(閉区間における狭義単調の十分条件の証明)
　　[『高等学校微分積分』p. 75;和達『微分積分』p.61; 高木『解析概論』49.]

[開区間(a,b)で f ' (x)＞0⇒f(x) が閉区間[a,b]で狭義単調増加]　　
(仮定)
　　　・f(x)が 閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能　　　　…�@
　　　・f(x)が開区間(a,b)で f ' (x)＞0　　　…�A
(本題)
　　　　x₁, x₂∈[a,b],　x₁＜x₂　をみたす任意のx₁、x₂　をとると、
　　　　�@より、f(x)は閉区間[x₁, x₂]でも連続、開区間(x₁, x₂)でも微分可能　…�B
　　　　�Bより
　　　　
　　　　を満たすcが存在する。　　∵平均値定理
　　　　�Aより
　　　　
　　　　　　x₂− x₁＞０より、
　　　　f (x₂ )−f (x₁ ) ＞０　すなわち　f (x₁ ) ＜ f (x₂ ) .
(結論)
　　　　ゆえに、x₁, x₂∈[a,b],　x₁＜x₂　をみたす任意のx₁、x₂　に対し、　
　　　　f (x₁ ) ＜ f (x₂ )　
　　　　つまり、f(x)は[a,b]で狭義単調増加。

[ f (x) が[a,b]で狭義単調増加⇒(a,b)で f ' (x)＞0 は不成立]
　　　関数f(x)が閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能、として、
　　　関数f(x)は[a,b]で狭義単調増加（狭義単調減少）だとしても、
　　　開区間(a,b)で常に、 f ' (x)＞0　（ f ' (x)＜0　）　とは限らない。
　　　反例として、f(x)= x³　
　　　　　狭義単調増加だが、 f ' (0)=0.　　[小平『解析入門I』 p.121]