユークリッドノルム /Rnに 定義された変分ノルム 　　

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定義：実ベクトル空間におけるノルム norm　「ノルムの公理」　


【舞台設定】　

　R：実数体　
　V：実ベクトル空間　

【本題】

　・実ベクトル空間Vに属す任意のベクトルxに対して、実数∥x∥を定める関係があって、
　　次の[要件1]～[要件3]を満たすとき、
　∥x∥を、xのノルム normとよぶ。

　[要件1：非負性]　任意のx∈Vにたいして、∥x∥≧０　であって、　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∥x∥=０となるのはxが零ベクトルである場合のみに限る。
　　　　　　　　　　論理記号で表すと、(∀x∈V) ( ( ∥x∥≧０ ) かつ (∥x∥=０⇔x=〇) )　
　　　　　　　　　　　　　　あるいは、(∀x∈V) ( ( ∥x∥≧０ ) かつ (x≠〇⇒∥x∥>０) )　　
　[要件2：線形性]　任意のx∈Vと任意の実数aにたいして、∥ax∥=｜a｜∥x∥
　　　　　　　　　　論理記号で表すと、(∀x∈V) (∀a∈R) (∥ax∥=｜a｜∥x∥ )　
　[要件3：三角不等式]　任意のx,y∈Vにたいして、∥x＋y∥≦∥x∥＋∥y∥　
 　　　　　　　　　　　　　　　　　※ただし、不等式左辺の＋は実ベクトル空間Vに定義されたベクトル和、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　不等式右辺の＋は、実数の足し算。　
　　　　　　　　　　論理記号で表すと、(∀x,y∈V) ( ∥x＋y∥≦∥x∥＋∥y∥ )　
　・様々なノルムが定義可能。
　　たとえば、
　　　・計量実ベクトル空間の内積によって定義されたノルム　
　　　・実n次元数ベクトル空間Rnにおける内積により定まるノルム/Rnに 定義されたユークリッドノルム/Rnに 定義された変分ノルム　　　

【文献】

　・神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.2.3(p.121-2)
　・砂田『行列と行列式』§7.1(pp.241-2)
　・斉藤『集合・数・位相』4.5.7ノート(p.128)
　・松坂『集合・位相入門』§5-A(p.277)
　・矢野『距離空間と位相構造』1.1.1距離関数(p.5)

定義：ノルム空間


【舞台設定】　

　R：実数体　
　V：実ベクトル空間　

【本題】

　ノルム空間とは、
　ノルムの定義された実ベクトル空間、
　ないし、
　ノルム∥∥の定義された実ベクトル空間Vにおける、ノルムと実ベクトル空間の組(V,∥∥)
　のことをいう。

【具体例】

　・一般の計量実ベクトル空間に、その内積から定まるノルムを定義してつくったノルム空間　　
　・計量実ベクトル空間Rnに、ユークリッドノルムを定義してつくった、ノルム空間　　

【文献】

　・神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.2.3(p.121-2)
　・砂田『行列と行列式』§7.1(pp.241-2)
　・松坂『集合・位相入門』§5-A(p.277)
　・矢野『距離空間と位相構造』1.1.1距離関数(p.5)
　・Lang, Undergraduate Analysis,Chapter6§2 Normed Vector Spaces (p.111)


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定義：単位ベクトル　　

【舞台設定】　

V：実ベクトル空間　
V：実ベクトル空間であって、ノルム空間　　
x：実ベクトル空間Vに属すベクトル　　
∥x∥：ノルム空間Vに定義されているノルム　　　

【本題】

ノルム空間Vにおける単位ベクトルとは、　∥x∥=1を満たすベクトルxのこと。

【文献】

　・砂田『行列と行列式』§7.1(pp.241-2)

定理：単位ベクトル化　　


【舞台設定】　

　R：実数体　
　V：実ベクトル空間　
　x：実ベクトル空間Vに属すベクトル　　
　∥x∥：ノルム空間Vに定義されているノルム　　　

【本題1】

　任意のベクトルx∈Vについて、
　　xが零ベクトルでないならば、
　　「xのノルムの逆数（スカラーになる）」と、ベクトルxとのスカラー積　　　　
　　　　( 1/∥x∥ ) x　
　　　は、
　　　ノルム1のベクトルになる。

　以上を論理記号でかくと、
　　　（∀x∈V）（　x≠〇　⇒　∥ ( 1/∥x∥ ) x ∥=１　）

 【本題2】

　( 1/∥x∥ ) xをつくることを、xの単位ベクトル化という。


※どうして、∥ ( 1/∥x∥ ) x ∥=１　といえるのか？

　・ノルムであるための要件1：非負性より、 x≠〇ならば、∥x∥>０　
　　　したがって、 x≠〇ならば、1/∥x∥ >０　　　　　　

　・ 　∥ ( 1/∥x∥ ) x ∥=( 1/∥x∥ )∥x∥　　∵ノルムであるための要件2：線形性　　　
　　　　　　　　　　　　　=1　　　　　

【文献】

　・永田『理系のための線形代数の基礎』補題4.2.1(p.116)


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定義：ノルムから定められる距離　

【舞台設定】　

　R：実数体　
　V：実ベクトル空間であって、ノルム空間　　
　x,y：実ベクトル空間Vに属すベクトル　　
　∥x∥：ノルム空間Vに定義されているノルム　　　

【本題】

・実ベクトル空間Vに属す任意のベクトルx, yに対し、
　　　　d(x, y)=∥x－y∥　　　　
　とおくと、d(x, y)は、Vにおけるx, y間の距離の定義を満たす。
・d(x, y)=∥x－y∥　を、ノルムから定められる距離という。
※いろいろなノルムをつくりえるので、
　　いろいろなノルムに応じて、いろいろなノルムから定められる距離をつくりえる。
　　[→矢野『距離空間と位相構造』1.1.1距離関数(p.5);]　　　　　　　
※どうして、ノルムから定められた距離d(x, y)=∥x－y∥が距離の定義を満たすといえるのか？
　　→矢野『距離空間と位相構造』1.1.1距離関数(p.5);神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.2.3(p.123);　　
・d(x, y)は、ノルムの要件１:非負性により、Vにおけるx, y間の距離の要件(i)非負性を満たす。　　　
・d(x, y)は、Vにおけるx, y間の距離の要件(ii) を満たす。
　　　なぜなら、　
　　　　任意のx,y∈Vにたいして、
　　　　　d(x, y)=∥x－y∥=０⇔x－y=０　　∵ノルムの要件１:非負性　　
　　　　　　　　　　　　　　　⇔x=y　　　　　　　
　・d(x, y)は、Vにおけるx, y間の距離の要件(iii) 対称性を満たす。
　　　なぜなら、
　　　　任意のx,y∈Vにたいして、　
　　　　　d(x, y)=∥x－y∥　
　　　　　　　　=∥－１（－x）－１y∥　　　∵逆ベクトルとスカラー積の関係　
　　　　　　　　=∥－１（－x＋y）∥　　　　∵スカラー積のベクトルに関する分配則　　
　　　　　　　　=∥－１（y－x）∥　　　　　∵ベクトル和の可換則　　　
　　　　　　　　=｜－１｜∥y－x∥　　∵ノルムの要件2：線形性　
　　　　　　　　=１∥y－x∥　　∵絶対値の定義　
　　　　　　　　=∥y－x∥　　　
　　　　　　　　=d(y, x)　　
・d(x, y)は、Vにおけるx, y間の距離の要件(iv) 三角不等式を満たす。
　　　なぜなら、
　　　　任意のx,y,z∈Vにたいして、　
　　　　　d(x, z)=∥x－z∥　
　　　　　　　　=∥x＋〇－z∥　　　　　∵零ベクトルの定義　
　　　　　　　　=∥x＋（y－y）－z∥　　∵逆ベクトルの定義　　
　　　　　　　　=∥（x－y）＋（y－z）∥　　∵ベクトル和の結合則　
　　　　　　　　　　≦∥x－y∥＋∥y－z∥　　∵ノルムの要件3：三角不等式　　
　　　　　　　　　　　　=d(x, y)＋d(y, z)　　　　　　
【文献】

　・神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.2.3(p.123)
　・松坂『集合・位相入門』§5-A(p.277)
　・矢野『距離空間と位相構造』1.1.1距離関数(p.5)
　・志賀『固有値問題30講』8講(p.61)

定理：ノルム空間と距離空間　　


【舞台設定】　

　R：実数体　
　V：実ベクトル空間であって、ノルム空間　　
　x,y：実ベクトル空間Vに属すベクトル　　
　∥x∥：ノルム空間Vに定義されているノルム　　　

【本題】

　・実ベクトル空間Vにノルムが定義され、ノルム空間（V,∥∥）が設定されているならば、　　
　　実ベクトル空間Vの距離dを、「ノルムから定められる距離」によって定義することによって、　
　　距離空間（V,d）を設定することができる。
　　つまり、「ノルムから定められる距離」によって、ノルム空間（V,∥∥）はいつでも距離空間（V,d）と見なせる。

【文献】

　・神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.2.3(p.123)
　・松坂『集合・位相入門』§5-A(p.277)
　・矢野『距離空間と位相構造』1.1.1距離関数(p.5)
　・志賀『固有値問題30講』8講(p.63)


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(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目317バナッハ空間(pp.922-):ノルムとノルム空間の解説が含まれている;項目341ヒルベルト空間B.(pp.1006-7)：内積の定義が含まれている.

【線形代数のテキスト】

ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、4.1内積(p.114);。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.117)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、４章§6計量線形空間(p.120)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§7.1-(a)内積 (pp.238-9).

【解析学のテキスト】

杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1987年、I章§4(pp.33-38)。
位相空間・距離空間についてのテキスト
松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年、§5ノルム空間、Banach空間(pp.275-288)。
矢野公一『距離空間と位相構造』共立出版、1997年、1.1.1距離関数(p.5)。


【数理経済学のテキスト】

神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.2.3(p.124)。