平面R²における収束点列の極限とベクトル演算　

　・定理：収束点列のベクトル和の極限、収束点列と収束数列とのスカラー積の極限　
　※R²における点列の関連ページ：R²における点列の収束･極限―定義/コーシー列と収束　　　
　※収束列の極限と演算の関連ページ：数列の極限どおしの演算/Rⁿ上の収束点列の極限とベクトル演算　
　※参考文献・総目次　　

定理：平面R²における収束点列どおしのベクトル和の極限

要旨

点列にベクトルの加法をほどこしてから極限をとった値と、
点列の極限をとってからベクトルの加法を施した値とは、等しくなる。
つまり、極限とベクトルの加法の順序交換は可能。

設定

この定理は、以下の舞台設定上で、成立する。
R²：実数を2個並べた組 (x,y ) をすべてあつめた集合
　　すなわち、「実数全体の集合R」と「実数全体の集合R」の直積
　　　　　　　　　　R×R={ (x,y) | x∈R かつ y∈R }　
実2次元数ベクトル空間R²：R²にたいして、通例のベクトルの加法・スカラー乗法を定義したもの。
ノルム空間（ R², ‖‖ ）：実2次元数ベクトル空間R²にたいして、
　　　　　　　　　　　　　「自然な内積(標準内積)・」「ユークリッドノルム‖‖」を定義したもの。　
ユークリッド空間(R²,d)：ノルム空間（ R², ‖‖ ）にたいして、
　　　　　　　　　　　　ユークリッドノルムから定めた距離d(x, y)=‖x−y‖を定義したもの。　
P ：ユークリッド空間(R²,d)上の点(x_P , y_P )　
　　　「平面R²上の点(x_P , y_P )」は、実2次元数ベクトルであるから、
　　　この実2次元数ベクトル(x_P , y_P )をPで表すことにする。　　
{ P₁ , P₂ , P₃ , … }：ユークリッド空間(R²,d)上の点列
　　　　　　　　　すなわち実2次元数ベクトルの列

{ (x_P1,y_P1), (x_P2,y_P2 ) , (x_P3,y_P3 ) ,… }
Q ：ユークリッド空間(R²,d)上の点(x_Q , y_Q )　
　　　「平面R²上の点(x_Q , y_Q )」は、実2次元数ベクトルであるから、
　　　この実2次元数ベクトル(x_Q , y_Q )をQで表すことにする。　　
{ Q₁ , Q₂ , Q₃ , … }：ユークリッド空間(R²,d)上の点列
　　　　　　　　　　すなわち実2次元数ベクトルの列

{ (x_Q1,y_Q1), (x_Q2,y_Q2 ) , (x_Q3,y_Q3 ) ,… }
　　　この実2次元数ベクトル(x_Q , y_Q )をQで表すことにする。　　
{x_i}_i∈N　:　点列{P_i}_i∈Nの各点P_i( x_i , y_i )のx_iだけを取り出して並べた数列{ x₁ , x₂, x₃,… }　　
{y_i}_i∈N　:　点列{P_i}_i∈Nの各点P_i( x_i , y_i )のy_iだけを取り出して並べた数列{ y₁ , y₂, y₃,… }　　　

定理

ユークリッド空間(R²,d)において、
点列{ P₁ , P₂ , P₃ , … }＝{ (x_P1,y_P1), (x_P2,y_P2 ) , (x_P3,y_P3 ) ,…}が点P=(x_P,y_P)に収束し、
かつ、
点列{ Q₁ , Q₂ , Q₃ ,…}＝{ (x_Q1,y_Q1), (x_Q2,y_Q2 ) , (x_Q3,y_Q3 ) ,…}が点Q=(x_Q,y_Q)に収束する
ならば、
点列{ P₁＋Q₁ , P₂＋Q₂ , P₃＋Q₃ , … }
　　　＝{ (x_P1,y_P1)＋(x_Q1,y_Q1), (x_P2,y_P2 )＋(x_Q2,y_Q2 ), (x_P3,y_P3 )＋(x_Q3,y_Q3 ) ,… }
　　　＝{ (x_P1+x_Q1 , y_P1+y_Q1 ), (x_P2+x_Q2 , y_P2+y_Q2 ), (x_P3+x_Q3 , y_P3+y_Q3 ),… }
は、点P＋Q＝ (x_P,y_P)＋(x_Q,y_Q)＝(x_P+x_Q , y_P+y_Q )に収束する。　
つまり、

[文献]

杉浦『解析入門I』1章§4命題4.6(p.40):証明付

神谷浦井
『経済学のための数学入門』定理4.3.2(p.140):証明付 ;

cf.

数列の極限どおしの演算

証明

仮定1「点列{ P₁ , P₂ , P₃ , … }＝{ (x_P1,y_P1), (x_P2,y_P2 ) , (x_P3,y_P3 ) ,…}が点P=(x_P , y_P) に収束する」　
仮定2「点列{ Q₁ , Q₂ , Q₃ , … }＝{ (x_Q1,y_Q1), (x_Q2,y_Q2 ) , (x_Q3,y_Q3 ) ,…}が点Q=(x_Q , y_Q) に収束する」　
のもとで、
結論
「点列
　　　{ P₁＋Q₁ , P₂＋Q₂ , P₃＋Q₃ , … }＝{ (x_P1,y_P1)＋ (x_Q1,y_Q1), (x_P2,y_P2 )＋(x_Q2,y_Q2 ), (x_P3,y_P3 )＋(x_Q3,y_Q3 ),… }
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝{ (x_P1+x_Q1 , y_P1+y_Q1 ), (x_P2+x_Q2 , y_P2+y_Q2 ), (x_P3+x_Q3 , y_P3+y_Q3 ),… }
　が点P＋Q＝ (x_P,y_P)＋(x_Q,y_Q)＝(x_P+x_Q , y_P+y_Q) に収束する」
が成立することを示す。　
Step1:
・仮定1「点列{ P₁ , P₂ , P₃ , … }＝{ (x_P1,y_P1), (x_P2,y_P2 ) , (x_P3,y_P3 ) ,…}が点P=(x_P , y_P) に収束する」は、
　仮定1'「数列{ x_P1 , x_P2 , x_P3 ,… }がx_Pに収束し、かつ、数列{ y_P1 , y_P2 , y_P3 ,… }がy_Pに収束する」
　と同値（∵）。
・仮定2「点列{ Q₁ , Q₂ , Q₃ , … }＝{ (x_Q1,y_Q1), (x_Q2,y_Q2 ) , (x_Q3,y_Q3 ) ,…}が点Q=(x_Q , y_Q) に収束する」は、
　仮定2'「数列{ x_Q1 , x_Q2 , x_Q3 ,… }がx_Qに収束し、かつ、数列{ y_Q1 , y_Q2 , y_Q3 ,… }がy_Qに収束する　」
　と同値（∵）。
Step2:
・結論「点列{P₁＋Q₁ , P₂＋Q₂ , P₃＋Q₃ ,…}＝{ (x_P1+x_Q1 , y_P1+y_Q1 ), (x_P2+x_Q2 , y_P2+y_Q2 ), (x_P3+x_Q3 , y_P3+y_Q3 ),… }が
　　　　　点P＋Q＝(x_P+x_Q , y_P+y_Q) に収束する」　
　は、
　結論'「数列{ x_P1 + x_Q1 , x_P2 + x_Q2 , x_P3 + x_Q3 ,… }はx_P+x_Q に収束し、
　　　　　　　　かつ、数列{ y_P1 + y_Q1 , y_P2 + y_Q2 , y_P3 + y_Q3 ,… }がy_P+y_Q に収束する」　
　と同値（∵）。
Step3:
・数列{ x_P1 , x_P2 , x_P3 ,… }がx_Pに収束し、かつ、数列{ x_Q1 , x_Q2 , x_Q3 ,… }がx_Qに収束するならば、
　数列{ x_P1 + x_Q1 , x_P2 + x_Q2 , x_P3 + x_Q3 ,… }は、x_P+x_Q に収束する。（∵収束数列の和の公式）　　
・数列{ y_P1 , y_P2 , y_P3 ,… }がy_Pに収束し、かつ、数列{ y_Q1 , y_Q2 , y_Q3 ,… }がy_Qに収束するならば、
　数列{ y_P1 + y_Q1 , y_P2 + y_Q2 , y_P3 + y_Q3 ,… }は、y_P+y_Q に収束する。（∵収束数列の和の公式）　　
・以上2点から、
　「仮定1'かつ仮定2'ならば結論'が成り立つ」といえる。
　したがって、Step1,Step2より、「仮定1かつ仮定2ならば結論が成り立つ」といえる。　

→[トピック一覧：収束点列の極限とベクトル演算]
→総目次

定理：空間Rⁿにおける収束点列と収束数列とのスカラー積の極限

要旨

点列と数列とのスカラー積の極限をとった値と、
点列の極限と数列の極限をとってから両者のスカラー積をとった値とは、等しくなる。
つまり、極限とスカラー乗法の順序交換は可能。

設定

この定理は、以下の舞台設定上で、成立する。
R²：実数を2個並べた組 (x,y ) をすべてあつめた集合
　　すなわち、「実数全体の集合R」と「実数全体の集合R」の直積
　　　　　　　　　　R×R={ (x,y) | x∈R かつ y∈R }　
実2次元数ベクトル空間R²：R²にたいして、通例のベクトルの加法・スカラー乗法を定義したもの。
ノルム空間（ R², ‖‖ ）：実2次元数ベクトル空間R²にたいして、
　　　　　　　　　　　　　「自然な内積(標準内積)・」「ユークリッドノルム‖‖」を定義したもの。　
ユークリッド空間(R²,d)：ノルム空間（ R², ‖‖ ）にたいして、
　　　　　　　　　　　　ユークリッドノルムから定めた距離d(x, y)=‖x−y‖を定義したもの。　
P ：ユークリッド空間(R²,d)上の点(x_P , y_P )　
　　　「平面R²上の点(x_P , y_P )」は、実2次元数ベクトルであるから、
　　　この実2次元数ベクトル(x_P , y_P )をPで表すことにする。　　
{ P₁ , P₂ , P₃ , … }：ユークリッド空間(R²,d)上の点列
　　　　　　　　　すなわち実2次元数ベクトルの列

{ (x_P1,y_P1), (x_P2,y_P2 ) , (x_P3,y_P3 ) ,… }
{ a₁ , a₂ , a₃ , … }　:　数列　
a 　:　ある実数の値　
{x_i}_i∈N　:　点列{P_i}_i∈Nの各点P_i( x_i , y_i )のx_iだけを取り出して並べた数列{ x₁ , x₂, x₃,… }　　

定理

ユークリッド空間(R²,d)において、
点列{ P₁ , P₂ , P₃ , … }＝{ (x_P1,y_P1), (x_P2,y_P2 ) , (x_P3,y_P3 ) ,…}が点P=(x_P , y_P)に収束し、
かつ、
数列{ a₁ , a₂ , a₃ , … }がaに収束する　
ならば、
　P₁のスカラーa₁倍、P₂のスカラーa₂倍、P₃のスカラーa₃倍、…
と並べた点列　
　　{ a₁P₁ , a₂P₂ , a₃P₃ , … }
　　　　　＝{ a₁(x_P1,y_P1), a₂(x_P2,y_P2 ), a₃(x_P3,y_P3 ) ,…}　
　　　　　＝{ (a₁x_P1,a₁y_P1), (a₂x_P2,a₂y_P2), (a₃x_P3,a₃y_P3) ,…}　　
は、Pのスカラーa倍として表される点　
　　　　　　aP＝a(x_P,y_P)＝(ax_P , ay_P )
に収束する。　
つまり、
　

[文献]

杉浦
『解析入門I』1章§4命題4.6(p.40):証明付

神谷浦井『経済学のための数学入門』定理4.3.2(p.140):証明付 ;

cf.

数列の極限どおしの演算

証明

仮定1「点列{ P₁ , P₂ , P₃ , … }＝{ (x_P1,y_P1), (x_P2,y_P2 ) , (x_P3,y_P3 ) ,…}が点P=(x_P , y_P) に収束する」　
仮定2「数列{ a₁ , a₂ , a₃ , … }がaに収束する」　
のもとで、
結論「点列{ a₁P₁ , a₂P₂ , a₃P₃ , … }＝{ (a₁x_P1,a₁y_P1), (a₂x_P2,a₂y_P2), (a₃x_P3,a₃y_P3) ,…}が点aP＝(ax_P , ay_P )に収束する」
が成り立つことを示す。
Step1:
　仮定1「点列{ P₁ , P₂ , P₃ , … }＝{ (x_P1,y_P1), (x_P2,y_P2 ) , (x_P3,y_P3 ) ,…}が点P=(x_P , y_P) に収束する」は、
　仮定1'「数列{ x_P1 , x_P2 , x_P3 ,… }がx_Pに収束し、かつ、数列{ y_P1 , y_P2 , y_P3 ,… }がy_Pに収束する」
　と同値（∵）。
Step2:
・結論「点列{ a₁P₁ , a₂P₂ , a₃P₃ , … }＝{ (a₁x_P1,a₁y_P1), (a₂x_P2,a₂y_P2), (a₃x_P3,a₃y_P3) ,…}が点aP＝(ax_P , ay_P )に収束する」
　は、
　結論'「数列{ a₁x_P1, a₂x_P2 , a₃x_P3 ,… }はax_P に収束し、かつ、数列{ a₁y_P1, a₂y_P2 , a₃y_P3 ,… }はay_P に収束する」
　と同値（∵）。
Step3:
・数列{ x_P1 , x_P2 , x_P3 ,… }がx_Pに収束し、かつ、数列{ a₁ , a₂ , a₃ , … }がaに収束するならば、
　数列{ a₁x_P1, a₂x_P2 , a₃x_P3 ,… }は、ax_P に収束する。（∵収束数列の積の公式）　　　
・数列{ y_P1 , y_P2 , y_P3 ,… }がy_Pに収束し、かつ、数列{ a₁ , a₂ , a₃ , … }がaに収束するならば、
　数列{ a₁y_P1, a₂y_P2 , a₃y_P3 ,… }は、ay_P に収束する。（∵収束数列の積の公式）　　　
・以上2点から、
　「仮定1'かつ仮定2ならば結論'が成り立つ」といえる。
　したがって、Step1,Step2より、「仮定1かつ仮定2ならば結論が成り立つ」といえる。　

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