実n次元数ベクトル空間における変分ノルムと距離空間 ： トピック一
・定義：Rn上の変分ノルム、ノルムから定められる距離
・性質：ノルム空間と距離空間、
※計量実ベクトル空間関連ページ：内積・計量実ベクトル空間の定義/内積の性質/正規直交系･正規直交基底の定義/直交系・直交基底と内積/直交系･正規直交系の性質/正規直交基底の存在と構成/計量同型写像/直交補空間
定義：実n次元数ベクトル空間における変分ノルム
[神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.2.3例3.2.1(p.121-2);砂田『行列と行列式』§7.1(pp.241-2);
松坂『集合・位相入門』§5-B例2(p.278);]
(舞台設定)
R：実数体R
Rn：実n次元数ベクトル空間
v：実n次元数ベクトル。
具体的に書くと、v1, v2, …, vn∈Rとして、v=( v1, v2, …, vn )∈Ｒn
(本題)
1. 任意の実n次元数ベクトルv=( v1, v2, …, vn )∈Ｒn にたいして、
∥v∥1=｜v1｜＋｜v2｜＋…＋｜vn｜ （右辺の＋は、実数の足し算。）
と定義する。
2. 上記の∥v∥1は、次の性質をもち、実n次元数ベクトル空間におけるノルムの定義を満たす。
(1) 非負性 任意のx∈Ｒnにたいして、∥x∥1≧０ であって、
∥x∥1=０となるのはxが零ベクトルである場合のみに限る。
論理記号で表すと、(∀x∈Ｒn) ( ( ∥x∥1≧０ ) かつ (∥x∥1=０⇔x=〇) )
あるいは、(∀x∈Ｒn) ( ( ∥x∥1≧０ ) かつ (x≠〇⇒∥x∥1>０) )
(2) 線形性 任意のx∈Ｒnと任意の実数aにたいして、∥ax∥1=｜a｜∥x∥1
論理記号で表すと、(∀x∈Ｒn) (∀a∈R) (∥ax∥1=｜a｜∥x∥1 )
(3) 三角不等式 任意のx,y∈Ｒnにたいして、∥x＋y∥1≦∥x∥1＋∥y∥1
※ただし、不等式左辺の＋は実n次元数ベクトル空間に定義されたベクトル和、
不等式右辺の＋は、実数の足し算。
論理記号で表すと、(∀x,y∈Ｒn) ( ∥x＋y∥1≦∥x∥1＋∥y∥1 )
3. 上記の∥v∥1を、変分ノルムと呼ぶ。
4. 変分ノルムをノルムとして指定してやることによって、
ノルム空間（ Ｒn , ∥ ∥1 ）を設定することができる。
→[トピック一覧：ノルム空間]
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定義：変分ノルムから定められる距離
[神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.2.3(p.123);松坂『集合・位相入門』§5-A(p.277);
矢野『距離空間と位相構造』1.1.1距離関数(p.5);志賀『固有値問題30講』8講(p.61);]
(舞台設定)
R：実数体R
Rn：実n次元数ベクトル空間
x, y：実n次元数ベクトル
具体的に書くと、x1, x2, …, xn∈Rとして、x=( x1, x2, …, xn )∈Ｒn
y1, y2, …, yn∈Rとして、y=( y1, y2, …, yn )∈Ｒn
∥x∥1：実n次元数ベクトル空間Rnにおける変分ノルム
(本題)
・実n次元数ベクトル空間Rnに属す任意の実n次元数ベクトルx, yに対し、
d1(x, y) = ∥x－y∥1
とおくと、d1(x, y)は、Rnにおけるx, y間の距離の定義を満たす。
∵ノルムから定められた距離一般は距離の定義を満たす（∵）。
d1(x, y) は、ノルムから定められた距離の定義を満たす（∵変分ノルムはノルムの定義を満たす）。
したがって、d1(x, y) は、距離の定義を満たす。
・d1(x, y)=∥x－y∥1 を、変分ノルムから定められる距離という。
・d1(x, y)=｜x1－y1｜＋｜x2－y2｜＋…＋｜xn－yn｜ となる。
なぜなら、
d1(x, y)=∥x－y∥1 ＝∥( x1, x2, …, xn )－( y1, y2, …, yn )∥1
＝∥( x1, x2, …, xn )＋( －y1, －y2, …, －yn )∥1 ∵逆ベクトルの定義
＝∥( x1－y1, x2－y2, …, xn－yn )∥1 ∵ベクトル和の定義
＝｜x1－y1｜＋｜x2－y2｜＋…＋｜xn－yn｜ ∵変分ノルムの定義
定理：ノルム空間と距離空間
[神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.2.3(p.123);松坂『集合・位相入門』§5-A(p.277);
矢野『距離空間と位相構造』1.1.1距離関数(p.5);志賀『固有値問題30講』8講(p.63);]
(舞台設定)
R：実数体R
Rn：実n次元数ベクトル空間
x, y：実n次元数ベクトル
具体的に書くと、x1, x2, …, xn∈Rとして、x=( x1, x2, …, xn )∈Ｒn
y1, y2, …, yn∈Rとして、y=( y1, y2, …, yn )∈Ｒn
∥x∥1：Rnにおける変分ノルム
（ Ｒn , ∥ ∥1 ）：変分ノルムをノルムとして指定した、ノルム空間
(本題)
・実n次元数ベクトル空間Rnのノルムとして変分ノルム ∥ ∥1 が指定され、
ノルム空間（Ｒn , ∥ ∥1 ）が設定されているならば、
実n次元数ベクトル空間Rnの距離を、「変分ノルムから定められる距離」d1 によって定義することによって、
距離空間（Rn,d1 ）を設定することができる。
つまり、
「変分ノルムから定められる距離」によって、ノルム空間（Rn,∥ ∥1）はいつでも距離空間（Rn,d1 ）と見なせる。
(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目317バナッハ空間(pp.922-):ノルムとノルム空間の解説が含まれている;項目341ヒルベルト空間B.(pp.1006-7)：内積の定義が含まれている.
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、4.1内積(p.114);。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.117)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、４章§6計量線形空間(p.120)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§7.1-(a)内積 (pp.238-9).
解析学のテキスト
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1987年、I章§4(pp.33-38)。
位相空間・距離空間についてのテキスト
松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年、§5ノルム空間、Banach空間(pp.275-288)。
矢野公一『距離空間と位相構造』共立出版、1997年、1.1.1距離関数(p.5)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.2.3(p.124)。