極限集合 : トピック一覧 

 ・上極限集合の定義/下極限集合の定義/上極限集合と下極限集合の包含関係 
        上極限集合と下極限集合の補集合/集合列の収束と極限の定義
 ・増大列の定義/減少列の定義/単調列の定義/単調列の極限は収束する/増大列の極限/減少列の極限
参考文献集合論目次総目次

定義: 集合列{An}の上極限集合superior limit・最大極限集合






[文献]
 ・黒崎『集合論演習』第5章I(1);II(1)(4)
 ・伊藤『ルベーグ積分入門p.7
 ・志賀『集合への30講』第12講(p.75;183)
 ・野田宮岡『数理統計学の基礎』3.1.3-4(p.74)
 ・鈴木山田『数理統計学p.6
 ・盛田『実解析と測度論の基礎』1.3面積と積分(p.25)
 ・『岩波数学辞典』225測度論C(p.627)


[関連事項] 数列の上極限/関数の上極限   
 集合列{An}の上極限集合superior limitないし最大極限集合   







lim sup
 An ないし  lim  An   
n→∞
n→∞

     とは、  
       
   




(

)(
)



Am
Am Am

n=1 m=n

m=1
m=2

          = (A1A2A3A4…)(A2A3A4…)(A3A4…)… 
 のことを指す。

(噛み砕いた説明)
1. 集合列{Am}{ A1,A2,A3,A4 ,…}から第n項以降を取り出して、
   集合列{Am|mn}{ An,An+1,An+2,… }をつくる。
2. 集合列{Am|mn}{ An,An+1,An+2,… }のunion(和集合)
   Un AnAn+1An+2
 をとる。
3.集合Un集合列{U1,U2,U3,…,}
  { (A1A2A3…), (A2A3A4…), (A3A4A5…),…}
 をつくる。(この集合列は減少列となる。)
4.集合Un集合列{U1,U2,U3,…,}の共通部分を、
 集合列{An}の上極限集合
 と呼び、


lim sup
An ないし

lim

An


n→∞
n→∞
 で表す

(上極限集合の意味) [黒崎『集合論演習』5章II(1);野田宮岡『数理統計学の基礎』3.1. 4(p.74);志賀『集合への30講』12講(p.75;183)]

集合列{An}の上極限集合は、無限に多くのAnに属すをすべて集めた集合を意味する。
→なぜ? 
以下の命題1命題2命題3命題4同値になる。
 命題1:ωが「集合列{An}の上極限集合」に属す
 つまり、    







(

)(
)

ω lim sup An  =


Am
Am Am



n→∞
n=1 m=n

m=1
m=2


                = (A1A2A3A4…)(A2A3A4…)(A3A4…)… 






=(AnAn+1An+2An+3


命題2: 任意の自然数nに対して、ω
Am
が満たされる。



m=n


    つまり、
       ω(A1A2A3A4…)  
    かつ ω(A2A3A4…) 
    かつ ω(A3A4…) 
         : 
         : 
         :
      
 命題3: nN mN  (mn かつ ωAm)
      どんな自然数nに対してでも、ちょうどよい自然数mが(少なくとも一つ)存在するので、
      どんな自然数nに対してでも、この自然数mを選んで 
         「 mn かつ ωAm
      を満たすことができる。
   つまり、
    n=1に対してωAm1となるAm1(m1n=1)が (少なくとも一つ)存在し、かつ
    n=2に対してωAm2となるAm2 (m2n=2)が (少なくとも一つ)存在し、かつ
    n=3に対してωAm3となるAm3 (m3n=3)が (少なくとも一つ)存在し、かつ
                 ・
                 ・
                 ・
 命題4:無限に多くのkに対してωAk 
     つまり、ある自然数の無限個の増加列{ k1,k2,k3,…}(k1k2k3<…)が存在して、
      ωAk1, ωAk2, ωAk3,…

 ※命題1命題2となるのはなぜ? 
 ※命題2命題3となるのはなぜ?
 ※命題3命題4となるのはなぜ? 

→[トピック一覧:極限集合]
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定義:集合列{An}の下極限集合 inferior limit・最小極限集合

 [黒崎『集合論演習』第5章I(1);II(1)(4);伊藤『ルベーグ積分入門p.7;志賀『集合への30講』第12講(p.75;183)
  野田宮岡『数理統計学の基礎』3.1.3-4(p.74);鈴木山田『数理統計学p.6;
  盛田『実解析と測度論の基礎』1.3面積と積分(p.25); 『岩波数学辞典』225測度論C(p.627)。]
   cf.数列の下極限、関数の下極限、 
  集合列{An}の下極限集合inferior limitないし最小極限集合 

lim inf
An ないし

lim

An


n→∞
n→∞
  とは、



(

)(
)

Am
Am Am

n=1 m=n

m=1
m=2

          = (A1A2A3A4…) (A2A3A4…) (A3A4…)
  のことを指す。

(噛み砕いた説明)
1.集合列{Am}{A1,A2,A3,A4,…}から第n項以降を取り出して、
   集合列{Am|mn}{An,An+1,An+2,…}をつくる。
2.集合列{Am|mn}{An,An+1,An+2,…}のintersection(共通部分)
   UnAnAn+1An+2
 をとる。
3.集合Un集合列{U1, U2, U3,…}
         { (A1A2A3…), (A2A3A4…), (A3A4A5…),…}
 をつくる。(この集合列は増加列となる。)
4.集合Un集合列{U1, U2, U3,…}のunion(和集合)を、
 集合列{An}の下極限集合
 と呼び、

lim inf
An ないし

lim

An


n→∞
n→∞
  で表す。

(下極限集合の意味) [黒崎『集合論演習』5章II(1);野田宮岡『数理統計学の基礎』3.1. 4(p. 74);
              志賀『集合への30講』12講(p.75;183)]
集合列{An}の下極限集合は、
ほとんど全てのAnに含まれるの全体からなる集合
(集合列{An}から有限個を除去してのちに、残った無限個すべてのAnに含まれるの全体からなる集合)
を意味する。
→なぜ? 
以下の命題1、命題2、命題3、命題4は同値になる。
 命題1:ωが「集合列{An}の下極限集合」に属す
 つまり、







(

)(
)

ω lim inf 
An  =
Am
Am Am



n→∞
n=1 m=n

m=1
m=2


                      = (A1A2A3A4…)(A2A3A4…)(A3A4…)… 






=(AnAn+1An+2An+3


命題2: (nN) (mN) (mn ω Am
が満たされる。



m=n



      mnを満たす全ての自然数mに対し、





ω Am


m=n

      を成立させる自然数nが存在する。
   つまり、
    ω(AnAn+1An+2An+3An+4…)    
    を成立させる自然数nが存在する。
 命題3:(nN) (mN) (mnωAm)  
 つまり、mnを満たす全ての自然数mに対し、
       ωAmを成立させる
     自然数nが存在する  
 命題4:ω(集合列{An}から有限個を除去したのちに、残った無限個すべてのAn)  
→命題1命題2となるのはなぜ? 
 命題1「ω { (A1A2A3A4) (A2A3A4) (A3A4) } 」
  
 ω(A1A2A3A4) or ω(A2A3A4) or ω(A3A4) or … 
                 ∵
AB ={ x | xA or xB }
  
 命題2「ω(AnAn+1A n+2A n+3A n+4) を成立させる自然数nが存在する。」  
→命題2命題3となるのはなぜ? 
 ω
(AnAn+1A n+2A n+3A n+4) とは、 
  ω
AnかつωAn+1かつωAn+2かつωAn+3かつωAn+4かつ… 
 を意味するから(∵ 
AB = { x | xAかつxB} )、 
 命題
2「 ω(AnAn+1A n+2A n+3A n+4) を成立させる自然数nが存在」 
 
「ωAnかつωAn+1かつωAn+2かつωAn+3かつωAn+4かつ…を成立させる自然数nが存在」
 
命題3mnを満たす全ての自然数mに対し、ωAmを成立させる自然数nが存在」 
→命題3命題4となるのはなぜ? 
・命題
3mnを満たす全ての自然数mに対しωAmを成立させる
     自然数
nが存在」
 
 集合列から、有限個(n1)の集合A1, A2, A3, A4,A n1を除去して残った全ての集合
   
AnAn+1A n+2A n+3A n+4… のにωはなっている。  
  つまり、ω
(集合列{An}から有限個を除去したのちに、残った無限個すべてのAn)  
・命題
4「ω(集合列{An}から有限個を除去したのちに、残った無限個すべてのAn)」  
 
 ωAmとならないmのなかで最大のものを(n1)とおくと、
    
mnを満たす全ての自然数mに対しωAm 。
   よって、命題
3mnを満たす全ての自然数mに対しωAmを成立させる自然数nが存在」
   が示された。    

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定理:上極限集合と下極限集合の包含関係

  [黒崎『集合論演習』第5章I(2); 伊藤『ルベーグ積分入門』p.7;野田宮岡『数理統計学の基礎』3.1.5(p. 75);
   盛田『実解析と測度論の基礎』1.3面積と積分(p.25);鈴木山田『数理統計学』p.6。]
   集合列{An}の上極限集合  集合列{An}の下極限集合 
   すなわち、


lim sup  An

lim inf  An


n→∞


n→∞



   または、




lim
 An 
lim

An 

n→∞
n→∞


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定理:上極限集合と下極限集合の補集合

 [黒崎『集合論演習』第5章II(2); 野田宮岡『数理統計学の基礎』3.1.5(p. 75);『岩波数学辞典』225測度論C(p.627)]
(1)集合列{An}の上極限集合補集合は、An補集合からなる集合列下極限集合である。 


( lim sup  An
) c
  
 lim inf   An c 


n→∞


n→∞



   または、



(
lim
 An 
) c   
lim

An c 

n→∞

n→∞


(2)集合列{An}の下極限集合補集合は、An補集合からなる集合列上極限集合である。 


( lim inf   An
) c
 
 lim sup   An c 


n→∞


n→∞



   または、



(
lim
 An 
) c   

lim

An c 

n→∞

n→∞


証明 [黒崎『集合論演習』第5章I(2); 野田宮岡『数理統計学の基礎』3.1.5(p. 75);]  
 上極限集合下極限集合の定義にたちかえった上で、ド・モルガン則を用いれば良い。 

 
→[トピック一覧:極限集合]
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定義:集合列{An}の収束・極限 limit

 [黒崎『集合論演習』第5章I(2); 伊藤『ルベーグ積分入門』p.7;野田宮岡『数理統計学の基礎』3.1.3(p. 74);
 盛田『実解析と測度論の基礎』1.3面積と積分(p.25); 『岩波数学辞典』225測度論C(p.627)]
 集合列{An}の上極限集合=下極限集合 が成り立つとき、
 集合列{An}は収束するといい、 
 集合列{An}の上極限集合=下極限集合
 集合列{An}の極限とよび、



lim
 An 


n→∞


であらわす。

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定義:(単調)増大列・増加列 increasing sequence

[野田宮岡『数理統計学の基礎』3.1.2(p. 73);鈴木山田『数理統計学』p.6;
 盛田『実解析と測度論の基礎』1.3面積と積分(p.25);]
 集合列{An}が
  An An+1 (n=1,2,…)
 を、満たすとき、「増大列である」「増加列である」という。

 
→[トピック一覧:極限集合]
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定義:(単調)減少列decreasing sequence

[野田宮岡『数理統計学の基礎』3.1.2(p. 73);鈴木山田『数理統計学』p.6;盛田『実解析と測度論の基礎』1.3面積と積分(p.25);]
 集合列{An}が
  An An+1 (n=1,2,…)
 を、満たすとき、「減少列である」という。

→[トピック一覧:極限集合]
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定義:単調列monotone sequence

  [野田宮岡『数理統計学の基礎』3.1.2(p. 73);鈴木山田『数理統計学』p.6;盛田『実解析と測度論の基礎』1.3面積と積分(p.25);]
 集合列{An}が単調列であるとは、
 集合列{An}が増加列または減少列であることをいう。

→[トピック一覧:極限集合]
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定理:単調列の極限

 [黒崎『集合論演習』第5章II(3);野田宮岡『数理統計学の基礎』3.1.5(p. 75);]
 集合列{An}が単調列であるならば、
 集合列{An}は収束する
 なぜ?→増加列のとき減少列のとき 


→[トピック一覧:極限集合]
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定理:増大列の極限

[鈴木山田『数理統計学p.6; 盛田『実解析と測度論の基礎』1.3面積と積分(p.25);]


増大列では極限
 
lim
 An 
  が存在し、



n→∞









lim An

Ak

 n→∞
k=1


  なぜなら、…
      増大列の極限


lim sup
An 
lim

An


n→∞
n→∞




(

)(
)


Am
Am Am

n=1 m=n

m=1
m=2

 


(

)(
)


Am Am


m=1
m=1

                      





=…=

=…

    ∵An An+1(n=1,2,…)より、 Am Am Am Am


m=1
m=2
m=n
m=n+1


(

)

Am

m=1


lim inf
An  lim An

n→∞
n






(

)(
)

Am
Am Am  


n=1 m=n


m=1
m=2


           A1A2A3A4… ∵AnAn+1(n=1,2,…)より

(

)

An

n=1


したがって、増大列{An }では、
lim
 An   
lim

An     が成り立ち、 lim
An  が存在する。


n→∞
n→∞

n→∞








lim An

Ak

 n→∞
k=1


  [具体例]
  集合列(−∞,1], (−∞,2], … , (−∞,100] , … , (−∞, 1000], … }
  すなわち、An (−∞, n ] , nNとして、集合列 { An | nN } を考える。
   集合列{An}は、An An+1 ( n=1,2,… ) を満たすので、「増大列」。
  {An}の上極限集合を調べてみると、

















lim sup
An 
lim

An   

Am ( Am )(
Am )… 


n→∞
n→∞

n=1 m=n
m=1

m=2


     ここで、




Am (−∞,1](−∞,2](−∞,100](−∞,1000](−∞,∞)R

m=1






Am      (−∞,2](−∞,100](−∞,1000](−∞,∞)R

m=2

        :
        :




Am             (−∞,100](−∞,1000](−∞,∞)R

m=100

        :
        :




Am                     (−∞,1000](−∞,∞)R

m=1000

        :
        :
     なので、


lim sup
An 
lim

An   
RRR 


n→∞
n→∞



  {An}の下極限集合を調べてみると、
















lim inf
An  lim An   
Am ( Am )( Am )… 


n→∞
n→∞

n=1 m=n
m=1

m=2


    ここで、




Am (−∞,1](−∞,2](−∞,100](−∞,1000](−∞,1]

m=1






Am      (−∞,2](−∞,100](−∞,1000](−∞,2]

m=2

        :
        :




Am             (−∞,100](−∞,1000](−∞,100]

m=100

        :
        :




Am                     (−∞,1000](−∞,1000]

m=1000

        :
        :





lim
Am (−∞,∞)R 

m→∞
m

    なので、


lim inf
An  lim An   
(−∞,1](−∞,2](−∞,100](−∞,1000](−∞,∞)  (−∞,∞)  R   


n→∞
n→∞





したがって、確かに、
lim
 An   
lim

An     が成り立ち、 lim
An  が存在する。


n→∞
n→∞

n→∞








lim An  (−∞,∞)  R
Ak

 n→∞
k=1



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定理:減少列の極限

  [鈴木山田『数理統計学p.6; 盛田『実解析と測度論の基礎』1.3面積と積分(p.25);]


減少列では極限
 
lim
 An 
  が存在し、



n→∞









lim An
Ak

 n→∞
k=1


  なぜなら、…
  減少列の極限

lim sup
An 
lim

An


n→∞
n→∞




(

)(
)


Am
Am Am

n=1 m=n

m=1
m=2


                   A1 A2 … 


Ak
AnAn+1(n=1,2,…)より、 Am

m=k





Ak

k=1


lim inf
An  lim An

n→∞
n






(

)(
)

Am
Am Am  


n=1 m=n


m=1
m=2




(

)(
)

Am Am  


m=1
m=1







=…

    ∵AnAn+1(n=1,2,…)より、 Am Am


m=1
m=2


(

)

Ak

k=1


したがって、減少列{An }では、
lim
 An   
lim

An     が成り立ち、 lim
An  が存在する。


n→∞
n→∞

n→∞








lim An
Ak

 n→∞
k=1


  [具体例]
  集合列
    (−∞, −1 ], (−∞, −2 ], (−∞, −3 ],…, (−∞, −100], …, (−∞, −1000], …
  すなわち、An=(−∞, −n ] , nNとして、集合列{ An | nN }を考える。
   集合列{An}は、AnAn+1 ( n=1,2,… ) を満たすので、「減少列」。

  {An}の上極限集合を調べてみると、
















lim sup
An 
lim

An   

Am ( Am )(
Am )… 


n→∞
n→∞

n=1 m=n
m=1

m=2


     ここで、




Am (−∞,−1](−∞,−2](−∞,−100](−∞,−1000](−∞,−∞) (−∞,−1] A1  

m=1






Am        (−∞,−2](−∞,−100](−∞,−1000](−∞,−∞) (−∞,−2] A2  

m=2

        :
        :




Am                (−∞,−100](−∞,−1000](−∞,−∞)(−∞,−100] A100

m=100

        :
        :




Am                         (−∞,−1000](−∞,−∞)(−∞,−1000] A1000 

m=1000

        :
        :





lim
Am (−∞,−∞)φ 

m→∞
m


     なので、


lim sup
An 
lim

An   
A1A2A100A1000(−∞,−1](−∞,−2](−∞,−100](−∞,−1000]φ 


n→∞
n→∞



  {An}の下極限集合を調べてみると、
















lim inf
An  lim An   
Am ( Am )( Am )… 


n→∞
n→∞

n=1 m=n
m=1

m=2


    ここで、




Am (−∞,−1](−∞,−2](−∞,−100](−∞,−1000](−∞,−∞)φ

m=1






Am      (−∞,−2](−∞,−100](−∞,−1000](−∞,−∞)φ

m=2

        :
        :




Am              (−∞,−100](−∞,−1000](−∞,−∞)φ

m=100

        :
        :




Am                     (−∞,−1000](−∞,−∞)φ

m=1000

        :
        :
    なので、

lim inf
An  lim An   
φφφφφφφ           


n→∞
n→∞




したがって、確かに、
lim
 An   
lim

An     が成り立ち、 lim
An  が存在する。


n→∞
n→∞

n→∞








lim An  (−∞,−∞)  φ
Ak

 n→∞
k=1



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reference

日本数学会編集『岩波数学辞典(第3版)』 岩波書店、1985年、225測度論C(p.627)。
鈴木武・山田作太郎『数理統計学―基礎から学ぶデータ解析(第2版)』内田老鶴圃、1998年、p.6。
野田一雄・宮岡悦良『数理統計学の基礎』共立出版、1992年、3.1.2-6(pp.73-74)。
黒崎達(いたる)『集合論演習』槙書店、1975年、第5章I(1)-(4);II(1)-(5)。
伊藤清三『ルベーグ積分入門』裳華房、1963年、p. 7。
志賀浩二『集合への30講』朝倉書店、1988年、第12講(p.75)、問の答(p.183)。
盛田健彦『数学レクチャーノート基礎編4:実解析と測度論の基礎』培風館、2004年。


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