部分ベクトル空間の和・直和 　：　トピック一覧

・定義：和空間･和, 直和　
※関連ページ
　部分ベクトル空間：定義、部分ベクトル空間の性質、～が張る部分空間、部分空間の次元　　
　ベクトル空間：ベクトル空間の定義、一次結合、線形従属･線形独立、基底と次元　　
※いろいろなベクトル空間の部分空間の和・直和：
　　　　　　　実ベクトル空間の部分空間の和・直和/実n次元ベクトル空間の部分空間の和･直和　
※高校で習ったようなベクトルを扱う場合は、実n次元ベクトル空間の部分空間の和･直和を見よ。　　

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定義：部分ベクトル空間の和空間・和sum　

　[『岩波数学辞典』210線形空間:F部分空間と商空間(p.571);永田『理系のための線形代数の基礎』1.5(p.33);]

【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
　V：K上のベクトル空間　
　W1：Vの部分ベクトル空間　
　W2：Vの部分ベクトル空間　

【定義】

Vの部分ベクトル空間W1,W2の和空間・和とは、
「W1に属すベクトル」と「W2に属すベクトル」とのベクトル和をすべて集めた集合　　
　　　　　{ v1 +v2 | v1 ∈W1 かつ v2 ∈W2 }　　
 のこと。

【記号】

　Vの部分ベクトル空間W1,W2の和空間・和を、W1＋W2で表す。
　
※いろいろなベクトル空間の部分空間の和空間：
　　　　　　　実ベクトル空間の部分空間の和/実n次元ベクトル空間の部分空間の和　

定理：部分ベクトル空間の和空間の性質

　[永田『理系のための線形代数の基礎』1.5(p.33);]

【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
　V：K上のベクトル空間　
　W1：Vの部分ベクトル空間　
　W2：Vの部分ベクトル空間　

【本題】

1. Vの部分ベクトル空間W1,W2の和空間（W1＋W2）もまた、Vの部分ベクトル空間。　
2.Vの部分ベクトル空間W1,W2の和空間（W1＋W2）は、（W1∪W2）を含む最小の『Vの部分ベクトル空間』。
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定義：直和direct sum

　[『岩波数学辞典』210線形空間:F部分空間と商空間(p.571);
　　神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.1.2(p.106);永田『理系のための線形代数の基礎』1.5(p.34);
　　　以下は、今後チェック。
　　本部『新しい代数』5.2-Aベクトル空間(p.132);酒井『環と体の理論』1.6ベクトル空間(p.22);
　ホフマン『線形代数学I』2.1ベクトル空間(pp.28-34);
　佐武『線形代数学』Ⅲ§6(p.115);志賀『線形代数30講』13講(pp.85-7);14講(pp.88-90);
　藤原『線形代数』4.1(p.91);　]

【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
　V：K上のベクトル空間　
　W1：Vの部分ベクトル空間　
　W2：Vの部分ベクトル空間　

【定義】

K上のベクトル空間Vが、その部分ベクトル空間W1,W2の直和であるとは、
　　V=W1＋W2 　　かつ　W1∩W2={０}　　
が満たされることをいう。

【記号】
　K上のベクトル空間Vが、その部分ベクトル空間W1,W2の直和であることを、
　　　
で表す。

※いろいろなベクトル空間の部分空間の直和：
　　　　　　　実ベクトル空間の部分空間の直和/実n次元ベクトル空間の部分空間の直和　

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定義：補部分空間complementary subspace

　[『岩波数学辞典』210線形空間:F部分空間と商空間(p.571);]
　
　→実ベクトル空間の部分空間の補部分空間　　
　→実n次元ベクトル空間の部分空間の補部分空間　

(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.1ベクトル空間(pp.28-34)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.2(p.162).
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、13講ベクトル空間へ(pp.85-7);14講ベクトル空間の例と基本概念(pp.88-90)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§2線形空間(p.96):実線形空間･複素線形空間のみ;附録Ⅲ§2体(p.249)。

代数学のテキスト
本部均『新しい数学へのアプローチ5：新しい代数』共立出版、1969年、5.2-Aベクトル空間(p.132)。
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8：環と体の理論』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22)。

数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。