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定義 |
・集合Aから集合Bへの対応「f:A→B」とは、 集合Aの各元aに対して、 集合Bの部分集合f(a)を (「集合Bの元」をではない!) 定める規則f のことをいう。 |
[文献]・松坂『集合・位相入門』第1章§3.B (pp.23-4);・『岩波数学事典』項目57関係B対応(p.157) ・高橋『経済学とファイナンスのための数学』2.1(p.27) ・彌永『集合と位相』§2.2(p.33)。 ・Fischer, Intermediate Real Analysis, U.2.Def2.1 (p.44):直積の部分集合。関係。対応。割り当て。 ・DeLaFuente,Mathematical Methods and Models for Economists,I-1-4-Correspondence(p.23) ※上記文献以外では、記述が見当たらなかった。 ※De La Fuenteの定義は、日本の文献での定義と、少し異なる。 このノートでは、『岩波数学事典』を規準とする。 |
定義 |
・集合Aから集合Bへの対応「f:A→B」において、 「fの始集合initial set」 とは、 集合Aのことを指す。 |
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定義 |
・集合Aから集合Bへの対応「f:A→B」において、 「対応fの終集合final set」 とは、 集合Bのことを指す。 |
[例]![]() 上の図例では、 ・対応fの始集合は集合A、対応fの終集合は集合B、 ・「fによるa1の像」f(a1)={b1,b3}、「fによるa2の像」f(a2)=φ 、 「fによるa3の像」f(a3)={b1,b3} 、「fによるa4の像」f(a4)={b2} 、 ・「fによるb1の逆像」f−1(b1)={a1,a3}、「fによるb2の逆像」f−1(b2)={a4} 、 「fによるb3の逆像」f−1(b3)={a1,a3} 、「fによるb4の逆像」f−1(b4)=φ となっている。 |
定義 |
・集合Aから集合Bへの対応「f:A→B」において、 「fによるaの像」 とは、 対応fが、a∈Aに対して割り当てた「集合Bの部分集合」 f (a) のことを指す。 ・記号 f (a) で表す。 |
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定義 |
・集合Aから集合Bへの対応「f:A→B」において、 「『終集合Bの元』bの、対応fによる原像・逆像 inverse image」とは、 「対応fによって『終集合Bの元』bを割り当てられた『定義域Aの元』」 をあつめた集合 のこと。 ・対応で《多対多の割り当て》も許容されている点に留意して、 もう少し厳密に言うと、 対応「f:A→B」において、 「『終集合Bの元』bの、対応fによる原像・逆像 inverse image」とは、 『終集合Bの元』bを、『対応fによる像』のなかに含む「集合Aの元」の集合 { a∈A | b∈f(a) } のこと。 ・記号 f−1(b) で表す。 ・もちろん、 「『集合Bの元』bの、対応fによる原像・逆像 inverse image」は、 集合Aの部分集合になっている。 f−1(b)={ a∈A | b∈f(a) } ⊂ A |
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注意 |
・冒頭の定義を注意深く読むと、わかるように、 対応は、 始集合の一つの元にたいして、 終集合の一つの元ではなく、終集合の部分集合(一つの元でも、複数の元でも、ゼロ個の元[つまり空集合φ]でもよい) を割り当てる関係であるから、 集合Aから集合Bへの対応「f:A→B」では、 ・始集合Aの一つの元にたいして、終集合Bの一つの元を割り当てるという関係 つまり、a∈Aに対して、f(a)={b} (ただし、b∈B) という割り当てかた のみならず、 ・始集合Aの一つの元にたいして、終集合Bの複数の元を割り当てるという関係 つまり、a∈Aに対して、f(a)={b1,b2,…bn} (ただし、b1,b2,…bn∈B) という割り当てかた も、 ・始集合Aの一つの元にたいして、終集合Bの0個の元を割り当てる(要するに、終集合Bの元を割り当てない)という関係 つまり、a∈Aに対して、f(a)=φ という割り当てかた も、 許容されている。 (なぜなら、{b}も、{b1,b2,…bn}も、φも、「集合Bの部分集合」だから。 ) ・また、集合Aから集合Bへの対応「f:A→B」の定義は、 始集合Aの異なる二つの元a≠a' に対して、f(a)=f(a')となることを排除していない。 だから、 始集合Aの異なる二つの元a≠a' に対して、f(a)=f(a')となるような関係であっても、 対応と呼んで差し支えない。 ・つまり、対応「f:A→B」は、 始集合Aの元から終集合Bの元への1対1の割り当てのみならず、 始集合Aの元から終集合Bの元への1対多の割り当て、 始集合Aの元から終集合Bの元への1対0(つまり割り当て拒否)、 始集合Aの元から終集合Bの元への多対1の割り当て、 をすべて許容する、 「始集合Aの元から終集合Bの元への割り当て」全般を広範に指す概念だということになる。 |
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※ |
対応の下位類型:分類基準/一意対応/一対一対応/写像/単射/一対一写像/全射/全単射 |
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定義 |
・「AからBへの対応f、f'が等しい」、すなわち、f=f' とは、 Aの任意の元aに対して、そのf、f'による像が等しい、 すなわち、( ∀ a∈A ) (f(a)=f'(a) ) となることをいう。 ・「AからBへの対応f、f'が等しい」ことを、 f=f' とあらわす。 |
[文献]・松坂『集合・位相入門』第1章§3.B (p.24); |
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定義 |
AからBへの対応fのグラフ G(f) とは、 直積A×Bの部分集合 {(a,b)| a∈A, b∈f(a) } のことを言う。 すなわち、G(f)={(a,b)| a∈A, b∈f(a) } このことは、次のように言いかえられる。 ・a∈A, b∈Bに対し、(a,b)∈G(f) ⇔ b∈f(a) ・f(a)={b| (a,b)∈G(f) } |
[文献]・松坂『集合・位相入門』第1章§3.C (p.24);・彌永『集合と位相』§2.2(p.33)。 以下の写像の集合一元論的定義も参照のこと。 ・斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』1.2.1(pp.10-11) ・竹内外史『集合とはなにか―はじめて学ぶ人のために』(pp.105-9) |
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定理 |
直積A×Bの任意の部分集合Cに対し、 C= G(f)となるような、 対応f:A→Bがただ一つ存在する。 (グラフの定義・定理の解釈) AからBへの対応を一つ決めることと、 直積A×Bの一つの部分集合を選ぶことは、同じ。 |
[文献]・松坂『集合・位相入門』第1章§3.C定理1 (p.25)証明付;以下の写像の集合一元論的定義も参照のこと。 ・斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』1.2.1(pp.10-11) ・竹内外史『集合とはなにか―はじめて学ぶ人のために』(pp.105-9) |
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T.直感的な説明 U.厳密な定義 |
[ケース1-0の例] [ケース1-1] ![]() ![]() [ケース1-2の例] ![]() ![]() |
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[T.直感的な説明] |
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step1 |
対応「f:A→B」の定義では、 [ケース1-0] 始集合Aに属す元aに対して、 終集合Bに属す元一個を割り当てるケース (1対1の割り当て) たとえば、f(a)={b} (右図) のほか、 [ケース1-1] 始集合Aに属す元aに対して、 終集合Bに属す元を割り当てないケース つまり、f(a)=φ となるケース(右図) (1対0の割り当て) や、 [ケース1-2] 始集合Aに属す元aに対して、 複数の「終集合Bに属す元」を割り当てるケース (1対多の割り当て) たとえば、f(a)={b1,b3}, f(a)={b1,b2,b3} (右図) も容認されていた。 だから、 [ケース1-1]や[ケース1-2]のような割り当てが f でなされていても、 f は「対応」と呼ばれるのだった。 |
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step2 |
・ということは、 対応「f:A→B」の始集合Aには、 [ケース1-0]終集合Bに属す元一個を割り当てられた元 [ケース1-2]複数個の「終集合Bに属す元」を割り当てられた元 [ケース1-1]終集合Bに属す元を割り当てない元 という3タイプの元が含まれ得るわけである。 |
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step3 |
・これら3タイプの「始集合Aの元」のうち、 [ケース1-0]終集合Bに属す元一個を割り当てられた元 [ケース1-2]複数個の「終集合Bに属す元」を割り当てられた元 という2タイプの元をあつめた集合を、 「対応『f:A→B』の定義域」と呼ぶ。 ・「f の始集合A」のなかで、『fの定義域D』ではない部分は、 [ケース1-1]終集合Bに属す元を割り当てない元 の集合である。 記号でかくと、A−D={a∈A | f(a) =φ } |
[対応の具体例の定義域]・写像の定義域(写像では、始集合は定義域である)・1変数関数の定義域/2変数関数の定義域/n変数関数の定義域/実数関数一般の定義域 ・ベクトル値関数の定義域 ・ |
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「対応f:A→B」の右図の例では、 f(a1)={b1,b3}≠φ f(a2)=φ f(a3)={b1,b3} ≠φ f(a4)={b2} ≠φ だから、 右図の例において、 「対応f:A→B」の定義域は、{a1,a3,a4} である。 |
![]() |
[U.厳密な定義] |
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定義 |
[グラフによる定義]「対応f:A→B」の定義域とは、(a,b)∈G(f)となるb∈Bが少なくとも一つ存在するような Aの元a全体のつくるAの部分集合 {a∈A| (∃b∈B) ( (a,b)∈G(f) ) } のこと。 [グラフによらない定義]・「対応f:A→B」の定義域とは、集合Aから「f(a) ≠φを満たす元a」を収集した集合 {a∈A | f(a) ≠φ } のこと。 [彌永『集合と位相』§2.2(p.33)] |
[文献]・松坂『集合・位相入門』第1章§3.C〜D (pp.25-7)・彌永『集合と位相』§2.2(p.33)。 ・『岩波数学事典』項目57関係B対応(p.157) |
・だから、 「『f の始集合A』に属すのに『fの定義域』には属さない元」とは、 fによってφを割り当てられる(つまり、終集合Bの元を一個も割り当てられない)「Aの元」である。 つまり、 『f の始集合A』と『fの定義域D』の差集合 A−D={a∈A | f(a) =φ } |
→[トピック一覧:対応] →集合論目次・総目次 |
T.直感的な説明 U.厳密な定義 |
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[直感的な説明] |
[ケース2-0の例] ![]() [ケース2-1の例] ![]() ![]() [ケース2-2の例] ![]() |
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step1 |
対応「f:A→B」の定義は、 [ケース2-0] 『終集合Bに属す元b』を割り当てられた『始集合Aに属す元』 は一個だけ となるケース(1対1の割り当て) たとえば、 f−1(b)={a} (右図) のほか、 [ケース2-1] 『終集合Bに属す元b』を割り当てられた『始集合Aに属す元』 が複数 となるケース(多対1の割り当て) たとえば、f−1(b)={a1,a4}, f−1(b)={a1,a3,a4}(右図) や、 [ケース2-2] 『終集合Bに属す元b』を割り当てられた『始集合Aに属す元』 が皆無 となるケース (0対1の割り当て) つまり、f−1(b)=φ となるケース も容認していた。 だから、 [ケース2-1]や[ケース2-2]のような割り当てを、f がおこなったとしても、 f は「対応」と呼ばれるのだった。 |
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step2 |
・ということは、 対応「f:A→B」の終集合Bの元には、 [ケース2-0]「一個だけの『始集合Aに属す元』」から割り当てられてくる元 [ケース2-1]「複数個の『始集合Aに属す元』」から割り当てられてくる元 [ケース2-2]『始集合Aに属す元』からの割り当てがない元 という3タイプの元が含まれ得るわけである。 |
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step3 |
・これら3タイプの「終集合Bの元」のうち、 [ケース2-0]「一個だけの『始集合Aに属す元』」から割り当てられてくる元 [ケース2-1]「複数個の『始集合Aに属す元』」から割り当てられてくる元 という2タイプの元をあつめた集合を、 「対応『f:A→B』の値域」と呼ぶ。 記号でかくと、「対応『f:A→B』の値域」とは、 {b∈B | f−1(b) ≠φ } として定義される。 ・「f の終集合B」のなかで、『fの値域f(A)』ではない部分は、 [ケース2-2] 『始集合Aに属す元』からの割り当てがない元 の集合である。 記号でかくと、B−f(A)={b∈B | f−1(b) =φ } |
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「対応f:A→B」の右図の例では、 f−1(b1) ={a1,a3}≠φ f−1(b2) ={a4}≠φ f−1(b3) ={a1,a3}≠φ f−1(b4) =φ だから、 右図の例において、 「対応f:A→B」の値域は、{b1,b2,b3} である。 |
![]() |
[厳密な定義] |
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定義 |
[グラフによる定義]「対応f:A→B」の値域とは、(a,b)∈G(Γ)となるa∈Aが少なくとも一つ存在するような Bの元b全体のつくるBの部分集合 {b∈B| (∃a∈A) ( (a,b)∈G(Γ) ) } のこと。 [グラフによらない定義]「対応f:A→B」の値域とは、集合Bから「f−1(b)≠φを満たす元b」を収集した集合 {b∈B | f−1(b) ≠φ } のこと。[松坂『集合・位相入門』第1章§3.D文末(p.27)] |
[文献]・松坂『集合・位相入門』第1章§3.C〜D (pp.25-7)・彌永『集合と位相』§2.2(p.33)。 ・『岩波数学事典』項目57関係B対応(p.157) |
→[トピック一覧:対応] →集合論目次・総目次 |
→[予備知識不要の定義/「対応の定義域」を用いた定義/他の「対応の類型」との関係/図例] |
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定義 |
[予備知識不要の定義]・「集合Aから集合Bへの一意対応 f」とは、下記条件を満たす「集合Aから集合Bへの対応f:A→B」のこと。 **(条件)**************************** ・対応fは、 どの『fの始集合Aに属す元』に対しても、 0個ないし1個の『終集合Bに属す元』を割り当てなければならない。 ・つまり、 対応fは、 どの『fの始集合Aに属す元』に対しても、 次の2方法のいずれかで『終集合Bに属す元』を割り当てねばならない。 (割り当て方法1)『終集合Bに属す元』を一個も割り当てない ![]() (割り当て方法2)『終集合Bに属す元』一個を割り当てる ![]() ・論理記号で表すと、 ( ∀ a∈A ) ( f(a)=φ または f(a)=一元集合 ) **(以上、条件終わり)************** |
[文献]・『岩波数学事典』項目57関係B対応(p.157) :定義域を用いた定義[関連事項]・対応の諸類型:分類基準/一対一対応/写像/単射/一対一写像/全射/全単射→一覧表:対応の分類基準と6分類の定義 →ベン図:対応の6分類の包含関係 |
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・「一意対応ではない対応」とは、 上記条件を満たさない対応 すなわち、 「二個以上の『終集合Bの元』を割り当てた『fの始集合Aに属す元』」(たとえば、下図の『fの始集合に属す元』a)を、 少なくとも一つ以上は出す対応 のこと。 ![]() ![]() |
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→[一意対応定義の冒頭へ] |
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定義 |
[「対応の定義域」を用いた一意対応の定義]・「集合Aから集合Bへの一意対応 f」とは、 下記条件を満たす「集合Aから集合Bへの対応f:A→B」のこと。 **(条件)**************************** ・対応fは、 どの『fの定義域に属す元』に対しても、 『終集合Bに属す元』一個を割り当てなければならない(右図)。 ・つまり、 対応fは、 どの『fの定義域に属す元a』に対しても、 f(a)が一元集合とならなければならない(右図)。 **(以上、条件終わり)************** ・「一意対応ではない対応」とは、上記条件を満たさない対応である。 |
![]() |
※ |
[解説]・この「『対応の定義域』を用いた定義」は、先述の「予備知識不要の定義」と全く同じ。 ・その鍵は、 「『対応の定義域』を用いた定義」の条件のなかの 「どの『fの定義域に属す元』に対しても」 という文言にある。 ・上記条件は、『fの定義域に属さない元』については、何も述べていない。 『fの定義域に属さない元』とは、 「終集合Bの元を一個も割り当てられない『Aの元』」(右図元a) のことだった。 ・ということは、 対応fが一意対応と呼ばれるために満たすべき条件 |
[fの定義域に属さない元]![]() |
「どの『fの定義域に属す元』に対しても、『終集合Bに属す元』一個を割り当てる」 とは、 「どの『fの始集合に属す元』に対しても、 『終集合Bに属す元』を一個も割り当てない または、 『終集合Bに属す元』一個を割り当てる」 ( ∀ a∈A ) ( f(a)=φ または f(a)=一元集合 ) ということであり、 この条件を満たさない「一意対応ではない対応」とは、 「『fの始集合に属す元』に対して、終集合Bの元を二個以上割り当てる場合もある」対応 だということになる。 ・だから、結局、「『対応の定義域』を用いた定義」は、「予備知識不要の定義」と全く同じになる。 |
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→[一意対応定義の冒頭へ] |
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[一意対応と他の「対応の類型」との差分]・一対一対応との差分: 以下の追加的条件も満たす一意対応fは、「一対一対応」と呼ばれる資格がある。 |
→一覧表:対応の分類基準と6分類の定義 →ベン図:対応の6分類の包含関係 |
**(一対一対応と呼ばれるための追加的条件)********************* ・どの『終集合Bに属す元』についてであれ、 一意対応fによって同一の『終集合Bに属す元』を割り当てられた『始集合Aに属す元』の個数は、 0個または1個でなければならない。 ・つまり、「一意対応fの逆対応」も、一意対応でなければならない。 ******************************************* ・写像との差分: 以下の追加的条件も満たす一意対応は、「写像」と呼ばれる資格がある。 **(写像と呼ばれるための追加的条件)*********************************** ・一意対応fは、どの『fの始集合Aに属す元』に対しても、0個の『終集合Bに属す元』を割り当ててはならない。 一意対応fは、どの『fの始集合Aに属す元』に対しても、必ず1個の『終集合Bに属す元』を割り当てねばならない。 ・つまり、一意対応fの始集合A全体が定義域とならねばならない。 ****************************************************** ・単射との差分: 以下の2つの追加的条件をともに満たす一意対応は、「単射」と呼ばれる資格がある。 **(単射と呼ばれるための追加的条件)*********************************** [条件1] 一意対応fは、どの『fの始集合Aに属す元』に対しても、0個の『終集合Bに属す元』を割り当ててはならない。 一意対応fは、どの『fの始集合Aに属す元』に対しても、必ず1個の『終集合Bに属す元』を割り当てねばならない。 つまり、一意対応fの始集合A全体が定義域とならねばならない。 [条件2] どの『終集合Bに属す元』についてであれ、 一意対応fによって同一の『終集合Bに属す元』を割り当てられた『始集合Aに属す元』の個数は、 0個または1個でなければならない。 つまり、「一意対応fの逆対応」も、一意対応でなければならない。 *[条件1]は「一意対応が写像と呼ばれるための追加的条件」、[条件2]は、「一意対応が一対一対応と呼ばれるための追加的条件」に他ならない ****************************************************** ・全射との差分: 以下の2つの追加的条件をともに満たす一意対応は、「全射」と呼ばれる資格がある。 **(単射と呼ばれるための追加的条件)*********************************** [条件1] 一意対応fは、どの『fの始集合Aに属す元』に対しても、0個の『終集合Bに属す元』を割り当ててはならない。 一意対応fは、どの『fの始集合Aに属す元』に対しても、必ず1個の『終集合Bに属す元』を割り当てねばならない。 つまり、一意対応fの始集合A全体が定義域とならねばならない。 [条件2] どの『終集合Bに属す元』についてであれ、 一意対応fによって同一の『終集合Bに属す元』を割り当てられた『始集合Aに属す元』の個数が0個 となってはならない。 つまり、一意対応fによって『始集合Aに属す元』に割り当てられずに売れ残った『終集合Bに属す元』があってはならず、 どの『終集合Bに属す元』も、1個または複数の『始集合Aに属す元』に割り当てなければならない。 *[条件1]は「一意対応が写像と呼ばれるための追加的条件」に他ならない。 ****************************************************** ・全単射との差分: 以下の2つの追加的条件をともに満たす一意対応は、「全単射」と呼ばれる資格がある。 **(単射と呼ばれるための追加的条件)*********************************** [条件1] 一意対応fは、どの『fの始集合Aに属す元』に対しても、0個の『終集合Bに属す元』を割り当ててはならない。 一意対応fは、どの『fの始集合Aに属す元』に対しても、必ず1個の『終集合Bに属す元』を割り当てねばならない。 つまり、一意対応fの始集合A全体が定義域とならねばならない。 [条件2] どの『終集合Bに属す元』についてであれ、 一意対応fによって同一の『終集合Bに属す元』を割り当てられた『始集合Aに属す元』の個数は、 1個でなければならない。 *[条件1]は「一意対応が写像と呼ばれるための追加的条件」に他ならない。 ****************************************************** |
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→[一意対応定義の冒頭へ] |
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[一意対応の図例]→一意対応の定義を満たす対応の例:1/2/3/4→一意対応ではない対応の例 |
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[一意対応の定義を満たす対応の例1]・右図の対応は、 f(a1)={b1}、f(a2)={b2} 、f(a3)={b3} となっているから、 どの『fの(定義域のみならず)始集合に属す元』に対しても、 『終集合Bに属す元』一個を割り当ててている。 ・したがって、右図の対応は、一意対応である。 ・このような一意対応は、特に、一対一写像ないし単射と呼ばれる。 →[図例冒頭] | ![]() |
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[一意対応の定義を満たす対応の例2]・右図の対応は、 f(a1)={b1}、f(a2)={b2} 、f(a3)={b3} となっており、 始集合Aの元a1,a2,a3に対しては、それぞれ、『終集合Bに属す元』を一個ずつ 割り当てていっている。 ・しかし、f(a4)=φ。 つまり、始集合Aには、 『終集合Bに属す元』を一個も割り当てない元a4が存在する。 |
![]() |
・この対応には、 定義域外の元(終集合Bの元を一個も割り当てられない『Aの元』a4)も存在しているものの、 『fの定義域のあらゆる元』(a1,a2,a3)にたいしては、一元ずつを割り当てていっているので、 一意対応の定義は満たしている。 →[図例冒頭] |
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[一意対応の定義を満たす対応の例3]・右図の対応は、 f(a1)={b1}、f(a2)=φ 、f(a3)={b1} 、f(a4)={b1} となっているから、 『fの定義域』は、{ a1,a3,a4 } 。 ・『fの定義域のあらゆる元』にたいしては、一元を割り当てているが、 その割当先が重複している( {b1} )。 ・このような対応でも、一意対応の定義は満たしている。 一意対応の定義が問題としているのは、 対応が、同一の「定義域の元」に対して何個の《終集合の元》を割り当てるか、 であって、 対応が、同一の「終集合の元」を、何個の《定義域の元》に対して割り当てるか、 ではない。 →[図例冒頭] |
![]() |
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[一意対応の定義を満たす対応の例4]・右図の対応も、 同じ理由から、一意対応の定義を満たす。 ・このように、始集合全体が定義域となっている一意対応は、 特に、写像と呼ばれる。 →[図例冒頭] |
![]() |
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[一意対応ではない対応の例]・右図の対応は、一意対応ではない。f(a1)={b1,b3}、f(a2)=φ 、f(a3)={b1,b3} 、f(a4)={b2} となっていて、 元a1に対して、二元{b1,b3}を、 元a3に対して、二元{b1,b3}を、割り当てていることが、 一意対応の定義に反している。 →[図例冒頭] |
![]() |
→[一意対応定義の冒頭へ] |
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例 |
婚姻制度の例で。 |
→[トピック一覧:対応] →集合論目次・総目次 |
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→[トピック一覧:対応] →集合論目次・総目次 |