定理：直交系の一次結合のあいだの内積
[永田『理系のための線形代数の基礎』問1(p.116);]
【舞台設定】
R：実数体R
V：計量実ベクトル空間
〈x,y〉：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルx,yの内積
‖x‖ ：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルxの内積により定まるノルム
【本題】
ベクトルv1,v2,…, vk∈Vが直交系であって、
なおかつ、
ベクトルx,yが、ベクトルv1,v2,…, vkの一次結合
x＝x1v1+x2v2+…+xkvk （x1,x2,…,xkは実数）
y＝y1v1+y2v2+…+ykvk （y1,y2,…,ykは実数）
として表されるならば、
ベクトルx,yの内積〈x,y〉は、
〈x,y〉＝x1y1‖v1‖2+x2y2‖v2‖2+…+xkyk‖vk‖2
と表される。
※なぜ？
〈x,y〉＝〈x1v1+x2v2+…+xkvk , y1v1+y2v2+…+ykvk〉
＝〈x1v1 , y1v1+y2v2+…+ykvk〉+〈x2v2, y1v1+y2v2+…+ykvk〉+…+〈xkvk , y1v1+y2v2+…+ykvk〉
∵内積であるための要件1：線形性1
＝〈x1v1 , y1v1〉+〈x1v1 , y2v2〉+…+〈x1v1 , ykvk〉+
〈x2v2, y1v1〉+〈x2v2, y2v2〉+…+〈x2v2, ykvk〉+…
…+〈xkvk , y1v1〉+〈xkvk , y2v2〉+…+〈xkvk , ykvk〉 ∵内積であるための要件1：線形性1
＝x1y1〈v1 , v1〉+x1y2〈v1 , v2〉+…+x1yk〈v1 , vk〉+
x2y1〈v2, v1〉+x2y2〈v2, v2〉+…+x2yk〈v2, vk〉+…
…+xky1〈vk , v1〉+xky2〈vk , v2〉+…+xkyk〈vk , vk〉 ∵内積であるための要件2：線形性2
＝x1y1〈v1 , v1〉+x2y2〈v2, v2〉+…+xkyk〈vk , vk〉 ∵ベクトルv1,v2,…, vk∈Vは直交系
＝x1y1‖v1‖2+x2y2‖v2‖2+…+xkyk‖vk‖2 ∵内積により定まるノルムの定義より
定理：正規直交系の一次結合のあいだの内積
[永田『理系のための線形代数の基礎』問1(p.116);]
【舞台設定】
R：実数体R
V：計量実ベクトル空間
〈x,y〉：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルx,yの内積
‖x‖ ：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルxの内積により定まるノルム
【本題】
ベクトルv1,v2,…, vk∈Vが正規直交系であって、
なおかつ、
ベクトルx,yが、ベクトルv1,v2,…, vkの一次結合
x＝x1v1+x2v2+…+xkvk （x1,x2,…,xkは実数）
y＝y1v1+y2v2+…+ykvk （y1,y2,…,ykは実数）
として表されるならば、
ベクトルx,yの内積〈x,y〉は、
〈x,y〉＝x1y1+x2y2+…+xkyk
と表される。
※なぜ？
〈x,y〉＝x1y1‖v1‖2+x2y2‖v2‖2+…+xkyk‖vk‖2
∵v1,v2,…, vkが正規直交系ならば、v1,v2,…, vkは直交系でもあるから、
直交系の一次結合のあいだの内積を適用。
＝x1y1+x2y2+…+xkyk
∵v1,v2,…, vkが正規直交系ならば、v1,v2,…, vkそれぞれの内積により定まるノルムはすべて1。
定理：直交基底の一次結合のあいだの内積
[永田『理系のための線形代数の基礎』問1(p.116);斎藤『線形代数入門』４章§6(p.124);砂田『行列と行列式』§7.1-(c)内積 (p.245).]
【舞台設定】
R：実数体R
V：計量実ベクトル空間
〈x,y〉：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルx,yの内積
‖x‖ ：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルxの内積により定まるノルム
【本題】
ベクトルv1,v2,…, vk∈Vが直交基底であるならば、
Vに属す任意のベクトルx,yが、ベクトルv1,v2,…, vkの一次結合
x＝x1v1+x2v2+…+xkvk （x1,x2,…,xkは実数）
y＝y1v1+y2v2+…+ykvk （y1,y2,…,ykは実数）
として表せて、
ベクトルx,yの内積〈x,y〉は、
〈x,y〉＝x1y1‖v1‖2+x2y2‖v2‖2+…+xkyk‖vk‖2
となる。
※なぜ？
v1,v2,…, vkがVの直交基底であるならば、v1,v2,…, vkはVの基底であり、
したがって、Vに属す任意のベクトルを、v1,v2,…, vkの一次結合
x＝x1v1+x2v2+…+xkvk （x1,x2,…,xkは実数）
y＝y1v1+y2v2+…+ykvk （y1,y2,…,ykは実数）
で表せる。
よって、直交系の一次結合のあいだの内積を適用して、
〈x,y〉＝x1y1‖v1‖2+x2y2‖v2‖2+…+xkyk‖vk‖2としてよい。
定理：正規直交基底の一次結合のあいだの内積
[永田『理系のための線形代数の基礎』問1(p.116);斎藤『線形代数入門』４章§6(p.124);砂田『行列と行列式』§7.1-(c)内積 (p.245).]
【舞台設定】
R：実数体R
V：計量実ベクトル空間
〈x,y〉：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルx,yの内積
‖x‖ ：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルxの内積により定まるノルム
【本題】
ベクトルv1,v2,…, vk∈Vが正規直交基底であるならば、
Vに属す任意のベクトルx,yは、ベクトルv1,v2,…, vkの一次結合
x＝x1v1+x2v2+…+xkvk （x1,x2,…,xkは実数）
y＝y1v1+y2v2+…+ykvk （y1,y2,…,ykは実数）
として表せて、
ベクトルx,yの内積〈x,y〉は、
〈x,y〉＝x1y1+x2y2+…+xkyk
となる。
※なぜ？
v1,v2,…, vkがVの正規直交基底であるならば、v1,v2,…, vkはVの基底であり、
したがって、Vに属す任意のベクトルを、v1,v2,…, vkの一次結合
x＝x1v1+x2v2+…+xkvk （x1,x2,…,xkは実数）
y＝y1v1+y2v2+…+ykvk （y1,y2,…,ykは実数）
で表せる。
よって、正規直交系の一次結合のあいだの内積を適用して、
〈x,y〉＝x1y1+x2y2+…+xkykとしてよい。
(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目341ヒルベルト空間C.正規直交系(pp.1006-7)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、4.2正規直交基底の存在と計量同型(p.116-);。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、４章§6計量線形空間(p.121-)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§7.1-(c)内積 (p.245).
解析学のテキスト
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1987年、I章§4(pp.33-38)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.2.3(p.124)。