「集合系」ないし「広義の集合族」と「ベキ集合」　：　トピック一覧　

定義：集合系・広義の集合族 family of sets

定義：ベキ集合 power set

定義	・集合Xのベキ集合とは、 　すべての「集合Xの部分集合」を元として集めた集合系（集合族）のこと。	[文献] 　・斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』1.1.12(p.7):定義,例0,例1. 　・松坂『集合・位相入門』第1章§2.E(p.18):定義、例3,例0. 　・中内『ろんりの練習帳』定義3.1.13;例3.1.14(p.136):ここでの例3 　・志賀『集合への30講』3講(p.１４):定義,例3,例2. 　・志賀『大人のための数学3:集合論の誕生』3章-1-例4(p.5４) :例3. 　・一楽『集合と位相―そのまま使える答えの書き方』定義1.1.12;問題1.1.10(p.24):例2. 　・神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』定義1.3.5(p.31) 　・『岩波数学辞典（第三版）』項目162B(pp.428-429), 163(p.432) 　・ブルバキ『数学原論・集合論・要約』§1-10(p.5):定義。具体例なし。 　・竹内外史『集合とはなにか―はじめて学ぶ人のために』2章(pp.70-71):「積集合」と呼んでいる。例2. 　・DeLaFuente,Mathematical Methods and Models for Economists,I-1-１(p.3)
記号	・集合Xのベキ集合は、   𝔓(X)  , 𝔓X , ２X ,  　　 　などの記号で表す。 ・つまり、　 　𝔓(X) ＝ { Y | Y⊂X }　 　　　　　[神谷浦井 p.31; DeLaFuente p.3]
例0	・集合X＝∅　とすると、集合Xの部分集合は、∅で、全部だから、　 　集合Xのベキ集合　 𝔓(X) ＝ {　∅　}　　　　※ 𝔓(X) ＝ ∅　 ではない点に注意。
例1	・集合X ＝ {a}　について考える。 　集合Xの部分集合は、∅, {a} で、全部。 　集合Xのベキ集合 𝔓(X) ＝ {　∅, {a}　}
例2	・集合X ＝ {a,b}　について考える。 　集合Xの部分集合は、∅, {a}, {b}, {a,b}で、全部。 　集合Xのベキ集合 𝔓(X) ＝ {　∅, {a},{b},{a,b}　}
例3	・集合X ＝ {a,b,c}　とすると、 　集合Xの部分集合は、∅, {a}, {b},{c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} で、全部だから、　 　集合Xのベキ集合　𝔓(X) ＝ {　∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}　}
性質	・集合Xが「n個の元からなる有限集合」ならば、 　集合Xのベキ集合は2n個の元を持つ。	[証明]松坂『集合・位相入門』p.18
例	[日常生活のなかでの使用例:Perfume編] 　・「3人あわせてPerfume」であるから、 　　Perfume ＝ { 大本, 西脇, 樫野 }である。 　・ゆえに、 　　Perfumeのベキ集合とは、 　　　・Perfumeとしての活動そのもの：　{ 大本, 西脇, 樫野 }　　　　　　　　 　　　・Perfumeのメンバーを組み合わせたサブユニットとして考えられるすべての活動：　{ 大本, 西脇 },　{ 大本,  樫野 },　{  西脇, 樫野 }　　　　　　　　　　　　 　　　・Perfumeのメンバーのソロ活動として考えられるすべて：　{ 大本 },　{ 西脇 },　{ 樫野 } 　　 　　　・無人テクノポップユニット：　∅　 　　を元とする集合系のこと。 　・すなわち、 　　　𝔓( Perfume ) ＝ {　{大本,西脇,樫野}, {大本,西脇}, {大本,樫野}, {西脇,樫野}, {大本}, {西脇}, {樫野}, ∅　}　 　・「3人あわせてPerfume」より、Perfume のメンバーは3人。 　　つまり、Perfume は、「3個の元からなる集合」である。 　　よって、Perfume のベキ集合には、23=8の集合が属している。 [日常生活のなかでの使用例: Flipper's Guitar 編] 　・ flipper's guitar ＝ {  小沢健二, 小山田圭吾 }　のベキ集合とは、 　　　・flipper's guitarとしての活動そのもの：　{ 小沢健二, 小山田圭吾 }　　　　　　　　 　　　・flipper's guitarのメンバーのソロ活動として考えられるすべて：　{ 小沢健二 },　{ 小山田圭吾 } ＝ Cornelius 　　 　　　・無人操業：　∅　 　　を元とする集合系のこと。 　・すなわち、 　　　𝔓( flipper's guitar ) ＝ {　{  小沢健二,小山田圭吾},  { 小沢健二 },{ 小山田圭吾 } , ∅　}　 　・flipper's guitar のメンバーは2人なので、 　　flipper's guitar のベキ集合には、22=4の集合が属している。

定義：部分集合系・広義の部分集合族　family Of subsets　

定義：　集合系の和集合

定義	・集合系𝔄の和集合 　集合系𝔄に属すすべての集合の和集合 　とは、 　「集合系𝔄に属す集合」に属す元をすべてあつめた集合 　のこと。	[文献] 　・松坂『集合・位相入門』第1章§2.F(p.19);
記号	・集合系𝔄の和集合は、　 　　∪𝔄　 　　∪{A|A∈𝔄}　 ∪ A A∈𝔄 　等の記号で表す。	[例] 　集合系𝔄＝ {A, B, C, D, E, F}　で、 　集合A, B, C, D, E, Fが下図のようになっているならば、 　∪𝔄は、下図青色部分となる。
定義	・論理記号を使って定義すると、 　　集合系𝔄の和集合∪𝔄＝  { x|(∃A∈𝔄)(x∈A) }　 　　　　　　　　　[松坂『集合・位相入門』第1章§2.F(p.19)] 　　　　「xが属す『集合系𝔄に元として属す集合』が、 　　　　　　ゼロ個にならず、 　　　　　　1個ないし複数個存在する」 　　　　という基準で元xをあつめた集合。 ・僕なりに咀嚼すると… 　　(∃A∈𝔄)(x∈A)とは、(∃A)(A∈𝔄かつx∈A)の意味で、 　　　　　　　　　　　　　(A∈𝔄かつx∈A)とは、要するに、x∈A∈𝔄。 　　だから、上記の松坂の定義は、 　　∪𝔄＝ {x|(∃A)(x∈A∈𝔄) }　 　　としても、同じこと。
	・これは、 　　　「『x∈A∈𝔄』という関係を成立させる『集合系𝔄に元として属す集合』Aが少なくとも一つ以上は存在する」ように、 　　　　xをあつめた集合　 　と理解できる。

定義：直和分割 decomposition,partition　　

定義：集合系・集合族の積集合

定義	・集合系𝔄の積集合・共通部分 　集合系𝔄に属すすべての集合の積集合・共通部分 　とは、 　すべての「集合系𝔄に属す集合」に共通な元をすべてあつめた集合 　のこと。	[文献] 　・松坂『集合・位相入門』第1章§2.F(pp.19-20);
記号	・集合系𝔄の積集合は、　 　　∩𝔄　 　　∩{A|A∈𝔄}　 ∩ A A∈𝔄 　等の記号で表す。	[例] 　　　　集合系𝔄＝ {A, B, C, D, E}　で、 　　　　集合A, B, C, D, Eが右図のようになっているならば、 　　　　∩𝔄は、右図青色部分となる。
定義	・論理記号を使って定義すると、 　　集合系𝔄の積集合∩𝔄＝ {x|(∀A∈𝔄)(x∈A) }　 　　　　　　　　　[松坂『集合・位相入門』第1章§2.F(p.19)] 　　そのまま書き下すと、 　　「すべての『集合系𝔄に属す集合』に属す元」をあつめた集合 　　となる。 ・僕なりに咀嚼すると… 　　(∀A∈𝔄)とは、(∀A)(A∈𝔄かつx∈A)の意味で、 　　　　　　　　　　　　　(A∈𝔄かつx∈A)とは、要するに、x∈A∈𝔄。 　　だから、上記の松坂の定義は、 　　∩𝔄＝ {x|(∀A)(x∈A∈𝔄) }　 　　としても、同じこと。

集合系の和集合・積集合の性質　

1.	すべての「集合系𝔄に属す集合」を含む様々な集合のなかで、∪𝔄が最小。 　・∪𝔄は、すべての「集合系𝔄に属す集合」を含む。 　　　　　論理記号で表すと、(∀S∈𝔄)（(∪𝔄)⊃S）	[文献] 　・松坂『集合・位相入門』第1章§2.F(式2.17-8) (p.20);
	・集合Zが、すべての「集合系𝔄に属す集合」を含むならば、 　　集合Zは、∪𝔄を含む。　 　　　　　論理記号で表すと、（(∀S∈𝔄)（Z⊃S））⇒（Z⊃(∪𝔄)）
	（例） 　　集合系𝔄＝ {A, B, C, D, E, F}　　で、 　　集合A, B, C, D, E, F　が右図のようになっているならば、 　　∪𝔄は、右図青色部分となる。　 　　集合A, B, C, D, E, Fすべてを含む様々な集合（たとえば、右図Z）のうちで 　　最小のものは、 　　確かに、∪𝔄であるようだ。 　→A∪Bは、AとBの両方を含む様々な集合のなかで、「最小」。
2.	すべての「集合系𝔄に属す集合」に含まれる様々な集合のなかで、 　∩𝔄が最大。	[文献] 　・松坂『集合・位相入門』第1章§2.F(式2.17-8) (p.20);
	・∩𝔄は、すべての「集合系𝔄に属す集合」に含まれる。 　　　論理記号で表すと、(∀S∈𝔄)（(∩𝔄)⊂S） 　・集合Zが、すべての「集合系𝔄に属す集合」に含まれるならば、 　　集合Zは、∩𝔄に含まれる。 　　　論理記号で表すと、（(∀S∈𝔄)（Z⊂S））⇒ （Z⊂(∩𝔄)）　 　（例） 　　集合系𝔄＝ {A, B, C, D, E}　で、 　　集合A, B, C, D, Eが右図のようになっているならば、 　　∩𝔄は、右図青色部分となる。　 　　集合A, B, C, D, Eのすべてに含まれる様々な集合 　　　（たとえば、下図のピンク部分）のうちで最大のものは、 　　確かに、∩𝔄であるようだ。　 　→A∩Bは、AとBの両方に含まれている様々な集合のなかで、「最大」。

reference