平面R²におけるコーシー列と収束　　

　・定義：コーシー列　
　・定理：点列のコーシー列と数列のコーシー列、点列の収束に関するコーシーの判定条件　
　※R²における点列の関連ページ：R²における点列の収束･極限―定義/収束点列の極限とベクトル演算　
　※コーシー列関連ページ：数列のコーシー列　　
　※参考文献・総目次　　

定義：コーシー列

（平面R²上の距離空間一般におけるコーシー列の定義）

設定

(R²,d)　：平面R²に距離dを与えてつくった距離空間　
P : 　　　R²上の点(x , y )　
{P₁ , P₂ , P₃ , …} :　R²上の点列{ (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃) ,… }

[文献]
杉浦『解析入門I』1章§4(p.38)
小平『解析入門I』§1.6定理1.25(p.60);
吹田新保『理工系の微分積分学』6章§1定理2(p.156).

定義

距離空間 (R², d ) 上の点列{P₁ , P₂ , P₃ , …}がコーシー列であるとは、
　任意のε> 0に対して、ある自然数Nをとると、
　　　「N以上のあらゆるの自然数i, jに対して、d ( P_i , P_j )<ε 」
　が成立するということ　
　論理記号で表すと、
　　　　( ∀ε＞０ ) (∃N∈N) (∀i,j∈N) ( i≧Nかつj≧N⇒ d ( P_i , P_j ) <ε)　
を言う。

(ユークリッド平面におけるコーシー列の定義)

小平『解析入門I』§1.6定理1.25(p.60);

設定

(R²,d)：平面R²にユークリッド距離を与えてつくったユークリッド平面　
P ：ユークリッド平面(R²,d)上の点(x , y )　
{P_i}_i∈N ： ユークリッド平面(R²,d)上の点列
　　　　　　

{ P₁ , P₂ , P₃ , … }＝{ (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃) ,… }

定義

ユークリッド平面(R²,d)上の点列
　　{P₁ , P₂ , P₃ , …}={ (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃) ,… }　　

がコーシー列であるとは、
　任意のε> 0に対して、ある自然数Nをとると、
　　「N以上のあらゆる自然数i, jに対して、
　　　　　　　　　　　　　」
　が成立するということ　
　論理記号で表すと、
　　(∀ε＞０) (∃N∈N) (∀i,j∈N)
　　　　　　　　　　( i≧Nかつj≧N⇒ )　
を言う。

(ユークリッド平面におけるコーシー列の定義―ベクトル表現)

設定

R²：実数を2個並べた組 (x,y ) をすべてあつめた集合
　　すなわち、「実数全体の集合R」と「実数全体の集合R」の直積
　　　　　　　　　　R×R={ (x,y) | x∈R かつ y∈R }　
実2次元数ベクトル空間R²：R²にたいして、通例のベクトルの加法・スカラー乗法を定義したもの。
ノルム空間（ R², ‖‖ ）：実2次元数ベクトル空間R²にたいして、
　　　　　　　　　　　　　「自然な内積(標準内積)・」「ユークリッドノルム‖‖」を定義したもの。　
ユークリッド空間(R²,d)：ノルム空間（ R², ‖‖ ）にたいして、
　　　　　　　　　　　　ユークリッドノルムから定めた距離d(x, y)=‖x−y‖を定義したもの。　
P ：ユークリッド空間(R²,d)上の点(x , y )　
　　　「平面R²上の点(x , y )」は、実2次元数ベクトルであるから、
　　　この実2次元数ベクトル(x , y )をPで表すことにする。　　
{P_i}_i∈N ：ユークリッド空間(R²,d)上の点列すなわち実2次元数ベクトルの列
　　　　　　

{ P₁ , P₂ , P₃ , … }＝{ (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃) ,… }

定義

ユークリッド平面(R²,d)上の点列{P₁ , P₂ , P₃ , …}

がコーシー列であるとは、
　任意のε> 0に対して、ある自然数Nをとると、
　　「N以上のあらゆる自然数i, jに対して、
　　　　　　　　　d ( P_i , P_j ) =‖P₁ − P_j‖<ε　」
　が成立するということ　
　論理記号で表すと、
　　(∀ε＞０) (∃N∈N) (∀i,j∈N)
　　　　　　　　　　( i≧Nかつj≧N⇒‖P₁ − P_j‖<ε )　
を言う。

杉浦『解析入門I』1章§4(p.38)

(他の列のコーシー列)

数列のコーシー列

→[トピック一覧：R²上のコーシー列]
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定理：点列のコーシー列と、数列のコーシー列の関係

設定

(R²,d)　：平面R²に距離dを与えてつくった距離空間
　　　　(通常は、R²にユークリッド距離を与えてつくったユークリッド平面)
P : 　　　R²上の点(x , y )　
{P₁ , P₂ , P₃ , …} :　R²上の点列{ (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃) ,… }

　
{x₁ ,x₂,x₃,…}:点列{P₁,P₂,P₃,…}の各点P_i( x_i , y_i )のx_iだけを取り出して並べた数列
{y₁,y₂,y₃,…}:点列{P₁,P₂,P₃,…}の各点P_i( x_i , y_i )のy_iだけを取り出して並べた数列

[文献]
杉浦『解析入門I』1章§4定理4.5-2(p.38):証明付。

定理

次の２つの命題は、同値である。
命題P：点列{P₁ , P₂ , P₃ , …}={ (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃) ,…}はコーシー列であり。
命題Q：数列{ x₁ , x₂, x₃,… }はコーシー列であり、
　　　　かつ　
　　　　数列{y₁,y₂,y₃,…}もコーシー列である。　

→[トピック一覧：R²上のコーシー列]
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定理：点列の収束に関するコーシーの判定条件

設定

(R²,d)　：平面R²に距離dを与えてつくった距離空間
　　　　(通常は、R²にユークリッド距離を与えてつくったユークリッド平面)
P : 　　　R²上の点(x , y )　
{P₁ , P₂ , P₃ , …} :　R²上の点列{ (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃) ,… }

[文献]
杉浦『解析入門I』1章§4定理4.5-3(p.38)
小平『解析入門I』§1.6定理1.25(p.60);
吹田新保『理工系の微分積分学』6章§1定理2(p.156).

定理

次の２つの命題は、同値である。
命題P：点列{P₁ , P₂ , P₃ , …} が、点P=(x,y)へ収束する。
　　　　　つまり、　
　　　　　　　　
命題Q：点列{P₁ , P₂ , P₃ , …} がコーシー列である。

※

数列におけるコーシーの判定条件

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