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証明：ユークリッド空間R²上の点列の収束と座標ごとの収束の関係　　
　[高木『解析概論』p.14:R²; 小平『解析入門I』§1.6-d(p.60) :R²上 ;吹田新保『理工系の微分積分学』p.155-6;
　　矢野『距離空間と位相構造』例1.9(p.12) :Rⁿ; 志賀『位相への30講』第13講(pp.91-2):Rⁿ;
　　神谷浦井『経済学のための数学入門』定理4.3.1(p.138) :n次元;杉浦『解析入門I』1章§4定理4.5-1(p.38);:n次元]　
（設定）　(R²,d)　：　R²にユークリッド距離を与えてつくったユークリッド空間　
　　　　　P　　　:　　ユークリッド空間 (R²,d)上の点 ( x ,y )を表すとする。
　　　　　{P_i}_i∈N　:　ユークリッド空間 (R²,d)上の点列{P₁ , P₂ , P₃ , …}で、
　　　　　　　　　　　各点P_iはふたつの実数の順序対[つまり座標]( x_i , y_i )を表すとする。
　　　　　　　　　　つまり点列{P₁ , P₂ , P₃ , …}は、{ (x₁ , y₁) , (x₂ , y₂) , (x₃ , y₃) ,… }とも書ける。
　　　　　{x_i}_i∈N　:　点列{P_i}_i∈Nの各点P_i( x_i , y_i )のx_iだけを取り出して並べた数列{ x₁ , x₂, x₃,… }　　
　　　　　{y_i}_i∈N　:　点列{P_i}_i∈Nの各点P_i( x_i , y_i )のy_iだけを取り出して並べた数列{ y₁ , y₂, y₃,… }　　　
（定理）以下の二つの命題は同値である。
　　　　命題1:　点列{P_i}_i∈N={ (x₁ , y₁), (x₂ , y₂) , (x₃ , y₃) ,… }が、点P=(x,y)へ収束する。
　　　　　　　　　つまり、　
　　　　　　　　　　　　　
　　　　命題2:　数列{x_i}_i∈Nがxに収束し、かつ、数列{y_i}_i∈Nがyに収束する。
　　　　　　　　　　　　　　　

(証明) A.予備的考察/B.命題1⇒命題２の証明/
　　　C.命題2⇒命題1の証明(その１)/D.命題2⇒命題1の証明(その2)/E.命題2⇒命題1の証明(その3)

A.予備的考察:ユークリッド距離の性質をここの文脈に適用　
ユークリッド距離の性質1･性質2･性質3･性質4･性質5より、
点列{P_i}_i∈Nの任意の各点P_i( x_i , y_i )と、点P( x ,y )との間のユークリッド距離　

は、以下の不等式をいつでもみたす。　
・任意のi∈Nにたいして、　　
　　　　　　…(A-1)
　　　　　　　　　　　　　　∵ユークリッド距離の性質1　
・任意のi∈Nにたいして、　　
　　　　　　…(A-2)
　　　　　　　　　　　　　　∵ユークリッド距離の性質2　
・任意のi∈Nにたいして、　　
　　　　　…(A-3)
　　　　　ただし、Max ( |x_i−x| , | y_i−y | )は、「|x_i−x|と| y_i−y |のうち、大きいほうの値」
　　　　つまり、(0-3)は、
　　　　(ケース1)　|x_i−x|≦| y_i−y |となる点P_i (x_i,y_i)については、
　　　　　　　　　　　…(A-3-a)
　　　　(ケース2)　|x_i−x|≧| y_i−y |となる点P_i (x_i,y_i)については、
　　　　　　　　　　　…(A-3-b)
　　　　　ということ。
・任意のi∈Nにたいして、　　
　　　　　　…(A-4)
　　　　　　　　　　　　　　∵ユークリッド距離の性質4　　
・任意のi∈Nにたいして、　　
　　　　　　　　…(A-5)
　　　　　　　　　　　　　　∵ユークリッド距離の性質5　　

　→先頭に戻る　

B. 命題1⇒命題2の証明
　[志賀『位相への30講』第13講(pp.91-2):Rⁿにおいて;矢野『距離空間と位相構造』例1.9(p.12); 吹田新保『理工系の微分積分学』pp..155-6;　
　　杉浦『解析入門I』1章§4定理4.5-1(p.38):n次元; 神谷浦井『経済学のための数学入門』定理4.3.1(p.138) :n次元;]　　
以下、step1で、
　　　　　⇒
を示し、step2で、
　　　　　⇒
を示すことで、
　　　　　　⇒
を示す。　
[stepI:　命題1⇒命題2前半]　
(概略)
・任意のi∈Nにたいして
　　　　　…(A-1)
　　が成り立つが、
・命題1：点列{P_i}_i∈N={ (x₁ , y₁), (x₂ , y₂) , (x₃ , y₃) ,… }が、点P=(x,y)へ収束する」が成り立つならば、
　　点列の収束の定義より、
　　　　　　
・よって、i→∞で、(A-1)右辺が0に収束するから、(A-1)左辺も0に収束。
(詳細)
命題1：点列{P_i}_i∈N={ (x₁ , y₁), (x₂ , y₂) , (x₃ , y₃) ,… }が、点P=(x,y)へ収束する」とは、
　　　　　　
のこと、すなわち、
　　　( ∀ε＞０ )　(∃N∈N)　(∀i∈N)　( i≧N⇒)　…(B-1)
のことであった(点列の収束の定義より)。
(A-1)より任意のi∈Nにたいして
　　　
が成り立つので、
命題1すなわち(B-1)が成り立つならば、
　 ( ∀ε＞０ )　(∃N∈N)　(∀i∈N)　( i≧N⇒)　
が成り立つ。
つまり、
命題1すなわち(B-1)が成り立つならば、
　　 ( ∀ε＞０ )　(∃N∈N)　(∀i∈N)　( i≧N⇒|x_i−x|<ε)　が成り立つ。
数列の収束・極限値の定義を用いて、このことを書きなおすと、
命題1すなわち(B-1)が成り立つならば、　
　　　　
が成り立つ、となる。
[stepII:　命題1⇒命題2後半]　　
(要旨)
・任意のi∈Nにたいして
　　　　　…(A-2)
　　が成り立つが、
・命題1：点列{P_i}_i∈N={ (x₁ , y₁), (x₂ , y₂) , (x₃ , y₃) ,… }が、点P=(x,y)へ収束する」が成り立つならば、
　　点列の収束の定義より、
　　　　　　
・よって、i→∞で、(A-2)右辺が0に収束するから、(A-2)左辺も0に収束。
(厳密には)
命題1：点列{P_i}_i∈N={ (x₁ , y₁), (x₂ , y₂) , (x₃ , y₃) ,… }が、点P=(x,y)へ収束する」とは、
　　( ∀ε＞０ )　(∃N∈N)　(∀i∈N)　( i≧N⇒)　…(B-2)
のことであった。
(A-2)より任意のi∈Nにたいして
　　　
が成り立つので、
命題1すなわち(B-2)が成り立つならば、
　 ( ∀ε＞０ )　(∃N∈N)　(∀i∈N)　( i≧N⇒)　
が成り立つ。
つまり、
命題1すなわち(B-2)が成り立つならば、
　　 ( ∀ε＞０ )　(∃N∈N)　(∀i∈N)　( i≧N⇒|y_i−y|<ε)　が成り立つ。
数列の収束・極限値の定義を用いて、このことを書きなおすと、
命題1すなわち(B-2)が成り立つならば、　
　　　　
が成り立つ、となる。

C.　命題2⇒命題1の証明（その１）　　
　[志賀『位相への30講』第13講(pp.91-2):Rⁿにおいて;矢野『距離空間と位相構造』例1.9(p.12);]　　
(概略)
・任意のi∈Nにたいして、　　
　　　　　…(A-3)
　が成り立つ。
・命題2：　が成り立つならば、
　　i→∞で、(A-3)右辺が0に収束するから、(A-3)左辺も0に収束。
・(A-3)左辺の収束は、命題1：点列{P_i}_i∈N={ (x₁ , y₁), (x₂ , y₂) , (x₃ , y₃) ,… }が、点P=(x,y)へ収束する」の定義にほかならない。
(詳細)
Step1:点列の点を二つに分類
点列{P_i}_i∈Nを構成する各点P_i (x_i,y_i)は、
　　・|x_i−x|≦| y_i−y |を満たす点P_i(x_i,y_i)　であるか、
　　・|x_i−x|>| y_i−y |を満たす点P_i(x_i,y_i)　であるか、
のいずれかである（両方であることもなければ、どちらでもないこともない）。
便宜上、
|x_i−x|≦| y_i−y |を満たす点P_i(x_i,y_i)の添数iをすべてあつめた集合を、Aで表し、
|x_i−x|>| y_i−y |を満たす点P_i(x_i,y_i)の添数iをすべてあつめた集合を、Bで表すことにする。
なお、
　　点列{P_i}_i∈Nの添数iをすべてあつめた集合は、自然数全体の集合Nであったから、　
　　A⊂N、　B⊂N、A∪B=N、A∩B=φである。　　
この添数の集合Aを用いて、
|x_i−x|≦| y_i−y |を満たす点P_i(x_i,y_i)のみを抜き出した「点列{P_i}_i∈Nの部分列」を、{P_i}_i∈Aで表し、
|x_i−x|≦| y_i−y |を満たす点P_i(x_i,y_i)のx_iのみを抜き出した「数列{x_i}_i∈N　の部分列」を、{x_i}_i∈Aで表し、
|x_i−x|≦| y_i−y |を満たす点P_i(x_i,y_i)のy_iのみを抜き出した「数列{y_i}_i∈N　の部分列」を、{y_i}_i∈Aで表すことにする。
また、この添数の集合Bを用いて、
|x_i−x|>| y_i−y |を満たす点P_i(x_i,y_i)のみを抜き出した「点列{P_i}_i∈Nの部分列」を、{P_i}_i∈Bで表し、
|x_i−x|>| y_i−y |を満たす点P_i(x_i,y_i)のx_iのみを抜き出した「数列{x_i}_i∈N　の部分列」を、{x_i}_i∈Bで表し、
|x_i−x|>| y_i−y |を満たす点P_i(x_i,y_i)のy_iのみを抜き出した「数列{y_i}_i∈N　の部分列」を、{y_i}_i∈Bで表すことにする。
Step2: 点列の点の分類の一方{P_i}_i∈A、{x_i}_i∈A、{y_i}_i∈Aについて　
ここでは、{P_i}_i∈A、{x_i}_i∈A、{y_i}_i∈Aに限定して考える。
数列{x_i}_i∈N、数列{y_i}_i∈N　について、　　　
命題2：　
がなりたつならば、数列{x_i}_i∈N,{y_i}_i∈Nの部分列である{x_i}_i∈A,{y_i}_i∈Aもそれぞれx,yに収束する（∵収束する数列の任意の部分列は収束する）
数列の極限の定義を用いて正確に言いなおすと、
「命題2が成り立つならば、
　　(∀ε>0) (∃N₁∈N) (∀i∈A⊂N) ( i≧N₁⇒| x_i −x|＜ε) かつ (∀ε>0) (∃N₁∈N) (∀i∈A⊂N) ( i≧N₁⇒| y_i −y|＜ε) 」
　　　　※　{P_i}_i∈A、{x_i}_i∈A、{y_i}_i∈Aは、|x_i−x|≦| y_i−y |を満たす点P_i(x_i,y_i)ばかりを集めた点列・数列だったから、
　　　　　　「命題2が成り立つならば、
　　　　　　　　　(∀ε>0) (∃N₁∈N) (∀i∈A⊂N) ( i≧N₁⇒| x_i −x|≦| y_i−y |＜ε) 」
　　　　　　といってもよい。
ここでさしあたり注目したいのは、　　　
「命題2が成り立つならば、
　　(∀ε>0) (∃N₁∈N) (∀i∈A⊂N) ( i≧N₁⇒| y_i −y|＜ε) 」…(C-1)
という点だけである。
(A-3-a)より、　|x_i−x|≦| y_i−y |となる任意の点P_i (x_i,y_i)については、
　　　　　　　　　
であったから、
|x_i−x|≦| y_i−y |を満たす点P_i(x_i,y_i)ばかりを集めた点列{P_i}_i∈B・数列{x_i}_i∈B、{y_i}_i∈Bでは、
すべてのi∈Bについて、
　　　　　　　　　
が満たされる。…(C-2)
(C-1) (C-2)を合せて考えると、
「命題2が成り立つならば、
　　　　(∀ε>0) (∃N₁∈N) (∀i∈A⊂N) ( i≧N₁⇒| y_i −y|＜ε⇒　)　　　」
となる。　
　上記について、要点以外を省略すると、
　「命題2がなりたつならば、 (∀ε>0) (∃N₁∈N) (∀i∈A⊂N) ( i≧N₁⇒　)　」　　
　となる。　また、これは、以下のようにいってもかわらない。
　「命題2がなりたつならば、(∀√2・ε>0) (∃N₁∈N) (∀i∈A⊂N) ( i≧N₁⇒　)　」…(C-3)　　　
Step3: 点列の点の分類の一方{P_i}_i∈B、{x_i}_i∈B、{y_i}_i∈Bについて　
ここでは、{P_i}_i∈B、{x_i}_i∈B、{y_i}_i∈Bに限定して考える。
命題2：　
がなりたつならば、その部分列である{x_i}_i∈B、{y_i}_i∈Bもそれぞれx,yに収束する（∵収束する数列の任意の部分列は収束する）
数列の極限の定義を用いて正確に言いなおすと、
「命題2が成り立つならば、
　　(∀ε>0) (∃N₂∈N) (∀i∈B⊂N) ( i≧N₂⇒| x_i −x|＜ε) かつ (∀ε>0) (∃N₂∈N) (∀i∈B⊂N) ( i≧N₂⇒| y_i −y|＜ε) 」
　　　　※　{P_i}_i∈B、{x_i}_i∈B、{y_i}_i∈Bは、|x_i−x|>| y_i−y |を満たす点P_i(x_i,y_i)ばかりを集めた点列・数列だったから、
　　　　　　「命題2が成り立つならば、
　　　　　　　　　(∀ε>0) (∃N₂∈N) (∀i∈B⊂N) ( i≧N₂⇒| y_i−y |<| x_i −x|<ε) 」
　　　　　　といってもよい。
ここでさしあたり注目したいのは、　　　
「命題2が成り立つならば、
　　(∀ε>0) (∃N₂∈N) (∀i∈B⊂N) ( i≧N₂⇒| x_i −x|＜ε) 」…(C-4)
という点だけである。
(A-3-b)より、　|x_i−x|≧| y_i−y |となる任意の点P_i (x_i,y_i)については、
　　　　　　　　　
であったから、|x_i−x|>| y_i−y |を満たす点P_i(x_i,y_i)ばかりを集めた点列{P_i}_i∈B・数列{x_i}_i∈B、{y_i}_i∈Bでは、
任意のi∈Bについて、である。…(C-5)
(C-4) (C-5)を合せて考えると、
「命題2が成り立つならば、
　　　　(∀ε>0) (∃N₂∈N) (∀i∈B⊂N) ( i≧N₂⇒| x_i −x|＜ε⇒　)　　　」
となる。　
　上記について、要点以外を省略すると、
　「命題2がなりたつならば、 (∀ε>0) (∃N₂∈N) (∀i∈B⊂N) ( i≧N₂⇒　)　」　　
　となる。　また、これは、以下のようにいってもかわらない。
　「命題2がなりたつならば、(∀√2・ε>0) (∃N₂∈N) (∀i∈B⊂N) ( i≧N₂⇒　)　」　…(C-6)　　
Step5: 点列の点の各分類についての結果を統合する　
　ここまでの結果(C-3)(C-6)をあわせると、
「命題2がなりたつならば、
　　　　　　(∀√2・ε>0) (∃N₁∈N) (∀i∈A⊂N) ( i≧N₁⇒　)　　　　
　　　かつ　(∀√2・ε>0) (∃N₂∈N) (∀i∈B⊂N) ( i≧N₂⇒　)　」　　
すると、
N1とN2のうちおおきいほうか、それ以上の自然数をNで表すことにすると、　　　
「命題2がなりたつならば、
　　　　　　(∀√2・ε>0) (∃N₁∈N) (∀i∈A⊂N) ( i≧N≧N₁⇒　)　　　　
　　　かつ　(∀√2・ε>0) (∃N₂∈N) (∀i∈B⊂N) ( i≧N≧N₂⇒　)　」　　
である。すると、
「命題2がなりたつならば、
　　　　　　( ∀√2・ε＞０ )　(∃N∈N)　(∀i∈A∪B= N)　( i≧N⇒)　
といえる。
つまり、
「命題2がなりたつならば、
　　　　　　( ∀ε' ＞０ )　(∃N∈N)　(∀i∈N)　( i≧N⇒)　
これは、
命題1：点列{P_i}_i∈N={ (x₁ , y₁), (x₂ , y₂) , (x₃ , y₃) ,… }が、点P=(x,y)へ収束する
ということであった。∵ユークリッド平面上の点列の収束の定義　

D.　命題2⇒命題1の証明（その2）　　　[杉浦『解析入門I』1章§4定理4.5-1(p.38):n次元ユークリッド空間において;]　　
(概略)
・任意のi∈Nにたいして、　　
　　　　…(A-4)
　が成り立つ。
・命題2：　が成り立つならば、
　　i→∞で、(A-4)右辺が0に収束するから、(A-4)左辺も0に収束。
・　だから、
　　　(A-4)左辺が0に収束するならば、も0に収束する。　
　　　これは、命題1：点列{P_i}_i∈N={ (x₁ , y₁), (x₂ , y₂) , (x₃ , y₃) ,… }が、点P=(x,y)へ収束する」の定義にほかならない。
(詳細)
step1:
命題2：かつ　が成り立つならば、かつ　
　なぜなら、かつ　が成り立つならば、
　　　　・　∵極限値の和の演算則
　　　　　　　　　　　=x−x=0　　　　　∵の仮定下で考えているから。
　　　　かつ　
　　　　・　∵極限値の和の演算則
　　　　　　　　　　　=y−y=0　　　　　∵の仮定下で考えているから。
Step2:
命題2：かつ　が成り立つならば、かつ　
　なぜなら、
　　　　かつ　が成り立つならば、
　　　　step1より、　かつ　だから、
　　　　・　∵極限値の積の演算則　
　　　　　　　　　　=0　　　　　　かつ　
　　　　・　∵極限値の積の演算則　
　　　　　　　　　　=0　　　　　　
Step3:
命題2：かつ　が成り立つならば、かつ　
　なぜなら、　　　
　　・step2より、かつ　が成り立つならば、かつ　　
　　・絶対値の性質　より、(x_i-x)²=|x_i-x|²　　
　ゆえに、　
　かつが成り立つならば、かつ
Step4:
命題2：かつ　が成り立つならば、
　なぜなら、
　　step3より、かつ　が成り立つならば、かつだから、
　　かつ　が成り立つならば、
　　　　　　　　　∵極限値の和の演算則　
Step5:
命題2：かつ　が成り立つならば、　　　　
　なぜなら、
　　　(A-4)より、いつでも、だから、
　　　step4より、かつ　が成り立つならば、
　　　　　　　　　　　　
Step6:
命題2：かつ　が成り立つならば、　　　　
　なぜなら、
　　・いつでも、　　　
　　・step5より、かつ　が成り立つならば、　
　　以上2点から、
　　かつ　が成り立つならば、
　　　　　　　いわゆるはさみうちの原理が適用されて、
　　　　　　　　　　　　
Step7:
命題2：かつ　が成り立つならば、命題１：
　　なぜなら、
　　・step6より、命題2：かつ　が成り立つならば、　
　　・　　　　　　　　　　
　　　　は、命題1「点列{P_i}_i∈N={ (x₁ , y₁), (x₂ , y₂) , (x₃ , y₃) ,… }が、点P=(x,y)へ収束する」の定義
　　したがって、
　　　命題2：かつ　が成り立つならば、
　　　命題１：
　　といってよい。　　　

E.　命題2⇒命題1の証明（その3）
　　　　　　[神谷浦井『経済学のための数学入門』定理4.3.1(p.138) :n次元ユークリッド空間において;
　　　　　　　吹田新保『理工系の微分積分学』p.155-6　]　　
(概略)
・任意のi∈Nにたいして、　　
　　　　…(A-5)
　が成り立つ。
・命題2：　が成り立つならば、
　　i→∞で、(A-5)右辺が0に収束するから、(A-5)左辺も0に収束。
　　これは、命題1：点列{P_i}_i∈N={ (x₁ , y₁), (x₂ , y₂) , (x₃ , y₃) ,… }が、点P=(x,y)へ収束する」の定義にほかならない。
(詳細)
step1:
命題2：かつ　が成り立つならば、かつ　…(E-1)
　なぜなら、かつ　が成り立つならば、
　　　　・　∵極限値の和の演算則
　　　　　　　　　　　=x−x=0　　　　　∵の仮定下で考えているから。
　　　　かつ　
　　　　・　∵極限値の和の演算則
　　　　　　　　　　　=y−y=0　　　　　∵の仮定下で考えているから。
Step2:
命題2：かつ　が成り立つならば、かつ　
なぜなら、
　・かつ　が成り立つならば、
　　step1より、　かつ　だから、　
　　　　　　　∵極限値の演算則
　　　　　　　　　　　=0　
　　　　かつ
　　　　　　　∵極限値の演算則
　　　　　　　　　　　=0　
Step3:
命題2：かつ　が成り立つならば、かつ　
なぜなら、
　かつ　が成り立つならば、
　　　　　∵絶対値の定義　
　　　　　　　　　　　　∵step1,step2　　
　　　　　　　　=0　
　　　　　∵絶対値の定義　
　　　　　　　　　　　　∵step1,step2　　
　　　　　　　　=0　
Step4:
命題2：かつ　が成り立つならば、　
なぜなら、
　かつ　が成り立つならば、
　　step3より、　かつ　だから、　
　　　　　∵極限値の和の演算則　　
　　　　　　　　　　　　　=0+0=0　　　
Step5:
命題2：かつ　が成り立つならば、　
なぜなら、
　・(A-5)より、いつでも、　　　
　・step4より、かつ　が成り立つならば、　
　　以上2点から、
　　かつ　が成り立つならば、
　　　　　　　いわゆるはさみうちの原理が適用されて、
　　　　　　　　　
Step6:
命題2：かつ　が成り立つならば、命題１：
　　なぜなら、
　　・step5より、命題2：かつ　が成り立つならば、　
　　・　　
　　　　は、命題1「点列{P_i}_i∈N={ (x₁ , y₁), (x₂ , y₂) , (x₃ , y₃) ,… }が、点P=(x,y)へ収束する」の定義
　　したがって、
　　　命題2：かつ　が成り立つならば、
　　　命題１：
　　といってよい。　　　

　　　　
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