数列の収束の十分条件 ： 単調有界数列の収束定理　
(1)

上に有界な広義単調増加列は、その上限に収束する。
つまり、


　数列{an}が上に有界な広義単調増加列ならば、  lim
 an＝ sup  an  　
n→∞
もっと言うと、


　（∃ M∈R）(a1≦a2≦a3≦…≦an≦…≦M) ⇒  lim
 an＝ sup  an  　
n→∞
※なぜ？→証明
※予備知識：上に有界な数列には、つねに、上限が存在する　　
　→杉浦『解析入門I』I-§3-定理3.1 (p.17);
　　青本『微分と積分1』§1.3(b)命題1.24(p.19);p.20中間;
　　黒田『微分積分学』§2.6.1定理2.13(pp.55-6)
　
(2)

下に有界な広義単調減少列は、その下限に収束する。

つまり、


　数列{an}が下に有界な広義単調減少列ならば、  lim
 an＝ inf  an  　
n→∞
もっと言うと、


　（∃ M∈R）(a1≧a2≧a3≧…≧an≧…≧M) ⇒  lim
 an＝ inf  an  　
n→∞
※なぜ？→証明
※予備知識：下に有界な数列には、つねに、下限が存在する　　
　→杉浦『解析入門I』I-§3-定理3.1 (p.17);
　　青本『微分と積分1』§1.3(b)命題1.24(p.19);p.20中間;
　　黒田『微分積分学』§2.6.1定理2.13(pp.55-6)

(3)

　有界な広義単調列は収束列である。　　　　
　　　　（単調でない有界な数列については、収束するかどうか、わからない）
　→笠原『微分積分学』1.2定理1.10(p.13)
※なぜ？→上記の(1)(2)より。

(4)

上に有界でない広義単調増加列は、＋∞に発散する。
つまり、


　数列{an}が上に有界でない広義単調増加列ならば、  lim
 an＝ ＋∞  　
n→∞

　　　[杉浦『解析入門I』I-§3定義2-3.5(p.19):+∞の定義より]

(5)

　下に有界でない広義単調減少列は、−∞に発散する。
　つまり、


　数列{an}が上に有界でない広義単調増加列ならば、  lim
 an＝ −∞  　
n→∞

　　　[杉浦『解析入門I』I-§3定義2-3.5(p.19)]




[文献−実数の連続性まで見通したスケールの大きな説明]
　・赤攝也『実数論講義』§５.4公理6-3(p.１２9):(1)証明付;公理6-3'(p.１２9):(2)証明略;
　　　p.130,pp.133-4では、
　　　「実数のデデキントの連続性公理」⇔「ワイエルストラスの実数の連続性公理」⇔「有界単調数列の収束定理」
　　　　⇔「アルキメデスの公理+区間縮小法の原理」
　　　が指摘。
　　　p.129:「ワイエルストラスの実数の連続性公理」⇒「有界単調数列の収束定理」
　　　pp.133-１42：「有界単調数列の収束定理」⇒「アルキメデスの公理+区間縮小法の原理」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇒「実数のデデキントの連続性公理」
　　　
　・神谷・浦井『経済学のための数学入門』定理2.2.2(p.71.) :(1)(2)(3)すべてワイエルストラス連続性公理から証明。
　　注意2.2.1(p.76)で
　　「ワイエルストラスの実数の連続性公理」⇔「有界単調数列の収束定理」⇔「アルキメデスの公理+区間縮小法の原理」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇔「アルキメデスの公理+ボルツァノワイエルストラス」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇔「アルキメデスの公理+コーシー列の収束」
　　等を指摘。証明は略。
　・杉浦『解析入門I』I-§3-定理3.1(p.17)→R17実数の連続公理(p.7):(1)(2)証明付;I-§3定義2-3.5(p.19):(4)(5)
　　　　1章§3冒頭(p.17)注意4(p.27)で、
　　　　　　　　　　ワイヤストラス⇒有界単調増加数列の収束⇒「アルキメデス＋区間縮小法」
　　　　　　　　　　　　⇒ボルツァノ・ワイヤストラス⇒「アルキメデス＋コーシー収束条件」⇒ワイヤストラス
　　　　を提示。
　・斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』2.5.8定理(pp.55-58)：
　　　順序体一般において
　　　　「ワイエルストラスの連続性公理」「有界単調数列の収束定理」「コーシー完備＋アルキメデスの公理」
　　　が同値であることを証明。
　　　これら同値な条件を備えた順序体として実数体を定義[2.5.13(p.59)]、
　　　これらの同値な条件を実数の連続性と呼ぶ。

　・黒田『微分積分学』§2.6.1定理2.13(pp.55-6):(1)(2)。(1)の証明付。
　・松坂『解析入門1』2.2-B単調有界数列の収束定理(p.69):(1)(2)。(1)のみ証明付。
　・岡田『経済学・経営学のための数学』定理1.4(pp.9-11)

　（参考として）
　・細井『はじめて学ぶイプシロン・デルタ』定理16.9(p.173):(1)実数の連続性公理からの証明付
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(ただし実数がデデキントの切断として定義されている。);
　　　　　　　　　　　　　　　　　　系16.10(p.174):(2)証明略


　・青本『微分と積分1』§1.3(b)命題1.24(p.19)：(1)(3):これを実数の連続性公理として提示。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ここから、　上に有界な数列には、つねに、上限が存在するを導出。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　実数の連続性の説明：例(5)(p.2)→§1.3(pp.17-19):有理数列の極限としての実数。
　・志賀『解析入門30講』第2講(pp.10-11;13):単調有界数列の収束定理を定理ではなく「実数の連続性の公理」として提示。
 　　　　　　　　p.11実数の十進小数展開との関連。
　　　　　　　　　pp.13-14：単調有界数列の収束定理⇒区間縮小法


[文献−実数の連続性まで見通さないスケールの小さい説明]

　・小平『解析入門I』§1.5-b 定理1.20(p.37):(1)(2).証明は(1)のみ。
　・笠原『微分積分学』1.2定理1.10(p.13):(3)。証明は(1)。小平と同じ？
　・和達『微分積分』7章2節有界な単調数列(pp.173-174).証明なし
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』定理4(p.10.)
　





cf.　定理：収束する数列は（数の集合として）有界である。　　
　　　　ボルツァノ・ワイエルストラスの定理　　
※活用例：有理数指数の累乗の大小関係/

 
→[戻る]



(1)の証明





　　右の文献参照。




[文献−実数の連続性まで見通したスケールの大きな説明]
　・赤攝也『実数論講義』§５.4公理6-3(p.１２9):(1)証明付;公理6-3'(p.１２9):(2)証明略;
　　　p.130,pp.133-4では、
　　　「実数のデデキントの連続性公理」⇔「ワイエルストラスの実数の連続性公理」⇔「有界単調数列の収束定理」
　　　　⇔「アルキメデスの公理+区間縮小法の原理」
　　　が指摘。
　　　p.129:「ワイエルストラスの実数の連続性公理」⇒「有界単調数列の収束定理」
　　　pp.133-１42：「有界単調数列の収束定理」⇒「アルキメデスの公理+区間縮小法の原理」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇒「実数のデデキントの連続性公理」
　　　
　・神谷・浦井『経済学のための数学入門』定理2.2.2(p.71.) :(1)(2)(3)すべてワイエルストラス連続性公理から証明。
　　注意2.2.1(p.76)で
　　「ワイエルストラスの実数の連続性公理」⇔「有界単調数列の収束定理」⇔「アルキメデスの公理+区間縮小法の原理」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇔「アルキメデスの公理+ボルツァノワイエルストラス」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇔「アルキメデスの公理+コーシー列の収束」
　　等を指摘。証明は略。
　・杉浦『解析入門I』I-§3-定理3.1(p.17)→R17実数の連続公理(p.7):(1)(2)証明付;I-§3定義2-3.5(p.19):(4)(5)
　　　　1章§3冒頭(p.17)注意4(p.27)で、
　　　　　　　　　　ワイヤストラス⇒有界単調増加数列の収束⇒「アルキメデス＋区間縮小法」
　　　　　　　　　　　　⇒ボルツァノ・ワイヤストラス⇒「アルキメデス＋コーシー収束条件」⇒ワイヤストラス
　　　　を提示。
　・斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』2.5.8定理(pp.55-58)：
　　　順序体一般において
　　　　「ワイエルストラスの連続性公理」「有界単調数列の収束定理」「コーシー完備＋アルキメデスの公理」
　　　が同値であることを証明。
　　　これら同値な条件を備えた順序体として実数体を定義[2.5.13(p.59)]、
　　　これらの同値な条件を実数の連続性と呼ぶ。

　・黒田『微分積分学』§2.6.1定理2.13(pp.55-6):(1)(2)。(1)の証明付。
　・松坂『解析入門1』2.2-B単調有界数列の収束定理(p.69):(1)(2)。(1)のみ証明付。
　・岡田『経済学・経営学のための数学』定理1.4(pp.9-11)

　（参考として）
　・細井『はじめて学ぶイプシロン・デルタ』定理16.9(p.173):(1)実数の連続性公理からの証明付
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(ただし実数がデデキントの切断として定義されている。);
　　　　　　　　　　　　　　　　　　系16.10(p.174):(2)証明略


　・青本『微分と積分1』§1.3(b)命題1.24(p.19)：(1)(3):これを実数の連続性公理として提示。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ここから、　上に有界な数列には、つねに、上限が存在するを導出。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　実数の連続性の説明：例(5)(p.2)→§1.3(pp.17-19):有理数列の極限としての実数。
　・志賀『解析入門30講』第2講(pp.10-11;13):単調有界数列の収束定理を定理ではなく「実数の連続性の公理」として提示。
 　　　　　　　　p.11実数の十進小数展開との関連。
　　　　　　　　　pp.13-14：単調有界数列の収束定理⇒区間縮小法


[文献−実数の連続性まで見通さないスケールの小さい説明]

　・小平『解析入門I』§1.5-b 定理1.20(p.37):(1)(2).証明は(1)のみ。
　・笠原『微分積分学』1.2定理1.10(p.13):(3)。証明は(1)。小平と同じ？
　・和達『微分積分』7章2節有界な単調数列(pp.173-174).証明なし
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』定理4(p.10.)
　





cf.　定理：収束する数列は（数の集合として）有界である。　　
　　　　ボルツァノ・ワイエルストラスの定理　　
※活用例：有理数指数の累乗の大小関係/


→[戻る]




(2)の証明


　　右の文献参照




[文献−実数の連続性まで見通したスケールの大きな説明]
　・赤攝也『実数論講義』§５.4公理6-3(p.１２9):(1)証明付;公理6-3'(p.１２9):(2)証明略;
　　　p.130,pp.133-4では、
　　　「実数のデデキントの連続性公理」⇔「ワイエルストラスの実数の連続性公理」⇔「有界単調数列の収束定理」
　　　　⇔「アルキメデスの公理+区間縮小法の原理」
　　　が指摘。
　　　p.129:「ワイエルストラスの実数の連続性公理」⇒「有界単調数列の収束定理」
　　　pp.133-１42：「有界単調数列の収束定理」⇒「アルキメデスの公理+区間縮小法の原理」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇒「実数のデデキントの連続性公理」
　　　
　・神谷・浦井『経済学のための数学入門』定理2.2.2(p.71.) :(1)(2)(3)すべてワイエルストラス連続性公理から証明。
　　注意2.2.1(p.76)で
　　「ワイエルストラスの実数の連続性公理」⇔「有界単調数列の収束定理」⇔「アルキメデスの公理+区間縮小法の原理」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇔「アルキメデスの公理+ボルツァノワイエルストラス」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇔「アルキメデスの公理+コーシー列の収束」
　　等を指摘。証明は略。
　・杉浦『解析入門I』I-§3-定理3.1(p.17)→R17実数の連続公理(p.7):(1)(2)証明付;I-§3定義2-3.5(p.19):(4)(5)
　　　　1章§3冒頭(p.17)注意4(p.27)で、
　　　　　　　　　　ワイヤストラス⇒有界単調増加数列の収束⇒「アルキメデス＋区間縮小法」
　　　　　　　　　　　　⇒ボルツァノ・ワイヤストラス⇒「アルキメデス＋コーシー収束条件」⇒ワイヤストラス
　　　　を提示。
　・斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』2.5.8定理(pp.55-58)：
　　　順序体一般において
　　　　「ワイエルストラスの連続性公理」「有界単調数列の収束定理」「コーシー完備＋アルキメデスの公理」
　　　が同値であることを証明。
　　　これら同値な条件を備えた順序体として実数体を定義[2.5.13(p.59)]、
　　　これらの同値な条件を実数の連続性と呼ぶ。

　・黒田『微分積分学』§2.6.1定理2.13(pp.55-6):(1)(2)。(1)の証明付。
　・松坂『解析入門1』2.2-B単調有界数列の収束定理(p.69):(1)(2)。(1)のみ証明付。
　・岡田『経済学・経営学のための数学』定理1.4(pp.9-11)

　（参考として）
　・細井『はじめて学ぶイプシロン・デルタ』定理16.9(p.173):(1)実数の連続性公理からの証明付
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(ただし実数がデデキントの切断として定義されている。);
　　　　　　　　　　　　　　　　　　系16.10(p.174):(2)証明略


　・青本『微分と積分1』§1.3(b)命題1.24(p.19)：(1)(3):これを実数の連続性公理として提示。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ここから、　上に有界な数列には、つねに、上限が存在するを導出。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　実数の連続性の説明：例(5)(p.2)→§1.3(pp.17-19):有理数列の極限としての実数。
　・志賀『解析入門30講』第2講(pp.10-11;13):単調有界数列の収束定理を定理ではなく「実数の連続性の公理」として提示。
 　　　　　　　　p.11実数の十進小数展開との関連。
　　　　　　　　　pp.13-14：単調有界数列の収束定理⇒区間縮小法


[文献−実数の連続性まで見通さないスケールの小さい説明]

　・小平『解析入門I』§1.5-b 定理1.20(p.37):(1)(2).証明は(1)のみ。
　・笠原『微分積分学』1.2定理1.10(p.13):(3)。証明は(1)。小平と同じ？
　・和達『微分積分』7章2節有界な単調数列(pp.173-174).証明なし
　・吹田・新保『理工系の微分積分学』定理4(p.10.)
　





cf.　定理：収束する数列は（数の集合として）有界である。　　
　　　　ボルツァノ・ワイエルストラスの定理　　
※活用例：有理数指数の累乗の大小関係/




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実数体における「有界単調数列の収束定理」の位置づけ

　・「有界単調数列の収束定理」は、実数の連続性公理と同値。
　　つまり、実数の連続性公理の言い換えにすぎない。

実数体における「有界単調数列の収束定理」の位置づけの証明

　・「順序体の公理＋有界単調増加列の収束定理」⇒「アルキメデス」＋「区間縮小法」の証明

　・「






cf.　定理：収束する数列は（数の集合として）有界である。　　
　　　　ボルツァノ・ワイエルストラスの定理　　
※活用例：有理数指数の累乗の大小関係/








　「順序体の公理＋有界単調増加列の収束定理」⇒「アルキメデス＋区間縮小法」の証明






　「順序体の公理＋有界単調増加列の収束定理」⇒の証明



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