定義：Rにおける集合の集積点　accumulating point, accumulation point , point of accumulation 　極限点　limit point , cluster point

・ビギナー向け「集積点」定義　　
・厳密な「集積点」定義　
　→集積点の定義ータイプ0：距離のみを用いた表現/開区間を用いた表現/近傍を用いた表現/除外近傍を用いた表現
　→集積点の定義ータイプ1：距離のみを用いた表現/開区間を用いた表現/近傍を用いた表現/触点を用いた表現/閉包を用いた表現　
　→集積点の定義ータイプ2：距離のみを用いた表現/開区間を用いた表現/近傍を用いた表現　　
　→数列をつかった集積点の定義　
・厳密な「集積点」定義間の関係
　・集積点定義タイプ0⇔集積点定義タイプ1/集積点定義タイプ0⇔集積点定義タイプ2/集積点定義タイプ0⇔数列をもちいた集積点定義　　
　・集積点定義タイプ1⇔集積点定義タイプ2/集積点定義タイプ2⇔数列をもちいた集積点定義　
・集積点と他の位相概念との関係
　→集積点と内点・外点・境界点との関係　　
　→集積点と触点・閉包との関係　　

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集積点の定義─タイプ1　：　距離表現



・「実数aが『Rの部分集合Eの集積点』である」とは、

　　εに設定した距離を変更して、《aからの距離ε以内のゾーン》の幅をどのように変えたときでも、

　　《実数aから距離ε以内のゾーン》に、実数a以外の「Eに属す実数」が最低一個以上実在している

　　ということ。

・論理記号で表すと、

　「実数aが『Rの部分集合Eの集積点』である」とは、
　　　∀ε>0　∃x∈(E−{a})　|x-a|<ε　
　　　　　　任意の正数ε>0に対して、ある実数x∈E−{a}　が存在して、|x-a|<εを満たす。
　　　∀ε>0　∃x∈R　　（x∈(E−{a}) かつ |x-a|<ε）　　
　　　　　　任意の正数ε>0に対して、ある実数x　が存在して、x∈(E−{a}) かつ |x-a|<εを満たす。
　　　∀ε>0　　(E−{a}) ∩ { x∈R | |x-a|<ε } ≠φ (∵互いに素を表す命題)
　　　　　　任意の正数ε>0に対して、E−{a} と{ x∈R | |x-a|<ε } は、交わる 。

　　ということ。

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集積点の定義─タイプ1　：　開区間表現


・「実数aが『Rの部分集合Eの集積点』である」とは、

　　(a−ε, a＋ε) の幅εをどのように変えたときでも、

　　(a−ε, a＋ε) に、実数a以外の「Eに属す実数」が最低一個以上実在している

　　ということ。

・論理記号で表すと、

　「実数aが『Rの部分集合Eの集積点』である」とは、

　[1]　∀ε>0 　 (a−ε, a＋ε) ∩(E−{a})≠φ  [赤攝也『実数論講義』定義6.1.1;注意2(p.１２１)]
　　　　　　任意の正数ε>0に対して、(a−ε, a＋ε) と(E−{a})は、交わる 。

　[2]　∀ε>0　∃x∈R　　x∈（ (a−ε, a＋ε) ∩ (E−{a}) ）　
　[3]　∀ε>0　∃x∈R　　（x∈(E−{a}) かつ x∈ (a−ε, a＋ε) ）　　
　[4]　∀ε>0　∃x∈(E−{a})　　　x∈(a−ε, a＋ε)　

　[5]　∀ε>0　∃x∈R　（x≠a　 かつ　x∈E　 かつ　x∈(a−ε, a＋ε)　）


　ということ。

【文献】
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』4.1.7(p.135)
　・赤攝也『実数論講義』定義6.1.1:R上の区間和の集積点(p.１２１);注意2:Rの部分集合全般の集積点(pp.１２１-2)


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集積点の定義─タイプ1　：　近傍表現


・「実数aが『点集合Eの集積点』である」とは、
　　　　　実数aの任意の近傍に、実数a以外の「集合Eに属す実数」が最低一個以上実在しているということ。

・論理記号で表すと、

　[1]　∀ε>0 　Uε(a)∩ (E−{a})≠φ [de la Fuente2.4(b)Definition4.10(p.61)ほとんどこのまま;奥野鈴村（pp.274-275）;彌永『集合と位相II』§1.10閉包(pp.167-8) ]
　　　　　　任意の正数ε>0に対して、Uε(a)と(E−{a})は、交わる 。
　　 　
　[2]　∀ε>0　∃x∈R　　x∈（ Uε(a) ∩ (E−{a}) ）　

　[3]　∀ε>0　∃x∈R　x∈(E−{a}) かつ x∈Uε(a) ）　　　
　　　　　　　　　　　　aの任意の近傍に、a以外のEの点がある。[斎藤5.2.27(p.152):言葉  ]　　　

　[4]　∀ε>0　∃x∈E−{a}　x∈Uε(a)　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　aの任意の近傍に、a以外のEの点がある。[斎藤5.2.27(p.152):言葉 ;加藤定義5.3(p.45): ]　　　

　[5]　∀ε>0　∃x∈R　（x≠a　 かつ　x∈E　 かつ　x∈Uε(a)　）　[Rudin 2.20定義(p.33)言葉 ]　　　　　　

　　※∀ε>0　Uε(a)　⊃　{ x∈R | x≠a　 かつ　x∈E }　 はまずい？
　　　{ x∈R | x≠a かつ x∈E } がφだと、Uε(a)　⊃　{ x∈R | x≠a　 かつ　x∈E }　は真になるので、・・・　

【文献】
　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』4.1.7（ii）(p.135)「すべてのaのδ近傍は、aとは異なるEの点を含む。」
　・ルディン『現代解析学』2.20定義(p.33):距離空間一般において。「実数aが集合Eの集積点」とは、aの任意の近傍が、x≠aでかつx∈Eを満たす点xを含むこと
　・斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』5.2.27(p.152):位相空間Xの点aが、位相空間Xの部分集合Eの集積点であるとは、aの任意の近傍にa以外のEの点があるということ。　
　・彌永『集合と位相II』§1.10閉包(pp.167-8)
　・加藤十吉『微分積分学原論』定義5.3(p.45)数aは図形Xの集積点であるとは、aの任意の近傍にa以外のXの数が存在するということ。:系5.1で、数列をつかった同値命題を提示。
　・高橋『経済学とファイナンスのための数学』定義5.1.1(p.143):Rnにおいて。 accumulation point。「aが領域Dの集積点・極限点である」とは、aの任意の近傍がDの点を必ず含むこと。ただし、aは必ずしもDに含まれなくともよい。→このま ま、集積点における極限の定義へ。例5.1.2有限集合は集積点をもたない。[aがDに含まれる場合、「a以外のDの点を必ず含む」と定義すべきでは？]
　・奥野鈴村『ミクロ経済学Ｉ』数学付録5.A(pp.274-275):Rn。無数に言及しない。互いに素でないだけ。　　「実数aが集合Eの集積点」とは、∀ε>0 　Uε(a)∩ (E−{a})≠φ「直感的に言えば、Aの集積点xとは、xのどんな近傍にも、x以外のAの点が密集しているような点である。またAの内点は、定義によりAの集積点である」


　
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集積点の定義─タイプ１　：　触点表現



・「実数aが『点集合Eの集積点』である」とは、
　　実数aが E−{a}の触点であるということ。
　　　　　　[松坂『解析入門3』12.1-J(p.63)]

　　「実数aが Eの触点である」とは、「　∀ε>0 　Uε(a)∩ E≠φ」と定義された。
　　だから、
　　「実数aが E−{a}の触点である」とは、「　∀ε>0 　Uε(a)∩ E−{a}≠φ」ということを意味していることになる。
　　この「　∀ε>0 　Uε(a)∩ E−{a}≠φ」は、「実数aが『点集合Eの集積点』である」の定義1に他ならない。
　　
　　つまり、
　　「実数aが E−{a}の触点である」という集積点の定義は、
　　　「実数aが『点集合Eの集積点』である」の定義1を、触点という概念を用いて言い換えただけだ、ということになる。　
　　
　　（定義2と同値だけれども、定義2を直接言い換えたものではない。触点の定義に「無限に」とか入ってないし。ワンクッションある。）
　　（定義0と同値だけれども、直接言い換えたものとも言いづらい。
　　　「実数aが Eの触点である」のEから実数aをツマハジキにしただけで、Uε(a)のほうから実数aを除いたわけではないし。）

集積点の定義─タイプ１　：　閉包表現



・「実数aが『点集合Eの集積点』である」とは、
　　「実数aが《E−{a}の閉包》に属す」a∈《E−{a}の閉包》ということ。
　　　　　　[松坂『解析入門3』12.1-J(p.63)]

　　【触点を使った定義】【閉包を使った定義】⇒【近傍をつかった定義2】の証明：[松坂『解析入門3』12.1-J(p.63):閉包を内点または境界点と定義。]　


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reference ─　集積点のタイプ1

・赤攝也『実数論講義』定義6.1.1:R上の区間和の集積点(p.１２１);注意2:Rの部分集合全般の集積点(pp.１２１-2)
・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』4.1.6タイプ0で「aはAの集積点」を定義(p.135):4.1.7:同値条件。「すべてのaのδ近傍(a-δ,a+δ)は、aとは異なるAの点を含む。」「すべてのaのδ近傍(a-δ,a+δ)は、無限に多くのAの点を含む。」証明なし。

・de la Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists,2.4(b)Definition4.10(p.61):距離空間一般について。"limit point"ε近傍をつかって定義。　　「実数aが集合Eの集積点」とは、∀ε>0 　Uε(a)∩ (E−{a})≠φ,
　　　　　　 "Notice that this is more restrictive than the definition of closure point because now the intersection of E and Uε(a) cannnot be just the point a itself.Points for which this is the case are called asolated points. Hence, closure points are either limit points or isolated points."(p.62)
　　　　　　theorem4.11:数列を用いた表現。
　・ルディン『現代解析学』2.20定義(p.33):距離空間一般について。ε近傍をつかって定義。:「実数aが集合Eの集積点」とは、aの任意の近傍が、x≠aでかつx∈Eを満たす点xを含むこと;2.22定理(p.34)Eの集積点の任意の近傍は
Eの点を無限に多く含む。
　・斉藤『数学の基礎：集合・数・位相』5.2.27(p.152):位相空間Xの点aが、位相空間Xの部分集合Eの集積点であるとは、aの任意の近傍にa以外のEの点があるということ。Eの集積点は、Eの閉包に属す。Eの閉包―Eの点は、Eの集積点。
・加藤十吉『微分積分学原論』定義5.3(p.45)数aは図形Xの集積点であるとは、aの任意の近傍にa以外のXの数が存在するということ。:系5.1で、数列をつかった同値命題を提示。

・高橋『経済学とファイナンスのための数学』定義5.1.1(p.143):Rn。 accumulation point。「aが領域Dの集積点・極限点である」とは、aの任意の近傍がDの点を必ず含むこと。ただし、aは必ずしもDに含まれなくともよい。→このま ま、集積点における極限の定義へ。例5.1.2有限集合は集積点をもたない。

・奥野鈴村『ミクロ経済学Ｉ』数学付録5.A(pp.274-275):Rn。無数に言及しない。互いに素でないだけ。　　「実数aが集合Eの集積点」とは、∀ε>0 　Uε(a)∩ (E−{a})≠φ「直感的に言えば、Aの集積点xとは、xのどんな近傍にも、x以外のAの点が密集しているような点である。またAの内点は、定義によりAの集積点である」

[閉包・触点をつかって定義]

　・松坂『解析入門3』12.1-J(p.63):「距離空間Xの点aが、 Xの部分集合Aの集積点である」とは、「aがA−{a}の触点である」ということ、すなわち、「aが《A−{a}の閉包》に属す」ということ。これは、a の任意の近傍が、a以外のAの点を含むことを意味する。Aの集積点は、もちろん、Aの触点である。aがAの点で、Aの集積点でないときには、aはAの孤立 点とよばれる。命題6(a）Aに属さないAの触点は、Aの集積点。(b)aがAの集積点ならば、aの任意の近傍は無限に多くのAの点を含む。

　・Lang, Undergraduate Analysis,Chapter6§5Exercises13(p.132) ：Rのみならず、ノルムベクトル空間全般。
　・Lang,『ラング現代微積分学』の6章§5練習問題(p.144)には、第13問は未収録。

Let S be a subset of a normed vector space E.
 An element v of S is called isolated in S if there exists an open ball centered at v such that v is the only element of S in this open ball.
An element x of E is called an accumulation point (or point of accumulation)of S if x belongs to the closure of the set S-{x}.
(a) show that "x is adherent to S" ⇔ "x is either an accumulation point of S or an isolated point of S"
(b) show that the closure of S is the union of S and its set of accumulation points.