定義:Rにおける集合の集積点 accumulating point, accumulation point , point of accumulation  極限点 limit point , cluster point

ビギナー向け「集積点」定義 
厳密な「集積点」定義 
 →集積点の定義─タイプ0:距離のみを用いた表現/開区間を用いた表現/近傍を用いた表現/除外近傍を用いた表現 
 →集積点の定義─タイプ1:距離のみを用いた表現/開区間を用いた表現/近傍を用いた表現/触点を用いた表現/閉包を用いた表現 
 →集積点の定義─タイプ2:距離のみを用いた表現/開区間を用いた表現/近傍を用いた表現 
 →数列をつかった集積点の定義 


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集積点の定義タイプ1 ⇔ 集積点の定義タイプ2

 下記の【集積点の定義─タイプ1】【集積点の定義─タイプ2】は、同値

集積点の定義─タイプ1】 

  εに設定した距離を変更して、《aからの距離ε以内のゾーン》の幅をどのように変えたときでも、

  《実数aから距離ε以内のゾーン》に、実数a以外の「Eに属す実数」が最低一個以上実在している

  ということ。

   ∀ε>0  Uε(a) (E{a})≠φ

集積点の定義─タイプ2

  εに設定した距離を変更して、《aからの距離ε以内のゾーン》の幅をどのように変えたときでも、
  《実数aから距離ε以内のゾーン》に、無限に多くの「Eに属す実数」が実在している

    ∀ε>0 (Uε(a) E無限集合


証明:定義タイプ1⇒定義タイプ2 

証明:定義タイプ2⇒定義タイプ1 


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集積点定義タイプ1 ⇒ 集積点定義タイプ2

下記文献参照。
 
 ・能代『極限論と集合論7章2集積点定理1(p.129)
 ・ルディン『現代解析学』2.22定理(p.34)



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集積点定義タイプ2 ⇒ 集積点定義タイプ1 

 掲載文献見当たらず。

 これは、自明か。



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