(a)最大値がf(a)=f(b)と異なる場合　
　　　　　その最大値（複数の点で相等しい最大値をとる場合はその内の一つ）を、
　　　　　　　　c∈(a,b)　におけるf (c)　
　　　　　とおくと、
　　　　　　　　f ' (c) =０　　
　　　　　となり、少なくとも最大値のところでf ' (c) =０となることを示す。
　　　　（仮定）
　　　　　・y=f(x)は(a,b)で微分可能　　…(1)　　
　　　　　・f (c)は閉区間[a,b]での最大値　　　…(2)　　
　　　　　(本論)
　　　　　・(2)より、任意のx ∈[a,b]に対して、f(x)≦f (c)　
　　　　　　すなわち、任意のx ∈[a,b]に対して、f(x)−f (c)≦0　
　　　　　　すると、
　　　　　　x = cにおける左微分係数：　
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　∵f(x)−f (c)≦0、x− c ＜０　
　　　　　　x = cにおける右微分係数：　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　∵f(x)−f (c)≦0、x− c ＞０　
　　　　　　(1)より、y=f(x)は任意のc∈(a,b)で微分可能であるから、
　　　　　　x = cにおける微分係数f ' (c)＝f ' (c−０)＝f ' (c＋０)　
　　　　　　よって、f ' (c) =0　
　　　(b)最大値はf(a)=f(b)と同じだが最小値がf(a)=f(b)と異なる場合
　　　　　その最小値（複数の点で相等しい最小値をとる場合はその内の一つ）を、

　　　　　　　　c∈(a,b)　におけるf (c)　
　　　　　とおくと、
　　　　　　　f ' (c) =0
　　　　　となり、少なくとも最小値のところでf ' (c) =0となることを示す。
　　　　（仮定）
　　　　　・y=f(x)は(a,b)で微分可能　　…(1)　
　　　　　・f (c)は閉区間[a,b]での最小値　　　…(2)　
　　　　　(本論)
　　　　　・(2)より、任意のx ∈[a,b]に対して、f(x)≧f (c)　
　　　　　　すなわち、任意のx ∈[a,b]に対して、f(x)−f (c)≧0　
　　　　　　すると、
　　　　　　x = cにおける左微分係数：　
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　∵f(x)−f (c)≧0、x− c ＜０
　　　　　　x = cにおける右微分係数：　
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　∵f(x)−f (c)≧0、x− c ＞０
　　　　　　(1)より、y=f(x)は任意のc∈(a,b)で微分可能であるから、
　　　　　　x = cにおける微分係数f ' (c)＝f ' (c−０)＝f ' (c＋０)
　　　　　　よって、f ' (c) =0　

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