【絶対値の性質5】 積と絶対値の順序交換 　 ・どのような実数x,yであれ、 　　　|xy| ＝ |x| |y|  　を満たす。 ・論理記号で書くと、 　　　(∀x、y∈R)（|xy| ＝ |x| |y| ） ※なぜ？→証明

[文献] 　・杉浦『解析入門I』§1命題1.2-2(p.4) 　・神谷・浦井『経済学のための数学入門』定義2.2.2(p.67). 　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』2.3.2４-iii(p.59)

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証明【絶対値の性質5】 　|xy| ＝ |x| |y|  　 (i)　x≧0かつy≧0の場合 　・左辺について。 　　　　　xy≧0 　　　∴　|xy|= x・y 　　∵ xy≧0に注意して絶対値の定義を適用　 　・右辺について　 　　　　|x|=x 　　　　∵ x≧0　に注意して絶対値の定義を適用 　　　　|y|=y 　　　　　∵y≧0　に注意して絶対値の定義を適用 　　∴　|x||y|=xy　　 　　∴|xy|=xy＝|x||y|　 (ii)　x＜0かつy＜0の場合　　 　・左辺について。 　　　　　xy≧0　　 　　∴　|xy|=xy 　　　∵ xy≧0に注意して絶対値の定義を適用 　・右辺について　 　　　　|x|= −x 　∵ x＜0　に注意して絶対値の定義を適用 　　　　|y|= −y 　∵y＜0　に注意して絶対値の定義を適用 　　∴　|x||y|= xy　　　　　　　 　　∴　|xy|= xy＝|x||y|　　　 (iii)　x＜0かつy≧0の場合 　・左辺について。 　　　　xy≦0 　　∴　|xy|= −xy 　　∵ xy≦0に注意して絶対値の定義を適用 　・右辺について 　　　　|x|= −x 　　　　∵ x＜0　に注意して絶対値の定義を適用 　　　　|y|= 　y 　　　　　∵y≧0　に注意して絶対値の定義を適用 　　∴　|x||y|= −xy　 　　∴　|xy|=−xy＝|x||y| (iv)　x≧0かつy＜0の場合 　・左辺について。 　　　　　xy≦0　　∵ xy≦0に注意して絶対値の定義を適用 　　∴　|xy|= −xy 　 　・右辺について 　　　　|x|= 　x 　　　　∵ x≧0　に注意して絶対値の定義を適用 　　　　|y|= −y 　　　　　∵y＜0　に注意して絶対値の定義を適用 　　∴　|x||y|= −xy　 　　∴　|xy|= −xy＝|x||y|

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