定義：Rにおける位相概念間の関係　

【内点・外点・境界点の関係/内部・外部・境界の関係】

【点集合の内部・外部・境界と、その補集合の内部・外部・境界との関係】

【触点と内点・外点・境界点との関係/閉包と内部・外部・境界との関係】

【内点・外点・境界点と集積点】

【触点・閉包と、集積点・孤立点】

【無限集合・有限集合と集積点】

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ある点集合の集積点は、その点集合の内点か境界点　

・《Rの部分集合E》に対して、　
　すべての《Eの集積点》は、《Eの内点》であるか、または、《Eの境界点》。　　　

　　　∀a∈R　「aが《Eの集積点》」⇒「aは《Eの内点》、または、《Eの境界点》」 [小平『解析入門I』§1.6-b(p.58):R2]
　　　∀a∈R　「a∈《Eの導集合》 ⇒ 「a∈Int E または、a∈∂E」
　　　∀a∈R　「a∈《Eの導集合》 ⇒ 「a∈ ( Int E ∪ ∂E ) 」
　　
・ということは、

　《Rの部分集合E》に対して、　《Eの導集合》 ⊂ Int E ∪ ∂E 　

【文献】
・小平『解析入門I』§1.6-b(p.58):R2
　

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ある点集合の内点は、その点集合の集積点

・《Rの部分集合E》について、　
　　すべての《Eの内点》は、《Eの集積点》である。　　　

　　　∀a∈R　「aが《Eの内点》」⇒「aは《Eの集積点》」

　　　∀a∈R　 a∈Int E ⇒ a∈《Eの導集合》

・ということは、

　《Rの部分集合E》に対して、　Int E ⊂ 《Eの導集合》　

【文献】

　・奥野鈴村『ミクロ経済学Ｉ』数学付録5.A(p.275)：「Aの内点は、定義により、Aの集積点」
　・吹田新保『理工系の微分積分学』6章§1(p.155);
　・小平『解析入門I』§1.6-b(p.58):R2
　　　　　「Eの内点はすべてEの集積点。」
　　　　　　つまり、xが「Aの内点」⇒xがAの集積点　
　・黒田『微分積分』問8.1.4(iii)(p.275):Rn一般：int A⊂《Aの導集合》　

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ある点集合の境界点は、その点集合の集積点か孤立点

・《Rの部分集合E》に対して、　
　すべての《Eの境界点》は、《Eの集積点》であるか、または、《Eの孤立点》。[吹田新保『理工系の微分積分学』6章§1(p.155):R2]
　　　
　　　∀a∈R　「aが《Eの境界点》」⇒「aは《Eの集積点》、または、《Eの孤立点》」
　　　∀a∈R　「a∈∂E ⇒ 「a∈《Eの導集合》または、a∈《Eの孤立点の集合》」
　　　∀a∈R　「a∈∂E ⇒ 「a∈ ( 《Eの導集合》 ∪ 《Eの孤立点の集合》 ) 」

・ということは、∂E ⊂( 《Eの導集合》 ∪ 《Eの孤立点の集合》 )

・《Rの部分集合E》に対して、　
　　∂E = （《Eの導集合》－Int E）∪《Aの孤立点の集合》 [黒田『微分積分』問8.1.4(iii)(p.275):Rn一般]

・《Rの部分集合E》に対して、　
　　　∀a∈R　「aが《Eの境界点》かつ a

E　」⇒「aは《Eの集積点》」 [小平『解析入門I』§1.6-b(p.58):R2,証明付]

　　　　　　　ということは、（ ∂E － E ）⊂《Eの導集合》　

【文献】

　・吹田新保『理工系の微分積分学』6章§1(p.155):R2
　　　　　　「Eの境界点は、Eの集積点か、Eの孤立点」
　・小平『解析入門I』§1.6-b(p.58):R2,証明付
　　　　　　「Sの境界点PがSに属さないならは、PはSの集積点」
　・黒田『微分積分』問8.1.4(iii)(p.275):Rn一般

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ある点集合の外点は、その点集合の集積点でも孤立点でもない。

・《Rの部分集合E》に関して、　
　すべての《Eの外点》は、　《Eの集積点》　でも、《Eの孤立点》でもない。
　　　　　　　　　　[吹田新保『理工系の微分積分学』6章§1(p.155):R2]

・《Rの部分集合E》に関して、
　　《Eの導集合》とExt E　は、互いに交わらない(互いに素) 。

　　　　　《Eの導集合》 ∩ Ext E ＝ φ　　　[黒田『微分積分』問8.1.4(ii)(p.275):Rn一般]

【文献】

　・吹田新保『理工系の微分積分学』6章§1(p.155):R2
　・黒田『微分積分』問8.1.4(ii)(p.275):Rn一般　

　　　

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