定義:
R
における集合の集積点
accumulating point
,
accumulation point
,
point of accumulation
極限点
limit point
,
cluster point
→
ビギナー向け「集積点」定義
→
厳密な「集積点」定義
→集積点の定義─タイプ0:
距離のみを用いた表現
/
開区間を用いた表現
/
近傍を用いた表現
/
除外近傍を用いた表現
→集積点の定義─タイプ1:
距離のみを用いた表現
/
開区間を用いた表現
/
近傍を用いた表現
/
触点を用いた表現
/
閉包を用いた表現
→集積点の定義─タイプ2:
距離のみを用いた表現
/
開区間を用いた表現
/
近傍を用いた表現
→
数列をつかった集積点の定義
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R
,
d
)
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集積点の定義タイプ1 ⇔ 集積点の定義タイプ2
下記の【
集積点の定義─タイプ1
】【
集積点の定義─タイプ2
】は、
同値
。
【
集積点の定義─タイプ1
】
εに設定した
距離
を変更して、《
a
からの
距離
ε以内のゾーン》の幅をどのように変えたときでも、
《
実数
a
から
距離
ε以内のゾーン》に、
実数
a
以外の「
E
に属す
実数
」が最低一個以上実在している
ということ。
∀ε>0
U
ε
(
a
)
∩
(
E
−
{
a
}
)
≠φ
【
集積点の定義─タイプ2
】
εに設定した
距離
を変更して、《
a
からの
距離
ε以内のゾーン》の幅をどのように変えたときでも、
《実数
a
から
距離
ε以内のゾーン》に、無限に多くの「
E
に属す
実数
」が実在している
∀ε>0 (
U
ε
(
a
)
∩
E
が
無限集合
)
→
証明:定義タイプ1⇒定義タイプ2
→
証明:定義タイプ2⇒定義タイプ1
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,
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集積点定義タイプ1 ⇒ 集積点定義タイプ2
下記文献参照。
・能代『
極限論と集合論
』
7章2集積点定理1(
p
.129)
・ルディン『
現代解析学
』2.22定理(
p
.34)
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集積点定義タイプ2 ⇒ 集積点定義タイプ1
掲載文献見当たらず。
これは、自明か。
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