定義　：　二つの集合が 「交わるintesect 」　

【はじめに読む定義】


　・「集合Aと集合Bは交わる」とは、集合A,Bの両方に属している元が、少なくとも一個以上実在しているということ。
　・「集合Aと集合Bは交わる」ケースの諸類型：　[中谷『論理』 5.3-A(p.119)]

(i)　 (ii) (iii) (iv)

　　「A⊃B」であるが、 「A⊂B」ではないケース（このとき、A,Bはいつも交わって、交わりA∩BはB。） 　　「A⊃B」でないが、　「A⊂B」ではあるケース 　　A＝B となるケース 　　「A⊃B」でないと同時に「A⊂B」でもないケース　- A,Bが交わる場合
　



[文献]
　・『岩波数学辞典（第三版）』項目162B(p.429);
　・竹内『集合とはなにか―はじめて学ぶ人のために』1章-「空集合」(pp.53-54):「互いに疎」
　・中内『ろんりの練習帳』定義3.1.25(p.144)
　・松坂『集合・位相入門』1章§2-B(p.14);1章§2問題2(p.21):解答なし
　・松坂『解析入門3』12.1-c(p.7)
　・黒崎達『集合論演習』1章Ⅳ補充雑題(2) (p.26)
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』1.1.2(p.1)
　・DeLaFuente,Mathematical Methods and Models for Economists,I-1-１(p.5)"Two sets A and B are disjoint if they have no elements in common."
　・Rudin, Principles of Mathematical Analysis (3rd ed), 2.9(p.27)

※「互いに素」の述語論理による表現　　　　
　・反意語は、「集合Aと集合Bとは互いに素(疎)・分離している 」。

【厳密な定義】


・「集合Aと集合Bは交わる 」
　"A and B intersect" [Rudin 2.9(p.27)]
　とは、

　集合A,Bが　
　　「《集合A,Bの共通部分》が空集合にならない」
　という状況に置かれているということ、

　集合の記号で表すと、
　　「A∩B ≠ φ」。　[松坂『集合・位相入門』p.14]

　[　→言い換え可能な表現一覧　]


　・「集合A,Bが交わる」ケースの諸類型：　[中谷『論理』 5.3-A(p.119)]
　　【ケース1】　　集合A,Bが「A⊃B」かつ「A含まれないB」という関係にあるケース。このとき、「A∩B＝B≠ φ」というかたちで、「集合Aと集合Bは交わる 」。[→詳細]
　　　　　　「A⊃B」であるが、 「A⊂B」ではないケース（このとき、A,Bはいつも交わって、交わりA∩BはB。）　　　＊　 「A⊃B」⇔「A∩B＝B」だから、「A∩B ≠ φ かつ A⊃B」が成り立つとき、「A∩B＝B≠ φ」が成り立つ。　
　　【ケース2】　　集合A,Bが「B⊃A」かつ「B含まれないA」という関係にあるケース。このとき、「A∩B＝A≠ φ」というかたちで、「集合Aと集合Bは交わる 」　
　　　　　　「A⊃B」でないが、　「A⊂B」ではあるケース　　　＊　「A⊂B」⇔「A∩B＝A」だから、「A∩B ≠ φ かつ B⊃A」が成り立つとき、「A∩B＝A≠φ」が成り立つ。

　
　　【ケース3】　　集合A,Bが「A⊃B」かつ「A⊂B」という関係、すなわち、「A＝B」という関係にあるケース。このとき、「A∩B＝A＝B≠ φ」というかたちで、「集合Aと集合Bは交わる 」
　　　　　　A＝B となるケース　　＊　 「A⊃B⇔A∩B＝B」「A⊂B⇔A∩B＝A」だから、「A∩B ≠ φ かつ A⊃B かつ A⊂B」が成り立つとき、「A∩B＝A＝B≠ φ」が成り立つ。　
　　【ケース4】　　集合A,Bが「A⊃B」という関係にあるとも、「A⊂B」という関係にあるとも、言えない場合、A,Bが交わるケースもあれば、交わらない・互いに素となるケースもある。
　　　　　　　 　集合A,Bは、「A⊃B」という関係にあるとも、「A⊂B」にあるとも、言えないが、交わるケース。
　　　　　　　　　　【ケース4-1】 集合A,Bは交わるが互いに含まれない.　「A∩B ≠ φ」かつ「A含まれないB」かつ「A含まれないB」　[→詳細]
　　　　　　　　　　　　　　「A⊃B」でないと同時に「A⊂B」でもないケース　- A,Bが交わる場合
　　　　　　　　　　【ケース4-2】 集合A,Bは交わるが、AはBを含まない　　「A∩B ≠ φ」かつ「A含まれないB」　[→詳細]　
　　　　　　　　　　　　　　　「A⊃B」でないが、　「A⊂B」ではあるケース　または　「A⊃B」でないと同時に「A⊂B」でもないケース　- A,Bが交わる場合　　
　　　　　　　　　　【ケース4-3】 集合A,Bは交わるが、AはBに含まれない　「A∩B ≠ φ」かつ「A含まれないB」　[→詳細]　
　　　　　　　　　　　　　　　「A⊃B」であるが、 「A⊂B」ではないケース（このとき、A,Bはいつも交わって、交わりA∩BはB。）　または　「A⊃B」でないと同時に「A⊂B」でもないケース　- A,Bが交わる場合　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

→[交わる/互いに素]冒頭
→[トピック一覧：集合の基本概念－定義と記号]
→集合論目次

「集合A,Bは交わる」の同値条件一覧



【活用例】
　・外点定義の諸表現/境界点定義の諸表現　

【文献】
　・竹内『集合とはなにか―はじめて学ぶ人のために』1章-「空集合」(pp.53-54):「互いに疎」
　・松坂『集合・位相入門』1章§2-B(p.14);1章§2問題2(p.21):解答なし:「互いに疎」
　・黒崎達『集合論演習』1章Ⅳ補充雑題(2) (p.26):「互いに疎」

　・彌永『集合と位相I』 問題1.9(1)(pp.22-23)：証明なし:「互いに疎」
・全体集合Ωのなかで集合を考えているとき、
　「集合A,Bは交わる」　A∩B ≠ φ　　…　(表現1)
　　　　つまり、
　　　　「《集合A,Bの共通部分》が空集合にならない」という状況に
　　　　集合A,Bが置かれているということ
　は、
　下記表現
　　(1')　
　　(2-1)(2-2)
　　(3-1)(3-2)(3-3)
　　(4)(4')
　　(5)(5')
　　(6)(6')
　　(7)(7')
　　(8)(8')　「　A左は右の部分集合ではないBc　」「　Ac 部分集合として含まないB　」
　のどれとでも、互いに言い換え可能。



【表現1'】　


・「集合A,Bは交わる」　「集合A,Bは互いに素でない」　は、同じことなので、　
　互いに言い換え可。

・論理記号・集合の記号で表すと、

　(表現1)　A∩B ≠ φ　　⇔　(表現1')　￢（A∩B ＝ φ）

【一覧】

　→「集合A,Bは交わる」同値条件一覧 　　











【「交わる」(表現1)⇔(表現2-1)となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現2-1)「 （ ∃ω∈Ω　ω∈A∩B ） 」　
　　　　という風に、言い換えていいの？

　【A】　「≠φ」の同値条件にしたがって、言い換えられるから。
　









【表現2-1】　「≠φ」を用いずに　


・「集合A,Bは交わる」　は、

　「 A∩Bに属す元が、最低一個は存在している 」

　と同じこと。

　互いに言い換えてよい。

・論理記号・集合の記号で表すと、

　(表現1)　A∩B ≠ φ　　⇔　(表現2-1) ∃ω∈Ω　ω∈A∩B 　　　

　「A⊃B」であるが、 「A⊂B」ではないケース（このとき、A,Bはいつも交わって、交わりA∩BはB。）　「A⊃B」でないが、　「A⊂B」ではあるケース　A＝B となるケース
　「A⊃B」でないと同時に「A⊂B」でもないケース　- A,Bが交わる場合

【反意語】

　・(表現2-1)の否定は、「互いに素」言い換え(表現2-1)。

【一覧】

　→「集合A,Bは交わる」同値条件一覧 　　









【「交わる」(表現1)⇔(表現2-2)となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現2-2)「 ￢ ∀ω∈Ω （ωの元ではないA∩B）」　
　　　　という風に、言い換えていいの？

　【A】　「≠φ」の同値条件にしたがって、言い換えられるから。
　




　



【表現2-2】　「≠φ」を用いずに


・「 集合A,Bは交わる 」　は、

　「 『すべての《Ωの元》が、A∩B に属してない』 ってことはない 」　　　　

　と同じこと。

　互いに言い換えてよい。

・論理記号・集合の記号で表すと、

　　　(表現1)　A∩B ≠ φ　
　⇔　(表現2-2)　 ￢ ∀ω∈Ω （ωの元ではないA∩B）
　　　　　すなわち　 ￢ ∀ω∈Ω 　￢（ω∈A∩B）　
　　　[竹内『集合とはなにか』1章-「空集合」(p.54)]　　

　「A⊃B」であるが、 「A⊂B」ではないケース（このとき、A,Bはいつも交わって、交わりA∩BはB。）　「A⊃B」でないが、　「A⊂B」ではあるケース　A＝B となるケース
　「A⊃B」でないと同時に「A⊂B」でもないケース　- A,Bが交わる場合

【反意語】

　・(表現2-2)の否定は、「互いに素」言い換え(表現2-2)。

【一覧】

　→「集合A,Bは交わる」同値条件一覧 　　











【「交わる」(表現1)⇔(表現3-1)となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現3-1)「  ∃ω∈Ω　ω∈Aかつω∈B 」　
　　　　という風に、言い換えていいの？
　【A】
　　　　[step1]　「≠φ」の同値条件にしたがっ て、　
　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現2-1)「 （ ∃ω∈Ω　ω∈A∩B ） 」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　「ω∈A∩B」 ⇔「ω∈A かつ ω∈B」という同値条件にしたがって、
　　　　　　　　　(表現2-1)「 （ ∃ω∈Ω　ω∈A∩B ） 」　⇔　(表現3-1)「  ∃ω∈Ω　ω∈Aかつx∈B 」　
　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　だから、上記step1に引き続きstep2をおこなうことで達成される　
　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現3-1)「  ∃ω∈Ω　ω∈Aかつx∈B 」　
　　　　　　　　という言い換えも、やっていいことになる。









【表現3-1】　「≠φ」「∩」など、「∈」以外の集合概念 を用いずに。 　　


・「集合A,Bは交わる」　は、

　「 Ωのなかには、少なくとも一個以上の　　
　　　　《集合Aに属し、かつ、集合Bにも属す元》
　　　　　　　すなわち《集合A,B両方に属す元》　
　　　　　　　　　　　　　　　　が実在している」
　と同じこと。

　互いに言い換えてよい。

・論理記号・集合の記号で表すと、

　(表現1)　A∩B ≠ φ　　⇔　(表現3-1)　∃ω∈Ω　ω∈Aかつω∈B　

　「A⊃B」であるが、 「A⊂B」ではないケース（このとき、A,Bはいつも交わって、交わりA∩BはB。）　「A⊃B」でないが、　「A⊂B」ではあるケース　A＝B となるケース
　「A⊃B」でないと同時に「A⊂B」でもないケース　- A,Bが交わる場合

【反意語】

　・(表現3-1)の否定は、「互いに素」言い換え(表現3-1)。

【深化】

　→述語論理への還元

【一覧】

　→「集合A,Bは交わる」同値条件一覧 　　




　　　　



【「交わる」(表現1)⇔(表現3-1')となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現3-1')　∃ω∈A　ω∈B　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(表現3-1'')　∃ω∈B　ω∈A　　
　　　　という風に、言い換えていいの？
　【A】
　　　　[step1]　(表現3-1)吹き出しコラムで述べた理由にしたがっ て、　
　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現3-1)「  ∃ω∈Ω　ω∈Aかつx∈B 」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　「∃ω∈A　P(ω)」 という記号が、「∃ω（ω∈A　かつ　P(ω) ）」の省略形として定義されていて、
　　　　　　　　さらに、「∃ω（ ）」の議論領域Ωを明示した表記が「∃ω∈Ω（  ）」だから、
　　　　　　　　　(表現3-1)「  ∃ω∈Ω　ω∈Aかつx∈B 」　⇔　(表現3-1')　∃ω∈A　ω∈B　
　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　「∃ω∈B　P(ω)」 という記号が、「∃ω（P(ω) かつ ω∈B ）」の省略形として定義されていて、
　　　　　　　　さらに、「∃ω（ ）」の議論領域Ωを明示した表記が「∃ω∈Ω（  ）」だから、
　　　　　　　　　(表現3-1)「  ∃ω∈Ω　ω∈Aかつx∈B 」　⇔　(表現3-1'')　∃ω∈B　ω∈A　
　　　　　　　　と言い換えていい。








【表現3-1'】　「≠φ」「∩」など、「∈」以外の集合概念 を用いずに。 　　


・「集合A,Bは交わる」　は、

　「 集合Aのなかに、
　　少なくとも一個以上の《集合Bに属す元》
　　が実在している」

　ないし
　　
　「 集合Bのなかに、
　　　少なくとも一個以上の《集合Aに属す元》
　　が実在している」

　と同じこと。

　互いに言い換えてよい。

・論理記号・集合の記号で表すと、

　(表現1)　A∩B ≠ φ　　⇔　(表現3-1')　∃ω∈A　ω∈B　
　　　　　　　　　　　　　　(表現3-1'')　∃ω∈B　ω∈A　

　「A⊃B」であるが、 「A⊂B」ではないケース（このとき、A,Bはいつも交わって、交わりA∩BはB。）　「A⊃B」でないが、　「A⊂B」ではあるケース　A＝B となるケース
　「A⊃B」でないと同時に「A⊂B」でもないケース　- A,Bが交わる場合

【反意語】

　・(表現3-1)の否定は、「互いに素」言い換え(表現3-1')。

【深化】

　→述語論理への還元

【一覧】

　→「集合A,Bは交わる」同値条件一覧 　　











【「交わる」(表現1)⇔(表現3-2)となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現3-2)「 ￢∀ω∈Ω （￢　ω∈Aかつω∈B） 」　
　　　　という風に、言い換えていいの？
　【A】
　　　　[step1]　「≠φ」の同値条件にしたがっ て、　
　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現2-2)「 ￢ ∀ω∈Ω 　￢（ω∈A∩B）」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　「ω∈A∩B」 ⇔「ω∈A かつ ω∈B」という同値条件にしたがって、
　　　　　　　　　(表現2-2)「 ￢ ∀ω∈Ω 　￢（ω∈A∩B）」　⇔　(表現3-2)「 ￢∀ω∈Ω （￢　ω∈Aかつω∈B） 」　　　　
　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　だから、上記step1に引き続きstep2をおこなうことで達成される　
　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現3-2)「 ￢∀ω∈Ω （￢　ω∈Aかつω∈B） 」　
　　　　　　　　という言い換えも、やっていいことになる。




　　　　　　





【表現3-2】　「≠φ」「∩」など、「∈」以外の集合概念 を用いずに。 　　


・「集合A,Bは交わる」　は、

　「　『すべての《Ωの元》が、
　　　　　《集合Aに属していて、かつ、集合Bにも属している》　　
　　　　　つまり《同時に集合A,B両方に属している》
　　　という行為をおかしてない』
　　　…ってことはない 」

　と同じこと。

　互いに言い換えてよい。

・論理記号・集合の記号で表すと、

　(表現1)　A∩B ≠ φ　　⇔　(表現3-2)　￢ ∀ω∈Ω （￢　ω∈Aかつω∈B）　　
　[竹内『集合とはなにか』1章-「空集合」(p.54)]　　　

　「A⊃B」であるが、 「A⊂B」ではないケース（このとき、A,Bはいつも交わって、交わりA∩BはB。）　「A⊃B」でないが、　「A⊂B」ではあるケース　A＝B となるケース
　「A⊃B」でないと同時に「A⊂B」でもないケース　- A,Bが交わる場合

【反意語】

　・(表現3-2)の否定は、「互いに素」言い換え(表現3-2)。

【深化】

　→述語論理への還元

【一覧】

　→「集合A,Bは交わる」同値条件一覧 　　



　　
 






【「交わる」(表現1)⇔(表現3-3)となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現3-3)「 ￢∀ω∈Ω （ωの元ではないA または ωの元ではないB） 」　
　　　　という風に、言い換えていいの？
　【A】
　　　　[step1]　(表現3-2)吹き出しコラムで述べた根拠にしたがっ て、　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現3-2)「 ￢∀ω∈Ω （￢　ω∈Aかつω∈B） 」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　「～かつ─」の否定の性質にしたがって、「￢(ω∈Aかつω∈B)」と「ωの元ではないA または ωの元ではないB」 とを言い換えてよいから、
　　　　　　　　　　　(表現3-2)「 ￢∀ω∈Ω （￢　ω∈Aかつω∈B） 」　⇔　(表現3-3)「 ￢∀ω∈Ω （ωの元ではないA または ωの元ではないB） 」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　だから、上記step1に引き続きstep2をおこなうことで達成される　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現3-3)「 ￢∀ω∈Ω （ωの元ではないA または ωの元ではないB） 」　
　　　　　　　　という言い換えも、やっていいことになる。









【表現3-3】　「≠φ」「∩」など、「∈」以外の集合概念 を用いずに。　　


・「集合A,Bは交わる」　は、

　「集合A,Bが置かれている状況は、

　　『 すべての《Ωの元》は、
　　　　集合Aに属してないか、
　　　　集合Bに属してないか、
　　　　（あるいはその両方にに属してないか）
　　　のいずれか 』

　　という状況ではないということ」

　と同じこと。

　互いに言い換えてよい。

・論理記号・集合の記号で表すと、

　(表現1)　A∩B ≠ φ　　⇔　(表現3-3)　￢ ∀ω∈Ω （ωの元ではないA または ωの元ではないB）　
　　　　[竹内『集合とはなにか』1章-「空集 合」(p.54)　

　「A⊃B」であるが、 「A⊂B」ではないケース（このとき、A,Bはいつも交わって、交わりA∩BはB。）　「A⊃B」でないが、　「A⊂B」ではあるケース　A＝B となるケース
　「A⊃B」でないと同時に「A⊂B」でもないケース　- A,Bが交わる場合

【反意語】

　・(表現3-3)の否定は、「互いに素」言い換え(表現3-3)。

【深化】

　→述語論理への還元

【一覧】

　→「集合A,Bは交わる」同値条件一覧 　　



　　　　　　



【「交わる」(表現1)⇔(表現4)となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現4)「￢∀ω∈Ω（ω∈A⇒ω属さないB  ）」　　　
　　　　は、言い換えられるの？
　【A】
　　　　[step1]　(表現3-3)吹き出しコラムで述べた根拠にしたがっ て、　
　　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現3-3)「 ￢∀ω∈Ω （ωの元ではないA または ωの元ではないB） 」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　ωの元ではないAの 定義から、「ωの元ではないA」と「￢(ω∈A)」 とを言い換えてよいので、
　　　　　　　　　　　　(表現3-3)「 ￢∀ω∈Ω （ωの元ではないA または ωの元ではないB） 」　⇔　「￢ ∀ω∈Ω （　￢(ω∈A) または ωの元ではないB　 ）　」
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　「( ￢P )またはQ」と「P⇒Q」 とを言い換えてよいという論理の性質にしたがって、
　　　　　　　　　　　「￢ ∀ω∈Ω （　￢(ω∈A) または ωの元ではないB ） 」　⇔　(表現4)「￢∀ω∈Ω（ω∈A⇒ω属さないB  ）」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step4]　だから、上記step1, step2, step3 を引き続き行うことで達成される　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現4)「￢∀ω∈Ω（ω∈A⇒ω属さないB  ）」　
　　　　　　　　という言い換えも、やっていいことになる。










【表現4】　「≠φ」「∩」など、「∈」以外の集合概念 を用いずに。　　


・「集合A,Bは交わる」　は、

　「　『Ωのすべての元は、集合Aに属すならば、集合Bに属さない』
　　…ってことはない 」　

　と同じこと。

　互いに言い換えてよい。

・論理記号・集合の記号で表すと、

　(表現1)　A∩B ≠ φ　　⇔　(表現4)　￢　∀ω∈Ω（ω∈A⇒ω属さないB  ）　
 　　　　[竹内『集合とはなにか』1章-「空集 合」(p.54)

　「A⊃B」であるが、 「A⊂B」ではないケース（このとき、A,Bはいつも交わって、交わりA∩BはB。）　「A⊃B」でないが、　「A⊂B」ではあるケース　A＝B となるケース
　「A⊃B」でないと同時に「A⊂B」でもないケース　- A,Bが交わる場合

【反意語】

　・(表現4)の否定は、「互いに素」言い換え(表現4)。

【深化】

　→述語論理への還元

【一覧】

　→「集合A,Bは交わる」同値条件一覧 　　



　 






【「交わる」(表現1)⇔(表現4')となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現4') 「￢∀ω∈Ω　（ω∈B⇒ω属さないA  ）」　　
　　　　は、言い換えられるの？
　【A】
　　　　[step1]　(表現3-3)吹き出しコラムで述べた根拠にしたがっ て、　
　　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現3-3)「 ￢∀ω∈Ω （ωの元ではないA または ωの元ではないB） 」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　ωの元ではないBの 定義から、「ωの元ではないB」と「￢(ω∈B)」 とを言い換えてよいので、　
　　　　　　　　　　　　(表現3-3)「 ￢∀ω∈Ω （ωの元ではないA または ωの元ではないB） 」　⇔　「￢ ∀ω∈Ω （ ωの元ではないA または ￢(ω∈B) ） 」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　「( ￢P )またはQ」と「P⇒Q」 とを言い換えてよいという論理の性質にしたがって、
　　　　　　　　　　　　「￢ ∀ω∈Ω （ ωの元ではないA または ￢(ω∈B) ） 」　⇔　(表現4') 「￢∀ω∈Ω　（ω∈B⇒ω属さないA  ）」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step4]　だから、上記step1, step2, step3 を引き続き行うことで達成される　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現4') 「￢∀ω∈Ω　（ω∈B⇒ω属さないA  ）」　
　　　　　　　　という言い換えも、やっていいことになる。










【表現4'】　「≠φ」「∩」など、「∈」以外の集合概念 を用いずに。


・「集合A,Bは交わる」　は、

　「 『 Ωのすべての元は、集合Bに属すならば、集合Aに属さない 』
　　・・・ってことはない 」　

　と同じこと。

　互いに言い換えてよい。

・論理記号・集合の記号で表すと、

　(表現1)　A∩B ≠ φ　　⇔　(表現4')　￢　　∀ω∈Ω　（ω∈B⇒ω属さないA  ）　　

　「A⊃B」であるが、 「A⊂B」ではないケース（このとき、A,Bはいつも交わって、交わりA∩BはB。）　「A⊃B」でないが、　「A⊂B」ではあるケース　A＝B となるケース
　「A⊃B」でないと同時に「A⊂B」でもないケース　- A,Bが交わる場合

【反意語】

　・(表現4')の否定は、「互いに素」言い換え(表現4')。

【深化】

　→述語論理への還元

【一覧】

　→「集合A,Bは交わる」同値条件一覧 　　






　　　　　　　　　　



【「交わる」(表現1)⇔(表現5)となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現5)「￢∀ω∈Ω　（ω∈A⇒ω∈Bc  ）」　
　　　　という風に、言い換えていいの？
　【A】
　　　　[step1]　(表現4)吹き出しコラムで述べた根拠にしたがっ て、　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現4)「￢∀ω∈Ω（ω∈A⇒ω属さないB  ）」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　「補集合に属す」の同値条件にしたがっ て、ω属さないBとω∈Bc とを、互いに言い換えてよいから、
　　　　　　　　　　　(表現4)「￢∀ω∈Ω（ω∈A⇒ω属さないB  ）」　⇔　(表現5)「￢∀ω∈Ω　（ω∈A⇒ω∈Bc  ）」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　だから、上記step1に引き続きstep2をおこなうことで達成される　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現5)「￢∀ω∈Ω　（ω∈A⇒ω∈Bc  ）」　　
　　　　　　　　という言い換えも、やっていいことになる。









【表現5】　「∈」「補集合」以外の集合概念を用いずに。


・「集合A,Bは交わる」　は、

　「『Ωの すべての元は、
　　　　　　集合Aに属すならば、
　　　　　　　　《Ωにおける集合Bの補集合》に属す』
 　　…ってことはない 」

　と同じこと。

　互いに言い換えてよい。

・論理記号・集合の記号で表すと、

　(表現1)　A∩B ≠ φ　　⇔　(表現5)　￢　∀ω∈Ω　（ω∈A⇒ω∈Bc  ）　　
　　　　　[竹内『集合とはなにか』 1章-「空集合」(p.54)] 　　

　「A⊃B」であるが、 「A⊂B」ではないケース（このとき、A,Bはいつも交わって、交わりA∩BはB。）要注意ケース
　「A⊃B」でないが、　「A⊂B」ではあるケース一目瞭然のケース
　A＝B となるケース
　「A⊃B」でないと同時に「A⊂B」でもないケース　- A,Bが交わる場合

【反意語】

　・(表現5)の否定は、「互いに素」言い換え(表現5)。　　　　　　

【深化】

　→述語論理への還元

【一覧】

　→「集合A,Bは交わる」同値条件一覧 　　



　　　 






【「交わる」(表現1)⇔(表現5')となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現5')「￢∀ω∈Ω （ω∈B⇒ω∈Ac ）」　
　　　　という風に、言い換えていいの？
　【A】
　　　　[step1]　(表現4')吹き出しコラムで述べた根拠にしたがっ て、　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現4') 「￢∀ω∈Ω （ω∈B⇒ω属さないA  ）」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　「補集合に属す」の同値条件にしたがっ て、ω属さないAとω∈Ac とを、互いに言い換えてよいから、
　　　　　　　　　　　(表現4') 「￢∀ω∈Ω （ω∈B⇒ω属さないA  ）」　⇔　(表現5')「￢∀ω∈Ω （ω∈B⇒ω∈Ac ）」　 
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　だから、上記step1に引き続きstep2をおこなうことで達成される　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現5')「￢∀ω∈Ω （ω∈B⇒ω∈Ac ）」　　
　　　　　　　　という言い換えも、やっていいことになる。



　　　　　　



【表現5'】　「∈」「補集合」以外の集合概念を用いずに。


・「集合A,Bは交わる」　は、

　「『Ωのすべての元は、
　　　　　集合Bに属すならば、
　　　　　　《Ωにおける集合Aの補集合》に属す』
　　　…ってことはない 」　

　と同じこと。

　互いに言い換えてよい。

・論理記号・集合の記号で表すと、

　(表現1)　A∩B ≠ φ　　⇔　(表現5')　￢　∀ω∈Ω　（ω∈B⇒ω∈Ac  ）　　

　「A⊃B」であるが、 「A⊂B」ではないケース（このとき、A,Bはいつも交わって、交わりA∩BはB。）一目瞭然のケース。
　「A⊃B」でないが、　「A⊂B」ではあるケース要注意ケース。
　A＝B となるケース
　「A⊃B」でないと同時に「A⊂B」でもないケース　- A,Bが交わる場合

【反意語】

　・(表現5')の否定は、「互いに素」言い換え(表現5')。

【深化】

　→述語論理への還元

【一覧】

　→「集合A,Bは交わる」同値条件一覧 　　



　　　



【交わる(表現1)⇔(表現6)となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現6) 「￢∀ω∈A （ω属さないB ）」　
　　　　は、言い換えられるの？
　【A】
　　　　[step1]　(表現4)吹き出しコラムで述べた根拠にしたがっ て、　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現4)「￢∀ω∈Ω（ω∈A⇒ω属さないB  ）」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　「∀ω∈A　P(ω)」 という記号は、「∀ω（ω∈A⇒P(ω) ）」の省略形として定義されていて、
　　　　　　　　さらに、「∀ω（ ）」のΩの議論領域を明示した表記が「∀ω∈Ω（  ）」だから、
　　　　　　　　　　　(表現4)「￢∀ω∈Ω（ω∈A⇒ω属さないB  ）」　⇔　(表現6)「￢∀ω∈A （ω属さないB ）」　　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　だから、上記step1に引き続きstep2をおこなうことで達成される　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現6) 「￢∀ω∈A （ω属さないB ）」　　
　　　　　　　　という言い換えも、やっていいことになる。








【表現6】　「∈」以外の集合概念を用いずに。


・「集合A,Bは交わる」　は、

　「　『すべての《集合Aに属す元》が、 集合Bに属してない 』
　　…ってことはない 」　

　と同じこと。

　互いに言い換えてよい。
 

・論理記号・集合の記号で表すと、

　(表現1)　A∩B ≠ φ　　⇔　(表現6)　￢　∀ω∈A　 （ω属さないB  ） 　

　「A⊃B」であるが、 「A⊂B」ではないケース（このとき、A,Bはいつも交わって、交わりA∩BはB。）　「A⊃B」でないが、　「A⊂B」ではあるケース　A＝B となるケース
　「A⊃B」でないと同時に「A⊂B」でもないケース　- A,Bが交わる場合

【反意語】

　・(表現6)の否定は、「互いに素」言い換え(表現6)。

【深化】

　→述語論理への還元

【一覧】

　→「集合A,Bは交わる」同値条件一覧 　　











【交わる(表現1)⇔(表現6')となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　　⇔　(表現6') 「￢∀ω∈B （ω属さないA ）」　
　　　　は、言い換えられるの？
　【A】
　　　　[step1]　(表現4')吹き出しコラムで述べた根拠にしたがっ て、　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現4') 「￢∀ω∈Ω （ω∈B⇒ω属さないA  ）」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　「∀ω∈B　P(ω)」 という記号は、「∀ω（ω∈B⇒P(ω) ）」の省略形として定義されていて、　
　　　　　　　　　さらに、「∀ω（ ）」のΩの議論領域を明示した表記が「∀ω∈Ω（  ）」だから、
　　　　　　　　　　　(表現4') 「￢∀ω∈Ω （ω∈B⇒ω属さないA  ）」　⇔　(表現6') 「￢∀ω∈B （ω属さないA ）」　  　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　だから、上記step1に引き続きstep2をおこなうことで達成される　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現6') 「￢∀ω∈B （ω属さないA ）」　
　　　　　　　　という言い換えも、やっていいことになる。









【表現6'】　「∈」以外の集合概念を用いずに。


・「集合A,Bは交わる」　は、

　「 『すべての《集合Bに属す元》が、集合Aに属してない 』ってことはない」　

　と同じこと。

　互いに言い換えてよい。

・論理記号・集合の記号で表すと、

　(表現1)　A∩B ≠ φ　　⇔　(表現6')　￢　　∀ω∈B　 （ω属さないA  ）　　

　「A⊃B」であるが、 「A⊂B」ではないケース（このとき、A,Bはいつも交わって、交わりA∩BはB。）　「A⊃B」でないが、　「A⊂B」ではあるケース　A＝B となるケース
　「A⊃B」でないと同時に「A⊂B」でもないケース　- A,Bが交わる場合

【反意語】

　・(表現6')の否定は、「互いに素」言い換え(表現6')。
　　　　

【深化】

　→述語論理への還元
　　

【一覧】

　→「集合A,Bは交わる」同値条件一覧 　　










【交わる(表現1)⇔(表現7)となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　　⇔　(表現7)「 ￢∀ω∈A　（ω∈Bc ） 」　
　　　　は、言い換えられるの？
　【A】
　　　　[step1]　(表現６)吹き出しコラムで述べた根拠にしたがっ て、　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現6)「￢∀ω∈A （ω属さないB ）」　　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　「補集合に属す」の 同値条件にしたがっ て、ω属さないBとω∈Bc とを、互いに言い換えてよいから、
　　　　　　　　　　　(表現6)「￢∀ω∈A （ω属さないB ）」　⇔　(表 現7)「 ￢∀ω∈A　（ω∈Bc ） 」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　だから、上記step1に引き続きstep2をおこなうことで達成される　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現7)「 ￢∀ω∈A　（ω∈Bc ） 」　　
　　　　　　　　という言い換えも、やっていいことになる。









【表現7】　　「∈」「補集合」以外の集合概念を用いずに。


・「集合A,Bは交わる」　　は、

　「　『すべての《集合Aに属す元》が、《Ωにおける集合Bの補集合》に属してる』　　
　　…というふうにはなっていない」

　と同じこと。

　互いに言い換えてよい。

・論理記号・集 合の記号で表すと、

　(表現1)　A∩B ≠ φ　　⇔　(表現7)　￢　　∀ω∈A　 （ω∈Bc  ） 　

　「A⊃B」であるが、 「A⊂B」ではないケース（このとき、A,Bはいつも交わって、交わりA∩BはB。）要注意ケース。
　「A⊃B」でないが、　「A⊂B」ではあるケース一目瞭然のケース。
　A＝B となるケース
　「A⊃B」でないと同時に「A⊂B」でもないケース　- A,Bが交わる場合

【反意語】

　・(表現7)の否定は、「互いに素」言い換え(表現7)。

【一覧】

　→「集合A,Bは交わる」同値条件一覧 　　










【交わる(表現1)⇔(表現7')となる根拠】



　【Q】　どうして、
　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　　⇔　(表現 7')「 ￢∀ω∈B（ω∈Ac ） 」　
　　　　は、言い換えられるの？
　【A】
　　　　[step1]　(表現６')吹き出しコラムで述べた根拠にしたがっ て、　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現6') 「￢∀ω∈B （ω属さないA ）」　　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　「補集合に属す」の 同値条件にしたがっ て、ω属さないAとω∈Ac とを、互いに言い換えてよいから、
　　　　　　　　　　　(表現6') 「￢∀ω∈B （ω属さないA ）」　⇔　(表 現7')「 ￢∀ω∈B（ω∈Ac ） 」　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　だから、上記step1に引き続きstep2をおこなうことで達成される　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現7')「 ￢∀ω∈B（ω∈Ac ） 」　　
　　　　　　　　という言い換えも、やっていいことになる。









【表現7'】　　「∈」「補集合」以外の集合概念を用いずに。


・「集合A,Bは交わる」　は、

　「 『すべての《集合Bに属す元》が、《Ωにおける集合Aの補集合》に属してる』　　
　　…というふうにはなっていない 」

　と同じこと。

　互いに言い換えてよい。
 

・論理記号・集合の記号で表すと、

　(表現1)　A∩B ≠ φ　　⇔　(表現7')　￢　　∀ω∈B　 （ ω∈Ac ）　　

　「A⊃B」であるが、 「A⊂B」ではないケース（このとき、A,Bはいつも交わって、交わりA∩BはB。）一目瞭然のケース
　「A⊃B」でないが、　「A⊂B」ではあるケース要注意ケース
　A＝B となるケース
　「A⊃B」でないと同時に「A⊂B」でもないケース　- A,Bが交わる場合

【反意語】

　・(表現7')の否定は、「互いに素」言い換え(表現7')。

【一覧】

　→「集合A,Bは交わる」同値条件一覧 　　



  　　






【交わる(表現1)⇔(表現8)となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現8) 「A左は右の部分集合ではないBc 」「￢（A⊂Bc）」　
　　　　は、言い換えられるの？
　【A】
　　　　[step1]　(表現5)吹き出しコラムで述べた根拠にしたがっ て、　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　　(表現5)「￢∀ω∈Ω （ω∈A⇒ω∈Bc  ）」　　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　部分集合「⊂」の定義より、「∀ω∈Ω（ω∈A⇒ω∈Bc ）」 が 「A⊂Bc 」の語義に他ならないから、
　　　　　　　　　　　(表現5)「￢∀ω∈Ω （ω∈A⇒ω∈Bc  ）」　⇔　(表現8)「￢（A⊂Bc）」　　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　だから、上記step1に引き続きstep2をおこなうことで達成される　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ＝ φ」　⇔　(表現8)「￢（A⊂Bc）　　
　　　　　　　　という言い換えも、やっていいことになる。



　　　　　　





【表現8】　　部分集合・補集合のみを用いて。


・「集合A,Bは交わる」　は、

　「 集合Aは、《Ωにおける集合Bの補集合》の部分集合になってない」　　

　と同じこと。

　互いに言い換えてよい。

・集合の記号で表すと、

　　　　(表現1)　A∩B ≠ φ　
　　⇔　(表現8)　A左は右の部分集合ではないBc　すなわち　￢（A⊂Bc）　

　「A⊃B」であるが、 「A⊂B」ではないケース（このとき、A,Bはいつも交わって、交わりA∩BはB。）  AのうちBを除く部分は、確かにBcの部分集合だが、
 Aのなかには、Bとの重複箇所があって、
 これがBcからはみ出しているので、
 A全体は、Bcの部分集合になってない。
　「A⊃B」でないが、　「A⊂B」ではあるケース
　A＝B となるケース
　「A⊃B」でないと同時に「A⊂B」でもないケース　- A,Bが交わる場合  AのうちBを除く部分は、確かにBcの部分集合だが、
 Aのなかには、Bとの重複箇所があって、
 これがBcからはみ出しているので、
 A全体は、Bcの部分集合になってない。
　

【反意語】


　・(表現8)の否定は、「互いに素」言い換え(表現8)。

【文献】

　・竹内1章-(p.54):互いに素のケース。
　・松坂1章§2問題2(p.21):証明なし:互いに素のケース。
　・黒崎1章Ⅳ(2) (p.26): 証明なし:互いに素のケース。

【一覧】

　→「集合A,Bは交わる」同値条件一覧 　　
  











【交わる(表現1)⇔(表現8')となる根拠】


　【Q】　どうして、
　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現8')「Ac 部分集合として含まないB」「￢（Ac ⊃B)」　
　　　　は、言い換えられるの？
　【A】
　　　　[step1]　(表現5')吹き出しコラムで述べた根拠にしたがっ て、　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現5')「￢∀ω∈Ω （ω∈B⇒ω∈Ac ）」　　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step2]　部分集合「⊃」の定義より、「∀ω∈Ω（ω∈B⇒ω∈Ac ）」 が 「Ac ⊃B」 の語義に 他ならないから、
　　　　　　　　　　　(表現5')「￢∀ω∈Ω （ω∈B⇒ω∈Ac ）」　⇔　(表現8')「￢（Ac ⊃B)」　 　
　　　　　　　　　と言い換えていい。
　　　　[step3]　だから、上記step1に引き続きstep2をおこなうことで達成される　
　　　　　　　　　　　(表現1)「A∩B ≠ φ」　⇔　(表現8')「￢（Ac ⊃B)」　
　　　　　　　　という言い換えも、やっていいことになる。









【表現8'】　　部分集合・補集合のみを用いて。


・「 集合A,Bは交わる 」　は、

　「 集合Bは、《Ωにおける集合Aの補集合》の部分集合になってない 」　　

　と同じこと。

　互いに言い換えてよい。
 
・集合の記号で表すと、

　　　　(表現1)　A∩B ≠ φ　
　　⇔　(表現8')　Ac 部分集合として含まないB　すなわち　￢（Ac ⊃B)　　　

　「A⊃B」であるが、 「A⊂B」ではないケース（このとき、A,Bはいつも交わって、交わりA∩BはB。）
　「A⊃B」でないが、　「A⊂B」ではあるケース  BのうちAを除く部分は、確かにAcの部分集合だが、
 Bのなかには、Aとの重複箇所があって、
 これがAcからはみ出しているので、
 B全体は、Acの部分集合になってない。
　A＝B となるケース　
　「A⊃B」でないと同時に「A⊂B」でもないケース　- A,Bが交わる場合  BのうちAを除く部分は、確かにAcの部分集合だが、
 Bのなかには、Aとの重複箇所があって、
 これがAcからはみ出しているので、
 B全体は、Acの部分集合になってない。

【反意語】

　・(表現8')の否定は、「互いに素」言い換え(表現8')。
　　

【一覧】

　→「集合A,Bは交わる」同値条件一覧