部分ベクトル空間の次元　：　トピック一覧　

・定理：ベクトル空間とその部分空間の次元,ベクトル空間の２つの部分空間の次元,和空間のの次元
※関連ページ
　部分ベクトル空間：定義、部分ベクトル空間の性質、～が張る部分空間、和･直和　　
　ベクトル空間：ベクトル空間の定義、一次結合、線形従属･線形独立、基底、次元、　　
※いろいろなベクトル空間の部分空間の次元の性質：
　　　　　　　実ベクトル空間の部分空間の次元/実n次元ベクトル空間の部分空間の次元　
※高校で習ったようなベクトルを扱う場合は、実n次元ベクトル空間の部分空間の次元を見よ。　
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定理：ベクトル空間とその部分空間の次元　

　[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.5.1(p.32):証明付;志賀『線形代数30講』21講(p.132);
　　ホフマン・クンツェ『線形代数学I』2.3基底と次元定理5系1(p.47);砂田『行列と行列式』§5.3-d定理5.62(p.179).]
【舞台設定】
K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
V：K上の有限次元ベクトル空間　
W：Vの部分ベクトル空間　
【本題】
1.　Vの部分ベクトル空間の次元が、Vの次元より大きくなることはない。　　　
　　つまり、
　　任意の「K上の有限次元ベクトル空間」について、　　
　　　　　Wが「Vの部分ベクトル空間」ならば、　　　　
　　　　　dimW≦dimV　　　
2.　「Vの部分ベクトル空間」で、次元が「Vの次元」に等しいものがあるなら、それは、V自身。
　　つまり、
　　任意の「K上の有限次元ベクトル空間」について、　　
　　　　　Wが「Vの部分ベクトル空間」、かつ、dimW=dimV　ならば、　　　　
　　　　　W=V　　


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定理：ベクトル空間の２つの部分空間の次元

　[永田『理系のための線形代数の基礎』系1.5.2(p.32);;斎藤『線形代数入門』４章§4[4.6](p.109);
　　ホフマン・クンツェ『線形代数学I』2.3基底と次元定理6(p.47)]
【舞台設定】
　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
　V：K上の有限次元ベクトル空間　
　W1：Vの部分ベクトル空間　
　W2：Vの部分ベクトル空間　
【本題】
　　任意の「K上の有限次元ベクトル空間」Vの任意の部分ベクトル空間W1,W2について、　　
　　　　　W1⊆W2　かつ、dimW1=dimW2　ならば、　　　　
　　　　　W1=W2　　


定理：和空間の次元

　[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.5.3(p.33):証明付;;斎藤『線形代数入門』４章§4[4.7](p.109)]
【舞台設定】
K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
V：K上の有限次元ベクトル空間　
W1：Vの部分ベクトル空間　
W2：Vの部分ベクトル空間　
【本題】
任意の「K上の有限次元ベクトル空間」Vの任意の部分ベクトル空間W1,W2について、
　　dim(W1＋W2)=dimW1＋dimW2－dim(W1∩W2) 　　

　
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(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.3基底と次元定理5-6(pp.46-9)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.3-d(p.179).
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、13講ベクトル空間へ(pp.85-7);14講ベクトル空間の例と基本概念(pp.88-90)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§4線形部分空間(p.107-112)。

代数学のテキスト
本部均『新しい数学へのアプローチ5：新しい代数』共立出版、1969年、5.2-Aベクトル空間(p.132)。
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8：環と体の理論』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22)。

数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。