数ベクトル空間における線形従属・線形独立　：　トピック一覧　

・定義：一次独立･線形独立/一次従属･線形従属
・定理：単位ベクトルは一次独立/一次結合の和/一次結合のスカラー倍/一次独立の必要十分条件/一次独立なベクトルは非零ベクトル/一次独立なベクトルの一部
・定理：一次従属の必要十分条件
※数ベクトル空間関連ページ：数ベクトル空間の定義/線形結合/基底/次元　　　
※上位概念：一般のベクトル空間における一次独立・一次従属　　
※具体例：実n次元数ベクトル空間における線形従属・線形独立/実2次元数ベクトル空間における線形従属・線形独立　　

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定義：数ベクトルの一次独立・線形独立　linearly independent　　


【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
　Kn：体K上のn次元数ベクトル空間　
　+：体K上のn次元数ベクトル空間Knにおいて定義されているベクトルの加法　
　スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：K上のn次元数ベクトル空間Knにおいて定義されているスカラー乗法　
　v1, v2, …, vl：l個の「Kからつくったn次元数ベクトル」。
　　　　　　　具体的に書くと、i=1,2,…, lにたいして、vi1, vi2, …, vin∈Kとして、vi=(  vi1, vi2, …, vin )　　　
　　　　　　したがって、v1, v2, …, vl ∈Kn。
　　　　　　なお、個数lが有限個であることに注意。　　
　a1, a2, …, al ：スカラー。a1, a2, …, al ∈K　　　

【本題】

　l個の「Kからつくったn次元数ベクトル」v1, v2, …, vlが一次独立・線形独立であるとは、
　　「v1, v2, …, vl の一次結合が零ベクトルとなるのは、
　　　　これらに掛け合わせたスカラーがすべてKの加法の単位元０である場合に限られる」　　
　　すなわち、a1v1＋a2v2＋…＋alvl＝０　⇒　a1＝a2＝…＝al＝０　
　　これの対偶を書けば、「a1＝a2＝…＝al＝０でない」 ⇒  a1v1＋a2v2＋…＋alvl≠０　

　がみたされることをいう。

【具体例】

　・実n次元数ベクトルの一次独立　

　・実2次元数ベクトル空間における一次独立　　
　

【文献】

　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.2(p.10);1.3(p.16)

　・神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.1.3(p.108)

　・佐武『線形代数学』Ⅲ§1(p.86)

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定理：単位ベクトルは一次独立　


【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
　Kn：体K上のn次元数ベクトル空間　

【本題】

　体K上のn次元数ベクトル空間Knの単位ベクトルは、一次独立。

【関連】

　・単位ベクトルは基底をなす　

【文献】

　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.2(p.11)

定理：一次独立の言い換え


【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
　Kn：体K上のn次元数ベクトル空間　
　v1, v2, …, vl：l個の「Kからつくったn次元数ベクトル」。
　　　　　　　具体的に書くと、i=1,2,…, lにたいして、vi1, vi2, …, vin∈Kとして、vi=(  vi1, vi2, …, vin )　　　
　　　　　　　したがって、v1, v2, …, vl ∈Kn。
　　　　　　　なお、個数lが有限個であることに注意。　　
　a1, a2, …, al ：スカラー。a1, a2, …, al ∈K　　　

【本題】

次の二つの命題は同値。
　命題P：　n次元数ベクトル v1, v2, …, vl が一次独立。
　命題Ｑ：　n次元数ベクトル v1, v2, …, vl のどの一つも、
　　　　　　残りの(l－1)個のn次元数ベクトルの一次結合では表されない。　　

【証明】　志賀『線形代数30講』14講(p.90)　



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定義：数ベクトルの一次従属・線形従属　linearly dependent　　


【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
　Kn：体K上のn次元数ベクトル空間　
　+：体K上のn次元数ベクトル空間Knにおいて定義されているベクトルの加法　
　スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：K上のn次元数ベクトル空間Knにおいて定義されているスカラー乗法　
　v1, v2, …, vl：l個の「Kからつくったn次元数ベクトル」。
　　　　　　　具体的に書くと、i=1,2,…, lにたいして、vi1, vi2, …, vin∈Kとして、vi=(  vi1, vi2, …, vin )　　　
　　　　　　したがって、v1, v2, …, vl ∈Kn。
　　　　　　なお、個数lが有限個であることに注意。　　
　a1, a2, …, al ：スカラー。a1, a2, …, al ∈K　　　

【本題】

・l個の「Kからつくったn次元数ベクトル」v1, v2, …, vlが一次従属・線形従属であるとは、
　「Kからつくったn次元数ベクトル」v1, v2, …, vlが一次独立でないことをいう。　　

・つまり、
　l個の「Kからつくったn次元数ベクトル」v1, v2, …, vlが一次従属・線形従属であるとは、
　「Kからつくったn次元数ベクトル」v1, v2, …, vl に対して、
　全部は０ではないスカラーa1, a2, …, al が存在して
　　（a1, a2, …, al のなかに少なくとも一つ0ではないものを含むスカラーa1, a2, …, al が存在して）
　　（a1＝０かつa2＝０かつ…かつal＝０でないスカラーa1, a2, …, al が存在して）　　
　　（a1＝a2＝…＝al＝０でないスカラーa1, a2, …, al が存在して）　　
　　　　　　　　a1v1＋a2v2＋…＋alvl＝０　　
　　を満たすことをいう。

【具体例】

　・n次元実ベクトルの一次従属　
　・実2次元数ベクトル空間における一次従属　　
　

【文献】

　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.2(p.10);1.3(p.16)
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』§3.1.3(p.108)
　・佐武『線形代数学』Ⅲ§1(p.86)


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定理：一次従属の言い換え


【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
　Kn：体K上のn次元数ベクトル空間　
　+：体K上のn次元数ベクトル空間Knにおいて定義されているベクトルの加法　
　スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：K上のn次元数ベクトル空間Knにおいて定義されているスカラー乗法　
　v1, v2, …, vl：l個の「Kからつくったn次元数ベクトル」。
　　　　　　　具体的に書くと、i=1,2,…, lにたいして、vi1, vi2, …, vin∈Kとして、vi=(  vi1, vi2, …, vin )　　　
　　　　　　したがって、v1, v2, …, vl ∈Kn。
　　　　　　なお、個数lが有限個であることに注意。　　
　a1, a2, …, al ：スカラー。a1, a2, …, al ∈K　　　

【本題】

次の二つの命題は同値。
命題P：　n次元数ベクトルv1, v2, …, vlが一次従属。
命題Ｑ：　n次元数ベクトルv1, v2, …, vlの一つが、残りの(l－1)個のn次元数ベクトルの一次結合として表される。　


【文献】

　・志賀『線形代数30講』14講(p.90)
　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.2(p.10)
　・藤原『線形代数』4.2(p.94)
　・本部『新しい代数』5.2-Aベクトル空間(p.133)
　・神谷浦井『経済学のための数学入門』定理3.1.2(p.109):証明付
　・本部『新しい代数』5.2-Aベクトル空間(p.133);]

【証明】神谷浦井『経済学のための数学入門』定理3.1.2(p.109):証明付;　


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定理：一次独立なベクトルはすべて非零ベクトル　


【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
　Kn：体K上のn次元数ベクトル空間　
　v1, v2, …, vl：l個の「Kからつくったn次元数ベクトル」。
　　　　　　　具体的に書くと、i=1,2,…, lにたいして、vi1, vi2, …, vin∈Kとして、vi=(  vi1, vi2, …, vin )　　　
　　　　　　したがって、v1, v2, …, vl ∈Kn。
　　　　　　なお、個数lが有限個であることに注意。　　
　a1, a2, …, al ：スカラー。a1, a2, …, al ∈K　　　

【本題】

次の命題と、その対偶が成り立つ。

命題：　「Kからつくったn次元数ベクトル」v1, v2, …, vlが一次独立ならば、　
　　　　　　v1≠０ かつ　v2≠０ かつ…かつ　vl≠０　
上記命題の対偶：「v1≠０ かつ　v2≠０ かつ…かつ　vl≠０でないならば、v1, v2, …, vlは一次従属(一次独立でない)。　

【具体例】

　・一次独立な実n次元数ベクトルはすべて非零ベクトル 　
　・一次独立な実2次元数ベクトルはすべて非零ベクトル　　
　

【文献】

　・志賀『線形代数30講』14講(p.90)
　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.2問1(p.11)

【証明】　[志賀『線形代数30講』14講(p.90);]　　

・対偶「v1≠０かつv2≠０かつ…かつvl≠０でないならば、v1, v2, …, vlは一次従属(一次独立でない)」を示す。
・仮定「v1≠０かつv2≠０かつ…かつvl≠０でない」とは、
　v1, v2, …, vlのうち、m個(0<m≦l) が零ベクトルだということ。
　v1, v2, …, vlに含まれる、このm個の零ベクトルを、vi(1),vi(2),…,vi(m) で表す。
　すると、
　a1, a2, …, al のai(1)以外をすべて０、ai(1)を1とおいた場合に、a1v1+a2v2+…+alvl=０　が成り立つ。
　　　∵a1v1+a2v2+…+alvlのi (1)項目以外では、ai=０だから、aivi=０。（∵ベクトルのスカラー０倍）　　
　　　　a1v1+a2v2+…+alvlのi (1)項目では、ai=1,vi=０だから、aivi=０。（∵零ベクトルのスカラー倍）
　つまり、「a1＝a2＝…＝al＝０でない」のに、a1v1+a2v2+…+alvl=０となるので、
　　　　　　v1, v2, …, vlは一次従属(一次独立でない)。
以上で、「v1≠０かつv2≠０かつ…かつvl≠０でないならば、v1, v2, …, vlは一次従属(一次独立でない)」を示せた。　　　


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定理：一次独立なベクトルの部分集合、一次従属なベクトルを含む集合



【舞台設定】

　K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
　Kn：体K上のn次元数ベクトル空間　
　v1, v2, …, vl：l個の「Kからつくったn次元数ベクトル」。
　　　　　　　具体的に書くと、i=1,2,…, lにたいして、vi1, vi2, …, vin∈Kとして、vi=(  vi1, vi2, …, vin )　　　
　　　　　　したがって、v1, v2, …, vl ∈Kn。
　　　　　　なお、個数lが有限個であることに注意。　　
　a1, a2, …, al ：スカラー。a1, a2, …, al ∈K　　　

【本題】

　次の命題とその対偶が成り立つ。
　命題：　n次元数ベクトル v1, v2, …, vlが一次独立ならば、　　
　　　　　ここからm個(ただしm<l ) 除いた残りの(l－m)個のn次元数ベクトルも一次独立。

　上記命題の対偶：n次元数ベクトルv1, v2, …, vlが一次従属(一次独立でない)ならば、
　　　　　　　　これにm個の任意のn次元数ベクトルを付け加えた　　
　　　　　　　　　v1, v2, …, vl, vl+1, …,vl+mも一次従属(一次独立でない)。　　

【文献】

　・神谷浦井『経済学のための数学入門』定理3.1.3(p.110)
　・ホフマン『線形代数学I』2.3基底と次元(p.41)

【証明】　[自力]
　
対偶「v1, v2, …, vlが一次従属⇒v1, v2, …, vl, vl＋1, …, vl＋mは一次従属」を示す。　
v1, v2, …, vlが一次従属　　
⇒全部は０ではないスカラーa1, a2, …, al が存在して、a1v1+a2v2+…+alvl=０を満たす。　　
　　　　　　　　　　　　　　　∵一次従属の定義　
⇒全部は０ではないスカラーa1, a2, …, al が存在して、任意のn次元数ベクトルvl＋1, …, vl＋m　にたいして、
　　　　　　　a1v1+a2v2+…+alvl+０vl＋1+０vl＋2+…+０vl＋m=０　　を満たす。　　
　すなわち、全部は０ではないスカラーa1, a2, …, al と、al＋1＝al＋2＝…＝al＋m＝０と、
　　　　　　　任意のn次元数ベクトルvl＋1, …, vl＋m　にたいして、
　　　　　　　　　　　　　　　a1v1+a2v2+…+alvl+al＋1vl＋1+…+al＋mvl＋m=０　　
　つまり、v1, v2, …, vl, vl＋1, …, vl＋mは一次従属。　



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(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)

線形代数のテキスト
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.3基底と次元(pp.41-9)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、14講ベクトル空間の例と基本概念(pp.88-90)。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.3-a(p.169).
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§2線形空間(p.96):実線形空間･複素線形空間のみ;附録Ⅲ§2体(p.249)。

代数学のテキスト
本部均『新しい数学へのアプローチ5：新しい代数』共立出版、1969年、5.2-Aベクトル空間(p.132)。
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8：環と体の理論』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22)。

数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。