計量実ベクトル空間における正規直交基底の存在と構成 : トピック一覧 

・定理:シュミットの直交化法  
・定理:有限次元の計量ベクトル空間における正規直交基底の存在
・定理:有限次元の計量ベクトル空間における正規直交系と正規直交基底の存在 


【関連ページ】
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線形代数目次 
総目次

定理:シュミットの直交化法  Orthogonalization of Schmidt, Orthonormalization of Schmidt 

【舞台設定】

 R実数体R   
 V計量実ベクトル空間。なお、計量実ベクトル空間の定義により、実ベクトル空間でもある。 
x,y〉:計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルx,y内積  

【本題】

ベクトルv1,v2,…, vkVが、実ベクトル空間V基底をなすならば  
ベクトルv1,v2,…, vkVから、計量実ベクトル空間V正規直交基底u1,u2,…,ukを構成できる。  
 
【文献】

 ・砂田『行列と行列式』§7.1-(c)(p.246)
 ・斎藤『線形代数入門』4章§6(pp.121-2)
 ・志賀『固有値問題30講』9講(p.69)
 ・永田『理系のための線形代数の基礎』定理4.24;系4.25(p.118)



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定理:有限次元の計量ベクトル空間における正規直交基底の存在  


【舞台設定】

 R実数体R   
 V計量実ベクトル空間。なお、計量実ベクトル空間の定義により、実ベクトル空間でもある。 
x,y〉:計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルx,y内積  

【本題】

計量実ベクトル空間Vが、有限次元ベクトル空間であるならば、 
  Vには、正規直交基底が存在する。

【文献】

 ・永田『理系のための線形代数の基礎』系4.2.6(p.118)
 ・斎藤『線形代数入門』4章§6定理6.3(p.122)
 ・砂田『行列と行列式』§7.1-(c)定理7.17(p.245)
 ・志賀『固有値問題30講』9講(p.68).
 

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定理:有限次元の計量ベクトル空間における正規直交系と正規直交基底の存在  


【舞台設定】

 R実数体R   
 V計量実ベクトル空間。なお、計量実ベクトル空間の定義により、実ベクトル空間でもある。 
x,y〉:計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルx,y内積  

【本題】  

計量実ベクトル空間Vが、有限次元ベクトル空間であるならば、 
  Vには、正規直交系が存在し、これにいくつかのベクトルを加えることで正規直交基底とすることができる。  
       
【文献】

 ・永田『理系のための線形代数の基礎』系4.2.6(p.118)
 ・砂田『行列と行列式』§7.1-(c)定理7.17(p.245)


(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典(第三版)』 岩波書店、1985年、項目341ヒルベルト空間C.正規直交系(pp.1006-7)

線形代数のテキスト

ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、4.2正規直交基底の存在と計量同型(p.116-);。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年。
志賀浩二『数学30講シリーズ:線形代数30講』朝倉書店、1988年。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2:線形代数』岩波書店、1996年。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、4章§6計量線形空間(p.121-)。
砂田利一『現代数学への入門:行列と行列式』2003年、、§7.1-(b)正規直交系 (c)正規直交基底 (pp.242-7).

解析学のテキスト

杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1987年、I章§4(pp.33-38)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.2.3(p.124)。