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定理：平均値定理 mean value theorem, law of the mean

関数y=f(x)は閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能ならば、(区間の端点では微分可能でなくてもよい)
　　　　　　　　　※　
をみたすcが(a,b) 内に少なくとも一つ存在する。
　※式は以下のかたちにも書き換えられる。
　　・f(b)=f (a)+ (b - a ) f '(c) 　( a < c < b )　
　　・f(x)=f (a)+ (x - a ) f '(c) 　( a < c < x )　
　　・a < c < bをみたすcを、a +θ(b−a) ( 0 <θ< 1 )　と書いて、　　
　　　f(b)=f (a)+ (b - a ) f ' (a +θ(b−a)) 　( 0 <θ< 1 )　　　　
　　・bを「aから増分hの点」と解釈して「a+h」と書き、
　　　a < c < a+hをみたすcを、a +θh　( 0 <θ< 1 )　と書いて、　　
　　　f(a+h)=f (a)+ h f ' (a +θh) 　( 0 <θ< 1 )　　　　
　　・aをxに代えて、bを「xから増分Δxの点」として「x+Δx」と書き、
　　　x < c < x+Δxをみたすcを、x +θΔx　( 0 <θ< 1 )　と書いて、　　
　　　f(x+Δx)=f (x)+Δx f ' (x +θΔx) 　( 0 <θ< 1 )　　　　
　cf.2変数関数の平均値定理、積分の第1平均値定理、　
※利用例: 閉区間における広義単調の必要十分条件の導出、閉区間における狭義単調の十分条件の導出、
　　　　　解析学の基本定理の導出

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(平均値定理の証明)

[矢野田代『社会科学者のための…』p.77;吹田新保『理工系の…』pp.44-45;和達『微分積分』pp.59-60.]　　

　　　(仮定)　

　　　　y=f(x)は閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能…(1)　

　　　　h(x)= f(x)−g(x)

　　　　y=g(x)は、y=f(x)の区間の両端を結んだ直線、

　　　　h(x)は、y=f(x)とこのような直線との差を表すと解釈できる。

　　　(本題)　

　　　[h(x)はロールの定理を適用する条件が整っている。]

　　　　g(x)が一次関数なので連続かつ微分可能であることと(1)より、

　　　　h(x)も閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能。…(2)

　　　　　　　　　　　　∵関数の和差積商の連続性、関数の和差の微分　

　　　　h(a)= f(a)−g(a)= f(a)−f(a) =0

　　　　h(b)= f(b)−g(b)= f(b)−g(b) =0　　

　　　　　（　そもそも、x=a,bでy=f(x)と交わるように直線y=g(x)を決めたのだから、

　　　　　　　x=a,bでy=f(x)とy=g(x)の差がゼロになるのはあたりまえ。）

　　　　よって、h(a)= h(b)　…(3)　　

　　　　(2)、(3)より、h(x)についてロールの定理が成り立つ。

　　　[h(x)にロールの定理を適用]

　　　　ゆえに、ロールの定理より、

　　　　　h' (c)＝0

　　　　を満たすcが開区間(a,b)内に少なくとも一つ存在する。　…(4)　

　　　[h(x)の導関数を求める]

　　　　ところでh(x)の導関数は、

　　　　　　　h'(x)= f ' (x)−g' (x)　

　　　　　　　　　　　　　　　　　…(5)　

　　　[結論]

　　　　(5)を用いて(4)を言い直すと、

　　　　を満たすcが開区間(a,b)内に少なくとも一つ存在する、となる。