計量同型写像と随伴写像　　〜　数学についてのwebノート　

[トピック一覧：計量同型写像と随伴写像]
・一次写像が内積を保存するための必要十分条件、計量同型写像の必要十分条件、
　　同次元実ベクトル空間間の計量同型写像の必要十分条件　　
※関連ページ：ノルム・ノルム空間の定義/内積・計量実ベクトル空間の定義/内積の性質/正規直交系･正規直交基底の定義/直交系・直交基底と内積/直交系･正規直交系の性質/正規直交基底の存在と構成/計量同型写像/直交補空間の定義/部分空間の直交　　
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定理：　一次写像が内積を保存するための必要十分条件　
　　[永田『理系のための線形代数の基礎』定理4.4.5(p.122):証明付]　
(舞台設定)
R　　：実数体R　　
V　　：計量実ベクトル空間
〈x,x'〉：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルx,x'の内積　　
W　　：計量実ベクトル空間
（y,y'）：計量実ベクトル空間Wにおけるベクトルy,y'の内積　　
「 f：V→W 」　：　計量実ベクトル空間Vから計量実ベクトル空間Wへの一次写像　
「 f ^*：W→V 」：一次写像「 f：V→W 」の随伴写像・随伴作用素
(本題)　
次の命題P、命題Qは、同値である。
命題P： 一次写像「 f：V→W 」が　　
　　　　　　任意のx,x'∈V にたいして、〈x,x'〉＝（ f (x) , f ( x' ) ）　　
　　　　を満たす　
命題Q： 一次写像「 f：V→W 」と、一次写像「 f：V→W 」の随伴写像「 f ^*：W→V 」との合成写像
　　　　　　f ^*〇f　　　　
　　　　が、V上の恒等写像と一致する。　　　　　　　　
　　

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定理：　計量同型写像の必要十分条件　
　[永田『理系のための線形代数の基礎』定理4.4.6(p.123):証明付;砂田『行列と行列式』例題7.29 (p.253):証明付;]　
(舞台設定)
R　　：実数体R　　
V　　：計量実ベクトル空間
〈x,x'〉：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルx,x'の内積　　
W　　：計量実ベクトル空間
（y,y'）：計量実ベクトル空間Wにおけるベクトルy,y'の内積　　
「 f：V→W 」　：　計量実ベクトル空間Vから計量実ベクトル空間Wへの一次写像　
「 f ^*：W→V 」：一次写像「 f：V→W 」の随伴写像・随伴作用素
(本題)　
次の命題P、命題Q、命題Rは、同値である。
命題P： 一次写像「 f：V→W 」は計量同型写像である。　　
命題Q： 一次写像「 f：V→W 」と、一次写像「 f：V→W 」の随伴写像「 f ^*：W→V 」との合成写像
　　　　　　　f ^*〇f　　　　　
　　　　が、V上の恒等写像と一致し、
　　　　なおかつ、
　　　　一次写像「 f：V→W 」の随伴写像「 f ^*：W→V 」と、一次写像「 f：V→W 」との合成写像
　　　　　　　f〇f ^*　　　　　
　　　　が、W上の恒等写像と一致する。
命題R： 一次写像「 f：V→W 」の随伴写像「 f ^*：W→V 」と
　　　　一次写像「 f：V→W 」の逆写像「 f⁻¹ ：W→V 」とが一致する。　
　　　　　　　　f^* = f⁻¹ 　　
　　

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定理：　次元の等しい実ベクトル空間の間の計量同型写像の必要十分条件　
　[永田『理系のための線形代数の基礎』定理4.4.7(p.123):証明付]　
(舞台設定)
R　　：実数体R　　
V　　：計量実ベクトル空間
〈x,x'〉：計量実ベクトル空間Vにおけるベクトルx,x'の内積　　
‖x‖　：計量実ベクトル空間Vにおける内積により定まるノルム　　
W　　：計量実ベクトル空間
（y,y'）：計量実ベクトル空間Wにおけるベクトルy,y'の内積　　
[[y]]　：計量実ベクトル空間Wにおける内積により定まるノルム　　
「 f：V→W 」　：　計量実ベクトル空間Vから計量実ベクトル空間Wへの一次写像　
「 f ^*：W→V 」：一次写像「 f：V→W 」の随伴写像・随伴作用素
(本題)　
次の命題P1〜命題P6は、同値である。
命題P1： 一次写像「 f：V→W 」は計量同型写像である。　　
命題P2： 一次写像「 f：V→W 」の随伴写像「 f ^*：W→V 」は計量同型写像である。　　
命題P3： 一次写像「 f：V→W 」は、　　
　　　　　　　　任意のx,x'∈V にたいして、〈x,x'〉＝（ f (x) , f ( x' ) ）　　
　　　　　を満たす　
命題P4： 一次写像「 f：V→W 」は、　　
　　　　　　　　任意のx∈V にたいして、‖x‖＝‖ f (x) ‖　　
　　　　　を満たす　
命題P5： 一次写像「 f：V→W 」と、一次写像「 f：V→W 」の随伴写像「 f ^*：W→V 」との合成写像
　　　　　　　f ^*〇f　　　　　
　　　　が、V上の恒等写像と一致する。
命題P6： 一次写像「 f：V→W 」の随伴写像「 f ^*：W→V 」と、一次写像「 f：V→W 」との合成写像
　　　　　　　f〇f ^*　　　　　
　　　　が、W上の恒等写像と一致する。
　　

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(reference)
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目341ヒルベルト空間C.正規直交系(pp.1006-7)
線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年4.3(p.119);。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、４章§6計量線形空間(p.123)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§7.1-(e)直交補空間 (pp.249-250).

解析学のテキスト
杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会、1987年、I章§4(pp.33-38)。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.2.3(p.124)。

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