実数体における「Bolzano-Weierstrassの定理」の証明
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{ an }を有界 ―すなわち上にも下にも有界― とする。
ここから、
実数の連続性公理 および
定理「Rの下に有界な任意の空でない部分集合は、必ず最大下界(下限)をもつ」
より、
{ an }には、最小上界(上限) p1と最大下界（下限）q1が存在する。
つまり、
p1≦an≦q1
I1=[p1, q1]とする。
I1を中点で分け、{ an }の項を無限個含むほうを、I2=[p2, q2]とする。
（両方とも無限個含むときは、どちらでもよい）
I2を中点で分け、{ an }の項を無限個含むほうを、I3=[p3, q3]とする。
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In‐1を中点で分け、{ an }の項を無限個含むほうを、In=[pn, qn]とする。
以上の操作から、
I1⊃ I2⊃ I3⊃…
p1≦ p2≦ p3≦…≦pn≦…≦qn≦…≦q3≦q2≦q1
{ pn },{ qn }は有界な単調数列。ゆえに、定理「有界な単調数列は収束する」より、
{ pn },{ qn } は収束する。 pn→α, qn→β ( n→∞ )とおく。
「区間Inの長さ」 =「区間In‐1の長さ」/2
すなわち、( qn− pn )=( qn‐1− pn‐1 )/2 としたことより、
( qn− pn )=(q1−p1)/2n−1
∴ qn− pn→0 ∵1/n→0（n→∞）、liman=αとすると、limcan= c liman
よって、β−α＝０ すなわち、α＝β
an1∈I1を任意にとる。I2は無限個の項を含むから、an2∈I2となるn2＞n1がある。(本当？)
これを続けて、ank∈Ikを満たすn1＜n2＜n3＜…がとれる。(本当？)
pk≦ ank ≦ qk で
pk , qk→αであるから、 ank→α ( k → ∞ ) となり、
収束する部分列
を得る。
(吹田・新保『理工系の微分積分学』p.11.定理5)
(神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』定理2.2.3(pp.72-4)
笠原『微分積分学』1.2定理1.14(p.15)
黒田『微分積分学』§2.6.2定理2.14(pp.57-8)
| 以下、証明の議論の進め方で分類。 [文献−実数の連続性まで見通したスケールの大きな説明] ・赤攝也『実数論講義』§５.4公理6-5(pp.１44-150):「アルキメデス＋区間縮小法」⇒「ボルツァノ・ワイヤストラス」の証明; ・杉浦『解析入門I』I-§3-定理3.4(p.24)「アルキメデス＋区間縮小法」⇒ボルツァノ・ワイヤストラス 定理3.6(pp.26-7)⇒ボルツァノ・ワイヤストラス⇒「アルキメデス＋コーシー収束条件」 ・黒田『微分積分学』§2.6.1定理2.14(pp.57-8):証明付。コンパクト性。 ・矢野『距離空間と位相構造』4.1閉区間は点列コンパクト(p.128);定理A.17B-Wの定理(p.243):証明付; ・神谷・浦井『経済学のための数学入門』定理2.2.3(pp.71-4) :証明付 [文献−実数の連続性まで見通さないスケールの小さい説明] ・吹田・新保『理工系の微分積分学』定理5(p.11.):証明付。1章§2-V-集積点(p.16):集積点の概念をつかった表現。 ・笠原『微分積分学』1.2定理1.14(p.15):証明付(区間2等分 ・細井『はじめて学ぶイプシロン・デルタ』演習問題16-2(p.177)「閉区間のなかで定義された無限数列は」;解答(p.213):区間2分 ・永倉･宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』3.2.6-iii(p.106) ・小平『解析入門I』§1.6-e 定理1.30(p.65):平面上の点列について。証明付(ハイネボレルの被覆定理から)。 ・De La Fuente, Mathematical Methods and Models for Economists, Theorem3.3(p.52) [文献−Bolzano-Weierstrassの定理についての記述がみあたらない] ・加藤『微分積分学原論』 ・松坂『解析入門1』ない。コンパクトの話は、第三巻。 ・和達『微分積分』 ・青本『微分と積分1』 |
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cf. 定理：収束する数列は（数の集合として）有界である。
ボルツァノ・ワイエルストラスの定理
※活用例：有理数指数の累乗の大小関係/