一般の数ベクトル空間の定義　：　トピック一覧

定義：数ベクトル・第i成分・スカラー/Kn/単位ベクトル/零ベクトル/n次元数ベクトル空間・ベクトル和・スカラー倍/逆ベクトル　
定理：数ベクトル空間のベクトル和の性質/数ベクトル空間のスカラー乗法の性質/数ベクトル空間はベクトル空間の一例

※数ベクトル空間関連ページ：線形結合/一次独立・一次従属/基底/次元　
※上位概念：一般のベクトル空間　
※数ベクトル空間の具体例：実n次元数ベクトル空間Rn/ 実2次元数ベクトル空間R2 /複素ベクトル空間　　

→線形代数目次　
→総目次　

定義：n次元数ベクトル・n組ベクトル　n-tuple 、第i成分 i-th component 、スカラー　


【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　

【本題】

・「体Kの元」をn個並べたもの　　
　すなわち、
　体Kから元v1,v2,…,vnをとって順序をつけた、n組
　　　　　　v= ( v1, v2, …, vn )　　ただし、v1∈Kかつv2∈Kかつ…かつvn∈K 　　
　のことを、n次元数ベクトル、n項数ベクトル、n組ベクトルという。

　　Cf.ベクトル空間の次元　

・また、上記のv1をベクトルvの第1成分、上記のv2をベクトルvの第2成分、…、上記のvnをベクトルvの第n成分と呼ぶ。

・n次元の横ベクトルとは、( v1, v2, …, vn )のように横に並べたn次元数ベクトルのこと。
　n次元の縦ベクトルとは、
　　　　　　　
　といった具合に、縦に並べたn次元数ベクトルのこと。
　ベクトルを、横ベクトルか縦ベクトルのいずれかに決めると、行列として扱え、行列の積の演算が可能となる。　

・体Kからつくった上記のベクトルに対して、「体Kの元」をスカラーと呼ぶ。


【具体例】

　・実n次元数ベクトル(Kを実数体としたもの)

　・実2次元数ベクトル

　・複素ベクトル(Kを複素数体としたもの)　

※ここで「n次元数ベクトル」というときの「n次元」は、単に、「n個並べた」という意味。
　基底を構成するベクトルの個数として定義される「ベクトル空間の次元」とは、とりあえず無関係。

【文献】

　・『岩波数学辞典』210線形空間:A定義 例2 (p.570)
　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.2(p.8)
　・佐武『線形代数学』Ⅰ§1(pp.1-4);ホフマン『線形代数学I』2.1-例1(p.29)
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.1(pp.102-6)
　・本部『新しい代数』5.2-Aベクトル空間(p.133)　

→[トピック一覧：数ベクトル空間一般の定義]
→線形代数目次・総目次　

定義：Kn


【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　

【本題】

　体Kからつくったn次元数ベクトルをすべて集めた集合（つまり、Kのn回の直積）を、Knで表す。　
　すなわち、Kn＝K×K×…×K= { ( v1, v2, …, vn ) ｜ v1∈K かつ v2∈K かつ…かつ vn∈K }　

【具体例】

　　Rn(Kを実数体としたもの)/R2  


【文献】

　・『岩波数学辞典』210線形空間:A定義 例2 (p.570)
　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.2(p.8)
　・佐武『線形代数学』Ⅰ§1(pp.1-4)
　・ホフマン『線形代数学I』2.1-例1(p.29)
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.1(pp.102-6)
　・本部『新しい代数』5.2-Aベクトル空間(p.133)
　・酒井『環と体の理論』1.6ベクトル空間(p.22)


→[トピック一覧：数ベクトル空間一般の定義]
→線形代数目次・総目次　

定義：零ベクトル　


【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　

【本題】

・体Kにおける加法の単位元「0」をn個並べてつくったベクトル
　　　　　　０= ( 0, 0, …, 0 )　　　
　を、n次元の零ベクトルと呼ぶ。

・体Kにおける加法の単位元0は、当然0∈K 。　　
　したがって、０=( 0, 0, …, 0 )　は、体Kからつくったn次元数ベクトルの定義を満たし、
　　　　　０∈Kn　

【具体例】

　　Rnにおける零ベクトル(Kを実数体としたもの)/R2における零ベクトル  
　　

【文献】

　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.2(p.9)

　・佐武『線形代数学』Ⅰ§1(p.2)

　・神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.1(p.106)


→[トピック一覧：数ベクトル空間一般の定義]
→線形代数目次・総目次　

定義：単位ベクトル・基本ベクトル


【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
　Kn：体Kからつくったn次元数ベクトルをすべて集めた集合。　　
　　　すなわち、Kn=K×K×…×K＝{ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Kかつv2∈Kかつ…かつvn∈K }　　　
【本題】

Knにおける単位ベクトル・基本ベクトルとは、
次のn個の「体Kからつくったn次元数ベクトル」e1, e2,…,enのことをいう。
　e1＝( 1, 0,0, …, 0 )　
　e2＝( 0, 1, 0, …, 0 )　　　　
　：　
　：　
　en-1＝( 0, 0, 0, …, 0, 1, 0 )　　　　
　en＝( 0, 0, 0, …, 0, 0, 1 )　　　　

つまり、

e1： 第１成分が「体Kにおける乗法の単位元」1で、
第2成分～第n成分が「体Kににおける加法の単位元」0であるベクトル
e2： 第2成分が「体Kにおける乗法の単位元」1で、
第1成分・第3成分～第n成分が「体Kにおける加法の単位元」0であるベクトル
：
：		 　
en-1： 第(n-1)成分が「体Kにおける乗法の単位元」1で、
第1成分～第(n－2)成分・第n成分が「体Kにおける加法の単位元」0であるベクトル
en： 第n成分が「体Kにおける乗法の単位元」1で、
第1成分～第(n-1)成分が「体Kにおける加法の単位元」0であるベクトル

といった具合に、
第i成分だけ「体Kにおける乗法の単位元」1で、その他の(n-1)個の成分を「体Kにおける加法の単位元」0とした「体Kからつくったn次元数ベクトル」ei　(n=1,2,…,n)を、
Knにおける単位ベクトル・基本ベクトルという。　　

※単位ベクトルの性質：単位ベクトルの一次結合/単位ベクトルは一次独立/単位ベクトルは基底をなす　


【具体例】

　Rnにおける単位ベクトル/R2における単位ベクトル

【文献】

　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.2(p.11)
　・佐武『線形代数学』Ⅰ§1(p.4)


→[トピック一覧：数ベクトル空間一般の定義]
→線形代数目次・総目次　

定義：n次元数ベクトル空間・ベクトルの加法・スカラー乗法　　


【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
　Kn：体Kからつくったn次元数ベクトルをすべて集めた集合。　　
　　　すなわち、Kn=K×K×…×K＝{ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Kかつv2∈Kかつ…かつvn∈K }　　　
【本題】

　体K上のn次元数ベクトル空間とは、集合Knに、次の２つの演算を定義したもののこと。

　【演算１：数ベクトルの加法】　　

　　任意のu＝(u1, u2,…,un )∈Kn　と、任意のv＝( v1, v2, …, vn )∈Knに対して、
　　そのベクトル和u＋vを、次のように定義する。
　　　u＋v=(u1, u2,…,un )＋( v1, v2, …, vn )=( u1＋v1, u2＋v2 , …, un＋vn )　

　【演算２：スカラー乗法】　　　

　体Kの任意の元aと、Knの任意の元v＝( v1, v2, …, vn )に対して、
　そのスカラー倍av　を、次のように定義する。　　
　　　av=a ( v1, v2, …, vn )=( av1, av2 , …, avn )　　　　　　

※ここで「n次元数ベクトル空間」というときの「n次元」は、単に、数を「n個並べた」という意味。
　基底を構成するベクトルの個数として定義される「ベクトル空間の次元」とは、とりあえず無関係。
　数を「n個並べた」ベクトルの集合に上記の演算を定義しただけの「n次元数ベクトル空間」が、
　ベクトル空間になるかどうか、そのベクトル空間としての次元がn次元であるかどうかは、
　別に説明を要す。
　　→n次元数ベクトル空間がベクトル空間になることの証明　　
　　→n次元数ベクトル空間のベクトル空間としての次元がn次元であることの証明　　
※上記のように、ベクトルの加法・スカラー乗法を定義すると、
　「任意のu,v∈Knに対して、u＋v∈Kn」「任意のa∈K,v∈Knに対して、av∈Kn」となる。
なぜなら、　　　　　
(step1)
Kは体だから、体の定義より、
　　Kは、加法, 乗法という二項演算が定められた代数系である。
　したがって、二項演算の定義から、　　　
　　x,y∈Kを満たす限りで任意の(x,y)にたいして、x+y∈K,xy∈Kが定められていることになる。　
(step2)
Knは、{ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Kかつv2∈Kかつ…かつvn∈K }と定義されたから、　
　　任意のu＝(u1, u2,…,un )∈Knと、任意のv＝( v1, v2, …, vn )∈Knに対して、　
u1, u2,…, un, v1, v2, …, vn∈Kである。　　
(step3)
任意のu＝(u1, u2,…,un )∈Knと、任意のv＝( v1, v2, …, vn )∈Knに対して、
　step1, step2より、u1＋v1, u2＋v2 , …, un＋vn ∈K　となるから、　
u＋v=( u1＋v1, u2＋v2 , …, un＋vn )は、
　　　Knの定義：{ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Kかつv2∈Kかつ…かつvn∈K }
を満たす。　　　　
(step4)
任意のa∈Kと、任意のv＝( v1, v2, …, vn )∈Knに対して、
　step1, step2より、av1,av2 , …, avn ∈K　となるから、　
av=(av1, av2 , …, avn )は、
　　　Knの定義：{ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Kかつv2∈Kかつ…かつvn∈K }
を満たす。


【具体例】

　実n次元数ベクトル空間(Kを実数体としたもの)/実2次元数ベクトル空間・ベクトル和・スカラー倍、複素ベクトル空間(Kを複素数体としたもの)　


【文献】

　・『岩波数学辞典』210線形空間:A定義 例2 (p.570)
　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.2(p.8)
　・佐武『線形代数学』Ⅰ§1(pp.1-4)
　・ホフマン『線形代数学I』2.1-例1(p.29)
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.1(pp.102-6)
　・本部『新しい代数』5.2-Aベクトル空間(p.132)
　・酒井『環と体の理論』1.6ベクトル空間(p.22)


→[トピック一覧：数ベクトル空間一般の定義]
→線形代数目次・総目次　

定義：逆ベクトル　



【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
　Kn：体K上の数ベクトル空間。　　
　　　すなわち、Kn=K×K×…×K＝{ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Kかつv2∈Kかつ…かつvn∈K }　に、
　　　　　　　　ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。

【本題】
　
・任意のv＝( v1, v2, …, vn )∈Knを、
　体Kにおける乗法の単位元「1」の加法の逆元「－１」によってスカラー倍したもの
　　　　　　　　(-1)v＝( v1, v2, …, vn )＝( (-1)v1, (-1)v2, …, (-1)vn )　
　を、－vとかいて、vの逆ベクトルと呼ぶ。
・「任意のa∈K,v∈Knに対して、av∈Kn」だから（∵）、　　
　－v=(-1)v∈Kn　

【具体例】
　Rnにおける逆ベクトル/ R2における逆ベクトル　　　　

【文献】

　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.2(p.9);
　・佐武『線形代数学』Ⅰ§1(p.2)

　

→[トピック一覧：数ベクトル空間一般の定義]
→線形代数目次・総目次　

定理：数ベクトル空間におけるベクトルの加法の性質　


【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
　Kn：体K上の数ベクトル空間。　　
　　　すなわち、Kn=K×K×…×K＝{ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Kかつv2∈Kかつ…かつvn∈K }　に、
　　　　　　　　ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。

【本題】

1. 体K上の数ベクトル空間Knにおいて定義されているベクトルの加法＋は、
　　「結合則：( ∀u,v,w∈Kn) ( ( u+v )+w = u+( v+w ) )」を満たす。　　　
2. 体K上の数ベクトル空間Knにおいて定義されているベクトルの加法＋と、
　　Knにおけるn次元零ベクトル０= ( 0, 0, …, 0 )は、
　　　　任意のv∈Kn にたいして、 v+０= v を満たす。　　
3. 体K上の数ベクトル空間Knにおいて定義されているベクトルの加法＋は、
　　　　任意のv∈Kn にたいして、 v+(－v)=０ を満たす。　　
4. 体K上の数ベクトル空間Knにおいて定義されているベクトルの加法＋は、
 　　「可換則：( ∀u,v∈Kn ) (u＋v =v＋u )」を満たす。　



【具体例】

　　Kを実数体としたケース、


【文献】

　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.2(p.9);

　・佐武『線形代数学』Ⅰ§1(p.2)
　　　　　　　　

　

→[トピック一覧：数ベクトル空間一般の定義]
→線形代数目次・総目次　

定理：数ベクトル空間におけるスカラー乗法の性質　


【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
　Kn：体K上の数ベクトル空間。　　
　　　すなわち、Kn=K×K×…×K＝{ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Kかつv2∈Kかつ…かつvn∈K }　に、
　　　　　　　　ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。

【本題】

1. 体K上の数ベクトル空間Knにおいて定義されているスカラー乗法と、
　　体K上で定義された乗法の単位元"1" は、　
　　　　　任意のv∈Kn に対して、1v=v　
　　を満たす。　　
2. 体K上の数ベクトル空間Knにおいて定義されているスカラー乗法は、　
　　　　結合則：任意のa,b∈Kと、任意のv∈Knに対して、(ab)v=a(bv)　
　　を満たす。　　　
3. 体K上の数ベクトル空間Knにおいて定義されているスカラー乗法とベクトルの加法＋は、　　　
　　　　ベクトルに関する分配則：任意のa∈Kと、任意のu,v∈Knに対して、a(u+v)=au+av　　
　　を満たす。　　　
4. 体K上の数ベクトル空間Knにおいて定義されているスカラー乗法とベクトルの加法＋は、　　　
　　　　スカラーに関する分配則：任意のa,b∈Kと、任意のv∈Knに対して、(a+b)v=av＋bv　　
　　を満たす。　

【具体例】
　　
 　Kを実数体としたケース、


【文献】

　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.2(p.9)

　・佐武『線形代数学』Ⅰ§1(p.2)



→[トピック一覧：数ベクトル空間一般の定義]
→線形代数目次・総目次　

定理：n次元数ベクトル空間はベクトル空間の一例である。


【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
　Kn：体K上の数ベクトル空間。　　
　　　すなわち、Kn=K×K×…×K＝{ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Kかつv2∈Kかつ…かつvn∈K }　に、
　　　　　　　　ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。

【本題】

体K上の数ベクトル空間Knは、体K上のベクトル空間の一具体例である。
なぜなら、
・数ベクトル空間Knには、
　　任意のu,v∈Knに対して、u＋v∈Kn、任意のa∈K,v∈Knに対して、av∈Kn　
　を一つずつ定めるベクトルの加法とスカラー乗法が定められており、
　体K上のベクトル空間であるための条件I-1,II-1を、
　数ベクトル空間Knは、満たしている。　　　
・数ベクトル空間Knでは、数ベクトル空間におけるベクトルの加法の性質と、数ベクトル空間におけるスカラー乗法の性質の8つの条件が成り立っている。
　この8条件は、体K上のベクトル空間であるための条件I-2,II-2は満たすものである。
　したがって、数ベクトル空間Knは、体K上のベクトル空間であるための条件I-2,II-2を満たしている。　　

【具体例】

　Rnも実数体上のベクトル空間の一例→詳細　　


【文献】

　・『岩波数学辞典』210線形空間:A定義(pp.570-576)
　・本部『新しい代数』5.2-Aベクトル空間(p.132)
　・酒井『環と体の理論』1.6ベクトル空間(p.22)
　・ホフマン『線形代数学I』2.1例1(p.29)
　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.3(pp.14-6)
　・佐武『線形代数学』Ⅲ§6(pp.114-5)
　・志賀『線形代数30講』13講(pp.85-7);14講(pp.88-90)
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.1(pp.105-6)
　・松坂『集合・位相入門』3章§5C(p.133)

　

→[トピック一覧：数ベクトル空間一般の定義]
→線形代数目次・総目次　

定理：零ベクトルのスカラー倍


【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
　Kn：体K上の数ベクトル空間。　　
　　　すなわち、Kn=K×K×…×K＝{ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Kかつv2∈Kかつ…かつvn∈K }　に、
　　　　　　　　ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。
　０：Kn上の零ベクトル。
　a：スカラー。つまり、a∈K　

【本題】

零ベクトルのスカラー倍は、すべて、零ベクトル。
つまり、任意のa∈Kにたいして、a０＝０　
【具体例】

　　Kを実数体としたケース、
　

【文献】

　・佐武『線形代数学』Ⅰ§1(p.3)

　

→[トピック一覧：数ベクトル空間一般の定義]
→線形代数目次・総目次　

定理：ベクトルのスカラー０倍　


【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
　Kn：体K上の数ベクトル空間。　　
　　　すなわち、Kn=K×K×…×K＝{ ( v1, v2, …, vn )｜v1∈Kかつv2∈Kかつ…かつvn∈K }　に、
　　　　　　　　ベクトルの加法とスカラー乗法を定義したもの。
　０：Kn上の零ベクトル。
　a：スカラー。つまり、a∈K　

【本題】

　任意のn次元数ベクトルのスカラー0倍は、すべて、零ベクトル。
　すなわち、任意のv∈Knにたいして、０v＝０　　　

※具体例：Kを実数体としたケース


【文献】

　・佐武『線形代数学』Ⅰ§1(p.3)

　
　　

→[トピック一覧：数ベクトル空間一般の定義]
→線形代数目次・総目次　

(reference)


日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)

【線形代数のテキスト】

ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.1ベクトル空間(pp.28-34)。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.1-b(p.155).
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、13講ベクトル空間へ(pp.85-7);14講ベクトル空間の例と基本概念(pp.88-90)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§2線形空間(p.96):実線形空間･複素線形空間のみ;附録Ⅲ§2体(p.249)。

【代数学のテキスト】


本部均『新しい数学へのアプローチ5：新しい代数』共立出版、1969年、5.2-Aベクトル空間(p.132)。
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8：環と体の理論』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22)。

【数理経済学のテキスト】