(閉区間における広義単調の必要十分条件の証明)　[吹田・新保『理工系の…』p.44.]
[f(x) が閉区間[a,b]で広義単調増加⇒閉区間[a,b]上f ' (x) ≧0]
(仮定)　　
　　　・f(x)が[a,b]で微分可能　　　　…(1)
　　　・f(x)が[a,b]で広義単調増加　　…(2)
(本題)
　　　　以下、[a,b]の範囲についてのみ考える。
　　　　(2)より、x ₁≦ x ₂ならばf ( x ₁ ) ≦ f ( x ₂ )　
　　　　ゆえに、
　　　　(i)　x ₀＜x　とすると、
　　　　　　f ( x ₀ ) ≦ f ( x )、すなわち、　f ( x )−f ( x ₀ ) ≧０.
　　　　　　x ₀＜x　からの　x− x ₀ ＞０　とあわせて、
　　　　　　
　　　　　　(1)より、[a,b )で右微分係数が存在し、
　　　　　　
　　　　(ii)　 x＜x ₀　とすると、
　　　　　　f ( x ) ≦f ( x ₀ )、すなわち、　f ( x )−f ( x ₀ ) ≦０.
　　　　　　x＜x₀　からの　x−x ₀ ＜０　とあわせて、
　　　　　　
　　　　　　�@より、(a,b ] で左微分係数が存在し、
　　　　　　
(結論)
　　　　　f(x)が[a,b]で微分可能で広義単調増加であるならば、
　　　　　区間[a,b]上 f ' (x) ≧０。

[[a,b]でf ' (x) ≧0⇒f(x) が[a,b]で広義単調増加]
(仮定)
　　　・f(x)が[a,b]で微分可能　　　　…(1)
　　　・f(x)が[a,b]でf ' (x) ≧0　　　…(2)
(本題)
　　　　x₁, x₂∈[a,b],　x₁＜x₂　をみたす任意のx₁、x₂　をとると、
　　　　(1)より、f(x)は[x₁, x₂] で微分可能　　　　…(3)
　　　　微分可能な点では連続であるので、(3)よりf(x)は[x₁, x₂]で連続。…(4)
　　　　(3)(4)より
　　　　
　　　　を満たすcが存在する。　　∵平均値定理
　　　　(2)より
　　　　
　　　　　　x₂− x₁＞０より、
　　　　f (x₂ )−f (x₁ ) ≧０　すなわち　f (x₁ ) ≦f (x₂ ) .
(結論)
　　　　ゆえに、x₁, x₂∈[a,b],　x₁＜x₂　をみたす任意のx₁、x₂　に対し、
　　　　f (x₁ ) ≦f (x₂ )
　　　　つまり、f(x)は[a,b]で広義単調増加。