一次写像が単射(1対1写像)・全射であるための条件　：　トピック一覧　

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　　　　　　　　　　　同型写像、同型写像と線形独立　　
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定理：一次写像が単射(1対1写像)であるための必要十分条件―核に関して　

　[永田『理系のための線形代数の基礎』補題1.3.3(p.20)補題1.6.1(p.36)証明付;志賀『線形代数30講』16講(p.101-2);
　　砂田『行列と行列式』§5.3-a補題5.26(p.164)]　

【舞台設定】
K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
V ：K上のベクトル空間　
V' ：K上のベクトル空間　

【本題】

「一次写像f ：V→V'　が単射(1対1写像)である」ための必要十分条件は、
　「fによって０∈V'に写される『Vに属すベクトル』は、０∈Vに限られる」ということ。
すなわち、　　
次の4つの命題は、同値である。
　　命題P：　一次写像f ：V→V'　が単射(1対1写像)である。
　　命題Q：　一次写像f ：V→V'について、「任意のv∈Vに対して、f ( v )=０　⇒　v =０」が成り立つ。　
　　命題R：　一次写像f ：V→V'について、「任意のv∈Vに対して、v ≠０　⇒　f ( v )≠０」が成り立つ。　
　　命題S：　一次写像f ：V→V'　について、Ker f = {０}　
※なぜ？→証明　　
※活用例→「一次写像が単射(1対1写像)であるための必要十分条件―階数に関して」の証明　

定理：一次写像が単射(1対1写像)であるための必要十分条件―階数に関して

　[永田『理系のための線形代数の基礎』系1.6.3(p.37)]　

【舞台設定】
K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
V ：K上のベクトル空間　
V' ：K上のベクトル空間　

【本題】
次の2つの命題は、同値。
　　命題P：　一次写像f ：V→V'　が単射(1対1写像)である。
　　命題Q：　一次写像f の階数と、K上のベクトル空間Vの次元が等しい。　
　　　　　　　　　　　　つまり、rank f =dimV　　

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定理：一次写像が全射であるための必要十分条件

　[永田『理系のための線形代数の基礎』系1.6.3(p.37)]　

【舞台設定】
K：体　（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　　
V ：K上のベクトル空間　
V' ：K上のベクトル空間　

【本題】
次の2つの命題は、同値。
　　命題P：　一次写像f ：V→V'　が単射(1対1写像)である。
　　命題Q：　一次写像f の階数と、K上のベクトル空間V'の次元が等しい。　
　　　　　　　　　　　　つまり、rank f =dimV'　　

(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、16講線形写像(pp.100-105)。
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.3基底と次元(pp.41-50)。
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.3ベクトル空間(pp.14-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§6ベクトル空間の公理化(p.115)。線形従属・独立については、数ベクトルに限定？
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.1線形空間と写像(p.91)。 線形従属・独立については、数ベクトルに限定？
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§2線形空間(p.96):実線形空間･複素線形空間のみ;附録Ⅲ§2体(p.249)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.1(p.159).

代数学のテキスト
本部均『新しい数学へのアプローチ5：新しい代数』共立出版、1969年、5.2-Aベクトル空間(p.132)。
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8：環と体の理論』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22)。:数ページしか触れていないが、逆に、一般の線形空間の理論の骨組みだけを浮かびあがってくるので、何が重要事項なのかを見極める上で便利。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。