定理：一次写像の定義域の基底と、Ker fの基底・Image fの基底
[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.6.4(p.37);斎藤正彦『線形代数入門』４章§4[4.5]§5[5.1](p.116)]
(舞台設定)
K：体 （例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）
V ：K上の有限次元ベクトル空間
V' ：K上の有限次元ベクトル空間
「f ：V→V'」：一次写像
(本題)
「Ker fの基底」に、「Image fの基底のfによる逆像」を付け加えたものは、Vの基底の定義を満たす。
※どういうこと？→定理の置かれた文脈
※なぜ？→証明
※活用例→一次写像の行列表示の標準形の存在の証明
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定理：一次写像の階数と退化次数、定義域の次元の関係
[永田『理系のための線形代数の基礎』定理1.6.2(p.36)証明付;斎藤正彦『線形代数入門』４章§5(p.116);藤原『線形代数』4.2性質5(p.100-101);砂田『行列と行列式』§5.3-d定理5.65(p.180)).]
(舞台設定)
K：体 （例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）
V ：K上の有限次元ベクトル空間
V' ：K上の有限次元ベクトル空間
「f ：V→V'」：一次写像
(本題)
「一次写像f ：V→V'」の階数と退化次数の和は、Vの次元に等しい。
すなわち、 dimV＝rank f ＋dim(Ker f)
このことはもちろん、次のように言換えられる。
「一次写像f ：V→V'」の階数は、Vの次元と「一次写像f ：V→V'」の退化次数の差である。 、
すなわち、 rank f ＝dimV－dim(Ker f)
※なぜ？→証明
※活用例→一次写像の行列表示の標準形の存在の証明
(reference)
確認済み
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.6ベクトル空間(pp.36-7)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第４章§5線形写像とくに線形変換(pp.113-9)。
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、4.2線形空間と写像(p.100-101)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§5.3-d(p.179);§5.5-d(p.194).
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、Ⅲベクトル空間§4一次写像の階数(ただし数ベクトル空間において)§7底の変換、直交変換。
未確認
日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目210線形空間(pp.570-576)
線形代数のテキスト
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、16講線形写像(pp.100-105)。
ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、2.3基底と次元(pp.41-50)。
代数学のテキスト
本部均『新しい数学へのアプローチ5：新しい代数』共立出版、1969年、5.2-Aベクトル空間(p.132)。
酒井文雄『共立講座21世紀の数学8：環と体の理論』共立出版、1997年、1.6ベクトル空間(p.22)。:数ページしか触れていないが、逆に、一般の線形空間の理論の骨組みだけを浮かびあがってくるので、何が重要事項なのかを見極める上で便利。
数理経済学のテキスト
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、§3.1ベクトル空間とは何か(p.105)。
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