(証明２)　[『高等学校微分積分』p. 75;]
　　　(仮定)
　　　　　区間Iでつねに f ' (x) =0　…(1)
　　　(本題)
　　　　　a∈Iを定数、x₁∈I ( a ≠ x₁ )を任意の数とする。
　　　　(i)　a＜x₁の場合
　　　　　�@は、f (x)は区間Iで連続かつ微分可能であるとの含意を含む。
　　　　　ゆえに、 閉区間[ a,x₁ ]⊂Iでf (x)は連続かつ微分可能。
　　　　　平均値の定理より、
　　　　　
　　　　　となるcが存在する。
　　　　　(1)より、
　　　　　

　　　　　　a＜x₁だから、
　　　　　f (x₁ ) − f (a )　＝０、　すなわち、　f (x₁ )＝f (a )
　　　　　　x₁は区間Iのうちaよりも大きい範囲にある任意の数だから、
　　　　　　区間Iのうちaよりも大きい範囲においては、f (x)は定数f (a )に常に等しいといえる。
　　　　(ii)　x₁＜aの場合
　　　　　　同様にして、
　　　　　　x₁は区間Iのうちaよりも小さい範囲にある任意の数だから、
　　　　　　区間Iのうちaよりも小さい範囲においては、f (x)は定数f (a )に常に等しいといえる。
　　　(i)(ii)より、f (x) が区間Iでつねにf ' (x) =0を満たすならば、f (x)はI上で定数であるといえる。

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