定義：Rにおける集合の集積点　accumulating point, accumulation point , point of accumulation 　極限点　limit point , cluster point

・ビギナー向け「集積点」定義　　
・厳密な「集積点」定義　　　
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　→集積点の定義ータイプ2：距離のみを用いた表現/開区間を用いた表現/近傍を用いた表現　
　→数列をつかった集積点の定義　
・厳密な「集積点」定義間の関係
　・集積点定義タイプ0⇔集積点定義タイプ1/集積点定義タイプ0⇔集積点定義タイプ2/集積点定義タイプ0⇔数列をもちいた集積点定義　　
　・集積点定義タイプ1⇔集積点定義タイプ2/集積点定義タイプ2⇔数列をもちいた集積点定義　
・集積点と他の位相概念との関係
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　→集積点と触点・閉包との関係　　

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数列を用いた集積点の定義─表現1　


・「実数aが『Rの部分集合Eの集積点』である」とは、

　次の条件を満たす 数列 x1 , x2 , x3 , …が存在すること。

　　【条件1】 ∀n∈N ( xn∈E　かつ　xn≠a )
　　【条件２】  xn → a (n→∞)

【文献】
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』4.1.9数列を用いた上記の定義と、タイプ0の定義とが同値(p.13５)
　・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,2.4(b)Theorem4.11(p.62)
　　　　　　　"there exists a sequence in E−{a} that converges to a."
　・加藤十吉『微分積分学原論』系5.1(p.45)：「a に収束するE−{a}の数列が存在する 」
　・黒田『微分積分』定義2.9(p.65):数列の集積値;8.1.4(p.275):Rn一般について。
　・杉浦ほか『解析演習』第1章[例題]§22.14(p.10):E-{a}の部分列で、aに収束するものがとれる
　・能代『極限論と集合論』7章2定理3(p.130)。タイプ2の定義⇔上記の定義を提示。

数列を用いた集積点の定義─表現２　


・「実数aが『Rの部分集合Eの集積点』である」とは、
　　Eのなかの相異なる点からなる数列x1 , x2 , x3 , …が、n→∞のとき一点aに近づくこと。[志賀『位相への30講』第4講(p.26)]
　　there exists a sequence 〈xn〉 of distinct points of S such that   xn → x0 (n→∞) [Fischer,Intermediate Real Analysis, Theorem 3.3(p.211)]]
 　　　
　　Eのなかの相異なる点からなる数列・a sequence 〈xn〉 of distinct points of S　は、a,a,a,…という数列の排除を狙ったもの。

・「実数aが『Rの部分集合Eの集積点』である」とは、

　　【条件1】 ∀n∈N ( xn∈E　かつ　xn≠a )
　　【条件1】 ∀m,n∈N ( m≠n　⇒　xm≠xn )?
　　【条件２】  xn → a (n→∞)

【文献】

　・志賀『位相への30講』第4講(p.26)：数列をつかって定義。
　・Fischer,Intermediate Real Analysis, Theorem 3.3(p.211).数列を用いた上記の定義と、タイプ0の定義とが同値（証明付）

reference

　
　・能代『極限論と集合論』7章2定理3(p.130)。タイプ2の定義⇔上記の定義を提示。
　・杉浦ほか『解析演習』第1章[例題]§22.14(p.10):E-{a}の部分列で、aに収束するものがとれる

　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』4.1.6「実数aがEの部分集合Aの集積点」をタイプ0で定義。4.1.9数列を用いた上記の定義と、タイプ0の定義とが同値（証明なし）(p.13５)
　・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,2.4(b)Theorem4.11(p.62):距離空間一般において。タイプ1の定義と同値。「E−{a}のなかに、aに収束する数列が存在する。there exists a sequence in E−{a} that converges to a.
　・加藤十吉『微分積分学原論』系5.1(p.45)で、タイプ1の定義⇒上記の定義を提示。

　・黒田『微分積分』定義2.9(p.65):数列の集積値;8.1.4(p.275):Rn一般について。

　・志賀『位相への30講』第4講(p.26)：数列をつかって定義。
　・Fischer,Intermediate Real Analysis, Theorem 3.3(p.211).数列を用いた上記の定義と、タイプ0の定義とが同値（証明付）


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