定義：Rにおける集合の集積点　accumulating point, accumulation point , point of accumulation 　極限点　limit point , cluster point

・ビギナー向け「集積点」定義　　
・厳密な「集積点」定義　　
　→集積点の定義─タイプ0：距離のみを用いた表現/開区間を用いた表現/近傍を用いた表現/除外近傍を用いた表現　
　→集積点の定義─タイプ1：距離のみを用いた表現/開区間を用いた表現/近傍を用いた表現/触点を用いた表現/閉包を用いた表現　
　→集積点の定義─タイプ2：距離のみを用いた表現/開区間を用いた表現/近傍を用いた表現　
　→数列をつかった集積点の定義　
・厳密な「集積点」定義間の関係
　・集積点定義タイプ0⇔集積点定義タイプ1/集積点定義タイプ0⇔集積点定義タイプ2/集積点定義タイプ0⇔数列をもちいた集積点定義　　
　・集積点定義タイプ1⇔集積点定義タイプ2/集積点定義タイプ2⇔数列をもちいた集積点定義　
・集積点と他の位相概念との関係
　→集積点と内点・外点・境界点との関係　　
　→集積点と触点・閉包との関係　　


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集積点の定義─タイプ0　：　距離表現

　
・「実数aが『Rの部分集合Eの集積点』である」とは、

　　εに設定した距離を変更して、《aからの距離ε以内のゾーン(aを除く)》の幅をどのように変えたときでも、

　　《実数aから距離ε以内のゾーン(aを除く)》に、最低一個以上の「Eに属す実数」の実在を確認できる

　　ということ。

・論理記号で表すと、

　「実数aが『Rの部分集合Eの集積点』である」とは、
　　　∀ε>0　∃x∈E　　　0<|x-a|<ε　[永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』4.1.6(p.135)]
　　　　　　任意の正数ε>0に対して、ある実数x∈E　が存在して、0<|x-a|<εを満たす。
　　　∀ε>0　∃x∈R　　（x∈E かつ 0<|x-a|<ε）　　
　　　　　　任意の正数ε>0に対して、ある実数x　が存在して、x∈E かつ 0<|x-a|<εを満たす。

　　　∀ε>0　E ∩ { x∈R | 0<|x-a|<ε }  ≠φ　(∵互いに素を表す命題)

　　ということ。

・論理にもっとこだわると…

　変項a,Eからなる二項述語「実数aが『Rの部分集合Eの集積点』である」　
　　　　　aの議論領域：R　（Rの部分集合Eではないことに注意。）　　　
　　　　　Eの議論領域：Rの冪集合　　　　　　
　は、

　　変項a,x,εからなる3項述語「0<|x-a|<ε」
　　　　　aの議論領域：R　（Rの部分集合Eではないことに注意。）　　　
　　　　　xの議論領域：R　　　　　　　
　　　　　εの議論領域：R　　　　　　　
　　　
　を、
　まず、変項xを∃x∈E　で束縛して、
　　変項a,E,εからなる3項述語「∃x∈E 0<|x-a|<ε」
　　　　　aの議論領域：R　（Rの部分集合Eではないことに注意。）　　　
　　　　　Eの議論領域：Rの冪集合　　　　　　
　　　　　εの議論領域：R　　　　　　　
　をつくり、
　それから、変項εを∀ε>0　で束縛して、
　　変項a,Eからなる二項述語「　∀ε>0　∃x∈E　　　0<|x-a|<ε　」
　　　　　aの議論領域：R　　　　
　　　　　Eの議論領域：Rの冪集合　　　　　　
　としたもの。
　
【文献】
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』4.1.6
実数aをEの部分集合Aの集積点accumulation point, cluster point,limit pointとは、任意の正数δ>0に対して、0<|x-a|<δとなる点x∈Aが少なくとも一つは存在するということ。Aに属する点で、A の集積点でないものを孤立点という(p.135)

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集積点の定義─タイプ0　：　開区間表現


・「実数aが『Rの部分集合Eの集積点』である」とは、

　　(a−ε,a)∪(a,a＋ε) の幅εをどのように変えたときでも、

　　(a−ε,a)∪(a,a＋ε) に、最低一個以上の「Eに属す実数」の実在を確認できる

　　ということ。

・論理記号で表すと、
　「実数aが『Rの部分集合Eの集積点』である」とは、

　　∀ε>0 　（ (a−ε,a)∪(a,a＋ε) ）∩ E≠φ  
　　　　　　任意の正数ε>0に対して、（(a−ε,a)∪(a,a＋ε)）とEは、（(a−ε,a)∪(a,a＋ε)）∩ E≠φ を満たす。

　　　∀ε>0　∃x∈E　　　x∈（ (a−ε,a)∪(a,a＋ε) ）　
　　　∀ε>0　∃x∈R　　x∈E かつ x∈（ (a−ε,a)∪(a,a＋ε)）　　
　　　∀ε>0　∃x∈R　　x∈（(a−ε,a)∪(a,a＋ε) ）∩ E 　

　　ということ。

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集積点の定義─タイプ0　：　近傍表現



・「実数aが『Rの部分集合Eの集積点』である」とは、

　　aのε近傍 Uε(a)の幅εをどのように変えたときでも、

　　aのε近傍からaを除去した範囲　Uε(a)−{a} に、最低一個以上の「Eに属す実数」の実在を確認できる

　　ということ。

・論理記号で表すと、
　「実数aが『Rの部分集合Eの集積点』である」とは、

　　∀ε>0 　（Uε(a)−{a}）∩ E≠φ　[一楽『集合と位相―そのまま使える答えの書き方』問題3.3.17コメント(p.109)]
　　　　　　任意の正数ε>0に対して、Uε(a)とEは、（Uε(a)−{a}）∩ E≠φ を満たす。
　　　∀ε>0　∃x∈R　　x∈（Uε(a)−{a}）∩ E 　
　　　∀ε>0　∃x∈R　　x∈E かつ x∈（Uε(a)−{a} ）　　
　　　∀ε>0　∃x∈E　　　x∈（ Uε(a)−{a} ）　

　　ということ。

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集積点の定義─タイプ0　：　除外近傍表現



・「実数aが『Rの部分集合Eの集積点』である」とは、

　　aの除外ε近傍U*ε(a)の幅εをどのように変えたときでも、

　　aの除外ε近傍U*ε(a)に、最低一個以上の「Eに属す実数」の実在を確認できる

　　　　each deleted ε-neighborhood   U*ε(a) of a contains points of E. [Fischer, Def 3.4(p.209)]

　　ということ。

・論理記号で表すと、

　「実数aが『Rの部分集合Eの集積点』である」とは、

　　∀ε>0 　U*ε(a)∩ E≠φ [Fischer, V.3.Def 3.4(p.209)]
　　　　　　任意の正数ε>0に対して、U*ε(a)とEは、U*ε(a)∩ E≠φ を満たす。
　　　∀ε>0　∃x∈R　　x∈U*ε(a)∩ E 　
　　　∀ε>0　∃x∈R　　x∈E かつ x∈U*ε(a)　　
　　　∀ε>0　∃x∈E　　　x∈U*ε(a)　
　　ということ

【文献】
　・Fischer,Intermediate Real Analysis, V.3.Def 3.4(p.209).
an accumulation point, in R, of S⊂R is a point x0∈R such that each deleted ε-neighborhood N*(x0,ε)of x0 contains points of S; that is , such that N*(x0,ε)∩S≠φ for all ε>0。[ex]{1/n}の集積点。theorem3.2で無数。theorem3.3で数列。

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reference

・Fischer,Intermediate Real Analysis, V.3.Def 3.4(p.209).an accumulation point, in R, of S⊂R is a point x0∈R such that each deleted ε-neighborhood N*(x0,ε)of x0 contains points of S; that is , such that N*(x0,ε)∩S≠φ for all ε>0。[ex]{1/n}の集積点。theorem3.2で無数。theorem3.3で数列。
・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』4.1.6実数aをEの部分集合Aの集積点accumulation point, cluster point,limit pointとは、任意の正数δ>0に対して、0<|x-a|<δとなる点x∈Aが少なくとも一つは存在するということ。Aに属する点で、A の集積点でないものを孤立点という(p.135):4.1.7:同値条件。aのすべての近傍はaとは異なるAの点を含む。aのすべての近傍は無限に多くのAの点を含む。4.1.9数列との関連。ex4.1.7(p.139)
・一楽『集合と位相―そのまま使える答えの書き方』問題3.3.17コメント(p.109)