計量実ベクトル空間の直交系・正規直交系の性質　：　トピック一覧　

・定理：直交系からの正規直交系の生成/直交系・正規直交系は一次独立
・定理：ベクトル和のノルムの2乗/ベッセルの不等式　


【関連ページ】
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定理：直交系からの正規直交系の生成　　

　[永田『理系のための線形代数の基礎』補題4.2.1(p.116);]
【舞台設定】
　R：実数体R　　　
　V：計量実ベクトル空間　
〈x,y〉：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルx,yの内積　　　
　‖x‖　：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルxの内積により定まるノルム　　　
【本題】
ベクトルv1,v2,…, vk∈Vが直交系であるならば、
ベクトルv1,v2,…, vkをそれぞれ単位ベクトル化した　　　　　　　
　　v'1 = ( 1/‖v1‖ ) v1 , v'2 = ( 1/‖v2‖ ) v2 , …, v'k= ( 1/‖vk‖ ) vk 　
は、正規直交系である。
※なぜ？→単位ベクトル化
 

定理：直交系・正規直交系は一次独立　　

　[砂田『行列と行列式』§7.1-(b)正規直交系(p.243)証明付;斎藤『線形代数入門』４章§6[6.1](p.121)証明付;
　　永田『理系のための線形代数の基礎』補題4.2.2(p.116)]
【舞台設定】
　R：実数体R　　　
　V：計量実ベクトル空間　
〈x,y〉：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルx,yの内積　　　
【本題】
1. ベクトルv1,v2,…, vk∈Vが直交系であるならば、ベクトルv1,v2,…, vkは一次独立である。　　
したがって、
2. ベクトルv1,v2,…, vk∈Vが正規直交系であるならば、ベクトルv1,v2,…, vkは一次独立である。　
(証明)
一次独立の定義に遡って、
命題「 ベクトルv1,v2,…, vk∈Vが直交系であるならば、ベクトルv1,v2,…, vk∈Vは一次独立である」
をとらえ返すと、
「ベクトルv1,v2,…, vk∈Vが直交系であり、かつ、c1v1+c2v2+…+ckvk=〇（c1 , c2 ,… , ck ∈R ）ならば、
　　c1 = c2 =…=ck =０　」　
という命題にほかならないことがわかる。この命題が成り立つことを、以下で示す。
　Step0：仮定の確認　
　・仮定1：v1,v2,…, vkが直交系。
　　　　　　つまり、v1,v2,…, vk≠〇　…(仮定1-1)　　　　
　　　　　　　　　　任意のi,j=1,2,…,kについて、i≠j ならば 〈vi,vj 〉=0　…(仮定1-2)　　
　・仮定2：c1v1+c2v2+…+ckvk=〇（c1 , c2 ,… , ck ∈R ）　　　　
　Step1：　c1 =０　の証明　　
　・〈c1v1+c2v2+…+ckvk , v1 〉=〈 〇 , v1 〉　　∵仮定2　
　　　　　　　　　　　　　　=０　　　　　　　∵零ベクトルとの内積は０　　　
　・〈c1v1+c2v2+…+ckvk , v1 〉=〈c1v1 , v1 〉＋〈c2v2, v1 〉＋…＋〈ckvk , v1 〉　∵内積の要件1：線形性1　
　　　　　　　　　　　　　　=c1〈v1 , v1 〉＋c2〈v2, v1 〉＋…＋ck〈vk , v1 〉　∵内積の要件２：線形性２　
　　　　　　　　　　　　　　=c1〈v1 , v1 〉　　　∵仮定1-2　　
　・上記2点より、c1〈v1 , v1 〉=０　　　
　　ところが、仮定1-1と内積の要件3より、〈v1 , v1 〉≠０　であるから、
　　c1 =０　。
　Step2：　c2 =０　の証明　　
　・〈c1v1+c2v2+…+ckvk , v2 〉=〈 〇 , v2 〉　　∵仮定2　
　　　　　　　　　　　　　　=０　　　　　　　∵零ベクトルとの内積は０　　　
　・〈c1v1+c2v2+…+ckvk , v2 〉=〈c1v1 , v2 〉＋〈c2v2, v2 〉＋…＋〈ckvk , v2 〉　∵内積の要件1：線形性1　
　　　　　　　　　　　　　=c1〈v1 , v2 〉＋c2〈v2, v2 〉＋…＋ck〈vk , v2 〉　∵内積の要件２：線形性２　
　　　　　　　　　　　　　　=c2〈v2 , v2 〉　　　∵仮定1-2　　
　・上記2点より、c2〈v2 , v2 〉=０　　　
　　ところが、仮定1-1と内積の要件3より、〈v2 , v2 〉≠０　であるから、
　　c2 =０　。
　：　
　：　
　Step-k：　ck =０　の証明　　
　・〈c1v1+c2v2+…+ckvk , vk 〉=〈 〇 , vk 〉　　∵仮定2　
　　　　　　　　　　　　　　=０　　　　　　　∵零ベクトルとの内積は０　　　
　・〈c1v1+c2v2+…+ckvk , vk 〉=〈c1v1 , vk 〉＋〈c2v2, vk 〉＋…＋〈ckvk , vk 〉　∵内積の要件1：線形性1　
　　　　　　　　　　　　　=c1〈v1 , vk 〉＋c2〈v2, vk 〉＋…＋ck〈vk , vk 〉　∵内積の要件２：線形性２　
　　　　　　　　　　　　　　=ck〈vk , vk 〉　　　∵仮定1-2　　
　・上記2点より、ck〈vk , vk 〉=０　　　
　　ところが、仮定1-1と内積の要件3より、〈vk , vk 〉≠０　であるから、
　　ck =０　。
以上によって、仮定1,仮定2のもとで、つねに、c1 = c2 =…=ck =０　が成り立つことが示された。


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定理：ベクトル和のノルムの2乗　　

　[砂田『行列と行列式』§7.1-(b)例題7.12(p.243)　]
【舞台設定】
　R：実数体R　　　
　V：計量実ベクトル空間　
〈x,y〉：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルx,yの内積　　　
　‖x‖　：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルxの内積により定まるノルム　　　
【本題】
・ベクトルv1,v2,…, vk∈Vが直交系であるならば、
　　〈v1+v2+…+vk , v1+v2+…+vk 〉=〈v1 , v1 〉＋〈v2 , v2 〉＋…＋〈vk ,vk 〉　
・上記の命題を、内積により定まるノルムを使って書きなおすと、　　　　
　　ベクトルv1,v2,…, vk∈Vが直交系であるならば、
　　　‖v1+v2+…+vk‖2＝‖v1‖2＋‖v2‖2＋…＋‖vk‖2　　　　　
※なぜ？　　
　内積の要件1：線形性1と、v1,v2,…, vkが直交系であるがゆえにi≠j ならば 〈vi,vj 〉=0　
　による。　　　　　　
　

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定理：ベッセルの不等式

　　　[砂田『行列と行列式』§7.1-(b)正規直交系(p.243):証明付　]
【舞台設定】
　R：実数体R　　　
　V：計量実ベクトル空間　
〈x,y〉：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルx,yの内積　　　
　‖x‖　：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルxの内積により定まるノルム　　　
【本題】
ベクトルv1,v2,…, vk∈Vが正規直交系であるならば、　
任意のベクトルx∈Vにたいして、次の不等式が成り立つ。
　　　｜〈x , v1 〉｜2＋｜〈x , v2 〉｜2＋…＋｜〈x , vk 〉｜2≦‖x‖2　　　　　


(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目341ヒルベルト空間C.正規直交系(pp.1006-7)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、4.2正規直交基底の存在と計量同型(p.116-);。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、４章§6計量線形空間(p.121-)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、、§7.1-(b)正規直交系 (c)正規直交基底 (pp.242-7).

解析学のテキスト
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1987年、I章§4(pp.33-38)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.2.3(p.124)。