随伴写像の性質　　〜　数学についてのwebノート　

[トピック一覧：随伴写像の性質]
・随伴写像の随伴写像、合成写像と随伴写像、恒等写像の随伴写像、逆写像と随伴写像　
※関連ページ：ノルム・ノルム空間の定義/内積・計量実ベクトル空間の定義/内積の性質/正規直交系･正規直交基底の定義/直交系・直交基底と内積/直交系･正規直交系の性質/正規直交基底の存在と構成/計量同型写像/直交補空間の定義/部分空間の直交　　
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定理：　随伴写像の随伴写像　
　　[砂田『行列と行列式』補題7.27.1 (p.252):証明付;志賀『固有値問題30講』10講(pp.79-80):証明付;
　　　　永田『理系のための線形代数の基礎』定理4.4.4(p.122):証明付]　
(舞台設定)
R　　：実数体R　　
V　　：計量実ベクトル空間
〈x,x'〉：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルx,x'の内積　　
W　　：計量実ベクトル空間
（y,y'）：計量実ベクトル空間Wにおけるベクトルy,y'の内積　　
「 f：V→W 」　：　計量実ベクトル空間Vから計量実ベクトル空間Wへの一次写像　
「 f ^*：W→V 」：一次写像「 f：V→W 」の随伴写像・随伴作用素
(本題)　
一次写像「 f：V→W 」の随伴写像「 f ^*：W→V 」の随伴写像「 ( f ^* ) ^*：V→W 」は、
　　もとの一次写像「 f：V→W 」である。
　　

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定理：　合成写像と随伴写像　
　　[砂田『行列と行列式』補題7.27.3 (p.252):証明付;志賀『固有値問題30講』10講(pp.79-80):証明付;
　　　　永田『理系のための線形代数の基礎』定理4.4.3-1(p.122):証明付]　
(舞台設定)
R　　：実数体R　　
U　　：計量実ベクトル空間
〈x,x'〉：計量実ベクトル空間Uにおけるベクトルx,x'の内積　　
V　　：計量実ベクトル空間
（y,y'）：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルy,y'の内積　　
W　　：計量実ベクトル空間
[z,z']：計量実ベクトル空間Wにおけるベクトルz,z'の内積　　
「 f：U→V 」　：　計量実ベクトル空間 Uから計量実ベクトル空間 Vへの一次写像　
「 g：V→W」　：　計量実ベクトル空間 Vから計量実ベクトル空間 Wへの一次写像　
(本題)　
一次写像「 f：U→V 」と 一次写像「 g：V→W」との合成写像「g〇f：U→W」
　　の随伴写像「(g〇f) ^*：W→U」は、
「 g：V→W」の随伴写像「 g^*：W→V 」と
「 f：U→V」の随伴写像「 f^*：V→U 」との合成写像「f^*〇g^*：W→U」
と一致する。
要するに、
一次写像「 f：U→V 」と 一次写像「 g：V→W」にたいして、
　　(g〇f)^*＝f^*〇g^*　
　　

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定理：　恒等写像の随伴写像　
　　[砂田『行列と行列式』§7.2.a (p.252):証明なし;
　　　　永田『理系のための線形代数の基礎』定理4.4.3(2)(p.122):証明付]　
(舞台設定)
R　　：実数体R　　
V　　：計量実ベクトル空間
〈x,x'〉：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルx,x'の内積　　
f　：　計量実ベクトル空間Vの上の恒等写像　
(本題)　
計量実ベクトル空間Vの上の恒等写像 fの随伴写像は、もとの恒等写像 fである。
つまり、
計量実ベクトル空間Vの上の恒等写像 fにたいして、
　　　 f ^*＝f 　
　　

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定理：　逆写像と随伴写像　
　　[砂田『行列と行列式』例題7.28 (p.253):証明付;志賀『固有値問題30講』10講(pp.79-80):証明付;]　
(舞台設定)
R　　：実数体R　　
V　　：計量実ベクトル空間
〈x,x'〉：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルx,x'の内積　　
W　　：計量実ベクトル空間
（y,y'）：計量実ベクトル空間Wにおけるベクトルy,y'の内積　　
「 f：V→W 」　：　計量実ベクトル空間Vから計量実ベクトル空間Wへの一次写像　
「 f ^*：W→V 」：一次写像「 f：V→W 」の随伴写像・随伴作用素
(本題)　
1. 一次写像「 f：V→W 」が全単射であるならば、
　　　その随伴写像「 f ^*：W→V 」も全単射であって、　
　　　　　　fの逆写像の随伴写像と、fの随伴写像の逆写像とが一致する。　
　　要するに、　
　　一次写像「 f：V→W 」が全単射　⇒　( f⁻¹)^* = ( f ^*)⁻¹ 　
2. 一次写像「 f：V→W 」が同型写像であるならば、
　　　　　　fの逆写像の随伴写像と、fの随伴写像の逆写像とが一致する。　
　　要するに、　
　　「 f：V→W 」が同型写像　⇒　( f⁻¹)^* = ( f ^*)⁻¹ 　
　　　　　　　　　
　　

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(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目341ヒルベルト空間C.正規直交系(pp.1006-7)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年4.3(p.119);。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、４章§6計量線形空間(p.123)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§7.1-(e)直交補空間 (pp.249-250).

解析学のテキスト
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1987年、I章§4(pp.33-38)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.2.3(p.124)。

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