【絶対値の性質8-1】 三角不等式

・どのような実数x,yでも、
　　　|x＋y|≦|x|＋|y|　　　
　を満たす。
・論理記号で書くと、
　　　(∀x、y∈R)（　|x＋y|≦|x|＋|y|  ）
※なぜ？→証明　
※活用例:
　・d(x,y)=|x−y|は距離の公準3三角不等式を満たす。




[文献]
　・吉田-栗田-戸田『昭和62年文部省検定済:高等学校数学I』啓林館,4章3.(p.104.)
　・小平『解析入門I』§1.3(p.21)
　・杉浦『解析入門I』§1命題1.2-3(p.4)
　・神谷・浦井『経済学のための数学入門』定義2.2.2(p.67).

　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』2.3.2６-i(p.59);
【絶対値の性質8-2】
・どんな実数x,yでも、
　　 | |x|−|y| | ≦ |x−y| ≦ |x|＋|y|　　　
　を満たす。
・論理記号で書くと、
　(∀x、y∈R)(||x|−|y| |≦|x−y|≦|x|+|y|)
※なぜ？→証明　※活用例→積分の三角不等式　




[文献]
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』1章§1問1(p.3).

　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』2.3.2６-iii(p.59)

【絶対値の性質8-3】

・どんな実数x,yでも、
　　 |x|−|y| ≦ |x|＋|y|　　　
　を満たす。

・論理記号で書くと、
　　　(∀x、y∈R)（ |x|−|y| ≦ |x|＋|y| ）




[文献]
　・杉浦『解析入門I』§1命題1.2-4(p.4): 証明付.
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』1章§1問1(p.3).

　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』2.3.2６-ii(p.59)
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証明　【三角不等式】 　|x＋y|≦|x|＋|y|

[左辺の２乗について]　


　　|x＋y|2 ＝(x+y)2 　　∵絶対値の性質|x|2 ＝ x2　　
　　　　　　＝x2＋2xy＋y2　　　

[右辺の２乗について]　


　　(　|x|＋|y|　)2 ＝|x|2＋2|x||y|＋|y|2　




[文献]
　・吉田-栗田-戸田『昭和62年文部省検定済:高等学校数学I』啓林館,4章3.(p.104.)


　



　　　　　　　　　＝x2＋2|x||y|＋y2　   　∵　絶対値の性質：|x|2＝x2, |y|2＝y2　
　　　　　　　　　＝x2＋2|xy|＋y2　　　　∵　絶対値の性質：　|xy| ＝ |x| |y|

[左辺２乗と右辺２乗の比較作業]　


　　つねに、xy≦ |xy|　　　　∵　絶対値の性質： |x| ≧ x
　　正確には、xy≧0なら、xy= |xy|　
　　　　　　　xy＜0なら、xy＜|xy|　
　よって、
　（左辺２乗）≦（右辺２乗）
　正確には、xy≧0なら、（左辺２乗）＝（右辺２乗）
　　　　　　xy＜0なら、（左辺２乗）＜（右辺２乗）

[結論]　


　左辺：|x＋y|≧０、右辺：|x|＋|y|≧０で、　　　
　（左辺２乗）≦（右辺２乗）であるので、、
　左辺：|x＋y|≦|x|＋|y|：右辺
　　　　正確には、
　　　　xy≧0、つまり、xyの符号がそろっているなら、
　　　　　　　　　|x＋y|＝|x|＋|y|　　　　　　
　　　　xy＜0、つまり、xyの符号がそろっていないなら、
　　　　　　　　　|x＋y|＜|x|＋|y| 　　　　

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証明　【絶対値の性質】 　 ||x|−|y||≦|x−y|

(i)　x,y≧0のとき
　絶対値の定義より、|x|=x、|y|=yだから
　左辺:  | |x|−|y| |=|x−y|　=右辺

(ii)　x,y≦0のとき
　左辺: | |x|−|y| |=|−x＋y|　
　　　　　　　　　∵x,y≦0のとき、絶対値の定義より、|x|= −x、|y|=−y
　　　　　　　　=|(−1)(x−y)|=|−1|・|x−y|　∵|xy|=|x| |y|
　　　　　　　　=|x−y|　　　∵|−1|=1
　　　　　　　　=右辺

(iii)　x≧0,y≦0のとき
　左辺: | |x|−|y| |=|x＋y|
　　　　　　　　　　∵x≧0,y≦0では絶対値の定義より、|x|=x、|y|=−y
　　　　　　　　≦|x|＋|y|　∵|x＋y|≦|x|＋|y|　
　　　　　　　　= x−y　
　　　　　　　　　　∵x≧0,y≦0では絶対値の定義より、|x|=x、|y|=−y
　　　　　　　　≦|x−y|　　∵|a|≧a
　　　つまり、 | |x|−|y| |≦|x−y|

(iv)　x≦0,y≧0のとき
　左辺: | |x|−|y| |=|−x−y|　
　　　　　　　　　　∵x≦0,y≧0では絶対値の定義より、|x|= −x、|y|=y
　　　　　　　　=|(−1)・(x+y)|=|−1|・|x+y|　∵|xy|=|x| |y|
　　　　　　　　=|x＋y| 　　∵|−1|=1
　　　　　　　　≦|x|＋|y|　∵|x＋y|≦|x|＋|y|　
　　　　　　　　　= −x＋y　
　　　　　　　　　　　∵ x≦0,y≧0では絶対値の定義より、|x|= −x、|y|=y
　　　　　　　　　　≦|−x＋ y|　　∵|a|≧a
　　　　　　　　　　　　=|(−1)(x−y)|=|−1|・|x−y|　∵|xy|=|x| |y|
　　　　　　　　　　　　=|x−y|　　　∵|−1|=1　　
　　　つまり、 | |x|−|y| |≦|x−y|　　　　

　　


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