数列についてのコーシーの収束条件/コーシーの判定条件、Rのコーシー完備性

数列についてのコーシーの収束条件/コーシーの判定条件

→「数列についてのコーシーの収束条件・判定条件」－内容
→「数列についてのコーシーの収束条件・判定条件」－証明
→実数の公理における「コーシーの収束条件」の位置
→実数の公理における「コーシーの収束条件」の位置の証明
→[トピック一覧：数列の極限の性質]
→総目次

定義：コーシー列 Cauchy seauence, 基本列 fundamental sequence

直感的な定義

・「数列 { a_n } はコーシー列 である」「数列 { a_n } は基本列である」とは、
　数列 { a_n } の「項の番号」nが大きくなるにつれて、
　数列 { a_n } の各項が次第に密集していくことをいう。[→志賀]

厳密な定義の主旨

　※概念「コーシー列」の活用上の意義　
　　「数列{a_n}がaに収束する」という条件は、(1){a_n}は収束する、(2)その極限値はaである、という二つの部分に分けられるが、
　　 (2)の極限値を求めることが面倒な数列について、とりあえず、 (1)の収束だけを示したいときがある。
　　　そんなとき、(2)極限値を表に出さずに数列の収束のみを示せる条件があると便利。
　　　それが、「コーシー列」。「コーシー列」であることは、数列が収束する必要十分条件だが、極限値についてまったく触れないですむ。
　※概念「コーシー列」の理論上の意義
　　　コーシーの収束条件とアルキメデスの原理をあわせると、実数の連続性公理と同値となる。つまり、コーシーの収束条件は、「実数の定義」の本質的要素の一表現。

・「数列 { a_n } はコーシー列 Cauchy sequenceである」　「数列 { a_n } は基本列 fundamental sequence である」とは、
　　「数列{a_n}の項どおしの距離の目標」εをどのような『正の実数値』に指定しようとも、
　　　　その「項どおしの距離の目標」εに応じて、数列 {a_n}のはじめの有限N個の項を選んで、これを無視することにすれば、
　　　　　　　「(N+1)番目の項」に後続する任意の二項間の実際の距離を、「項どおしの距離の目標」ε以下に収めることができる
　ということ。　　[笠原『微分積分学』;『岩波数学辞典』]

厳密な定義の正確な表現

・「数列 { a_n } はコーシー列 Cauchy sequenceである」
　「数列 { a_n }は基本列 fundamental sequence である」
　とは、
　数列 { a_n } において、
　任意の（どんな小さな）正の実数εに対して（でも）、
　　　　　　　　（つまり、εを1でも、0.1でも、0.00…001まで狭めても）
　ある（十分大きな）自然数Nが存在して、
　　　　　　「　m,n≧Nならば、　| a_m－a_n |＜ε　」
　　すなわち、「　m,n≧Nならば、　－ε＜ a_m－a_n＜＋ε　」
　を満たす
　ということ。
　論理記号で表すと、
　　(∀ε>0) (∃N∈N) (∀m,n∈N) ( m,n≧N⇒ | a_m－a_n |＜ε)

記号

・「数列 { a_n } はコーシー列 Cauchy sequenceである」
　「数列 { a_n }は基本列 fundamental sequence である」
　ということを、
　以下の記号で表すことがある。


lim	( a_m － a_n )＝0	[→杉浦;黒田;青本]
^m,n→∞

　　 a_m － a_n → ０ (m,n→∞) 　　　[→吹田・新保]


	[文献] 　・『岩波数学辞典』156B-5(p.418):やや文章化　・杉浦『解析入門I』I-§3-定義5(p.25):論理記号。表す極限風の記号。命題3.5で有界性。　・志賀『解析入門30講』第３講(p.21):文章化　・笠原『微分積分学』1.2定義1.12(p.14）:文章化　・黒田『微分積分学』§2.6.3定義2.8(p.62):表す極限風の記号。　・青本『微分と積分1』§1.3(c)定義1.31(p.23) :表す極限風の記号で定義。ユニーク。　・吹田・新保『理工系の微分積分学』定理６(p.12.):表す極限風の記号(注)。　・斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』定義2.5.4コーシー列;定義2.5.6コーシー完備;(p.54):実数の連続性公理との関連。　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』3.2.7(p.107):有価異性も指摘。　・赤攝也『実数論講義』§５.8定義5.8.1(p.１54); 　・松坂『解析入門1』2.1数列-F-定義(p.76) 　・小平『解析入門I』§1.4-b 定理1.13(p.24):「Cauthyの判定法」として。「Cauthy列」「基本列」は出ない。　・細井『はじめて学ぶイプシロン・デルタ』定義17.1(p.180):こなれた日本語にはしていない。; 　・神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』定義2.2.6(p.74)　　・岡田『経済学・経営学のための数学』定理1.６(pp.11-12):証明付

→数列についての「コーシー列」の定義
→「数列についてのコーシーの収束条件・判定条件」－内容
→「数列についてのコーシーの収束条件・判定条件」－証明
→実数の公理における「数列についてのコーシーの収束条件・判定条件」の位置
→実数の公理における「数列についてのコーシーの収束条件・判定条件」の位置の証明
→[トピック一覧：数列の極限の性質]
→総目次

数列の収束の必要十分条件：コーシーCauchyの判定法、コーシーの収束条件、コーシー完備性

「数列についてのコーシーの収束条件・判定条件」－内容

・数列 { a_n }が収束するための必要十分条件は、
　数列 { a_n }がコーシー列であること。

　つまり、
　　　・命題P「実数の数列 { a_n }は収束列」⇒命題Q「実数の数列 { a_n }はコーシー列」
　　　・命題Q「実数の数列 { a_n }はコーシー列」⇒命題P「実数の数列 { a_n }は収束列」
　がともに成立する。

・「実数体Rはコーシー完備である」とは、

　　実数体Rの性質として、

　　　　命題Q「実数の数列 { a_n }はコーシー列」⇒命題P「実数の数列 { a_n }は収束列」

　　が成り立つという事実を指す。[→斎藤]。

　　
※命題P「実数の数列 { a_n }は収束列」⇒命題Q「実数の数列 { a_n }はコーシー列」
　　が成立すると言えるのは、なぜ？→証明　

※命題Q「実数の数列 { a_n }はコーシー列」⇒命題P「実数の数列 { a_n }は収束列」　
　　が成立すると言えるのは、なぜ？→証明　

※赤攝也『実数論講義』は、

　　　　命題Q「実数の数列 { a_n }はコーシー列」⇒命題P「実数の数列 { a_n }は収束列」

　を「カントルの公理」と呼ぶが、これは一般的なのか？　　

→実数の公理における「数列についてのコーシーの収束条件・判定条件」の位置
→実数の公理における「数列についてのコーシーの収束条件・判定条件」の位置の証明

※活用例：関数の極限についてのコーシーCauchyの判定法、


	[文献] 　・『岩波数学辞典』156B-5(p.418) 　・杉浦『解析入門I』：定理3.6(pp.26-27):注意3で順序体一般で成立するのは「収束列⇒コーシー列」だけで、　　　　　　　　逆は順序体一般では成立しない、よって、有理数のコーシー列の極限は有理数体のなかには存在しない、と指摘。　・斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』定義2.5.4コーシー列;定義2.5.6コーシー完備;(p.54):実数の連続性公理との関連。　　　　「収束列⇒コーシー列」は順序体一般(たとえば、実数体、有理数体)で成立するが、　　　　「コーシー列⇒コーシー列」のほうは、成立する順序体（たとえば実数体）と成立しない順序体（たとえば有理数体）に分かれる。　　　　「コーシー列⇒コーシー列」の成立する順序体を、「コーシー完備な順序体」と呼ぶ。　　　　順序完備（ワイヤストラスの公理が成立する）な順序体ならば、コーシー完備な順序体であるが、　　　　コーシー完備な順序体は、順序完備でないものと順序完備であるものに分かれる。　　　　コーシー完備であることに加えて、アルキメデスの公理を満たす順序体となって初めて、　　　　順序完備な順序体になる[定理2.5.8(p.55)]。　・赤『実数論講義』§５.8定理5.8.1(p.１54):P⇒Q.収束の定義からの証明;カントルの公理(pp.155-6):Q⇒P.B-Wからの証明　・笠原『微分積分学』1.2定理1.13(p.14）　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』3.2.9(p.107) 　・細井『はじめて学ぶイプシロン・デルタ』定理17.2(p.180);定理17.4(p.181) 　・小平『解析入門I』§1.4-b 定理1.13(p.24):「Cauthyの判定法」　・松坂『解析入門1』2.1数列-F-定理6(p.76) 　・青本『微分と積分1』§1.3(c)命題1.32(p.23);定理1.33(p.23) 　・黒田『微分積分学』§2.6.3定理2.16(p.62) 　・神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』定理2.2.4(p.74-5) 　・吹田・新保『理工系の微分積分学』定理６(p.12.):証明付。　・岡田『経済学・経営学のための数学』定理1.６(pp.11-12):証明付　・志賀『解析入門30講』第３講(pp.21-22):証明つき

【証明】命題P「実数の数列{a_n}は収束列」⇒命題Q「実数の数列{a_n}はコーシー列」　

　　　a_n→α（n→∞）なら、a_nがコーシー列であることを示す。
　　　a_n→α（n→∞）とは
　　　すなわち、　
　　　任意の（どんな小さな）ε＞0に対して（でも）、　…①
　　　　| a_n －α|＜ε／2　(n≧N )　　　　　　　　　　…②
　　　　　　を満たす自然数Nが存在する、
　　　ということ。（収束の定義から）
　　　
　　　m,n≧N　に対して　　　　
　　　　| a_m －a_n |=| ( a_m －α)＋(α－a_n )|　　
　　　　　　　　　≦| a_m －α|＋|α－a_n|　　　∵|x+y|≦|x|+|y|　　
　　　　　　　　　＜ε/2＋ε/2＝ε　　　　　　　∵②
　　　つまり、任意の（どんな小さな）ε＞0に対して（でも）、　∵①　
　　　| a_m －a_n |＜ε　（　m,n≧N　）　
　　　が成り立つ。
　　　これは、コーシー列の定義そのもの。
　　　ゆえに、数列

はコーシー列。
　　　　　　　　　　　(吹田・新保『理工系の微分積分学』p.12.定理6)
　　　　　　　　　　　(神谷・浦井『経済学のための数学入門』pp.74-75.)


	以下を分類 [文献] 　・『岩波数学辞典』156B-5(p.418) 　・杉浦『解析入門I』：定理3.6(pp.26-27):注意3で順序体一般で成立するのは「収束列⇒コーシー列」だけで、　　　　　　　　逆は順序体一般では成立しない、よって、有理数のコーシー列の極限は有理数体のなかには存在しない、と指摘。　・斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』定義2.5.4コーシー列;定義2.5.6コーシー完備;(p.54):実数の連続性公理との関連。　　　　「収束列⇒コーシー列」は順序体一般(たとえば、実数体、有理数体)で成立するが、　　　　「コーシー列⇒コーシー列」のほうは、成立する順序体（たとえば実数体）と成立しない順序体（たとえば有理数体）に分かれる。　　　　「コーシー列⇒コーシー列」の成立する順序体を、「コーシー完備な順序体」と呼ぶ。　　　　順序完備（ワイヤストラスの公理が成立する）な順序体ならば、コーシー完備な順序体であるが、　　　　コーシー完備な順序体は、順序完備でないものと順序完備であるものに分かれる。　　　　コーシー完備であることに加えて、アルキメデスの公理を満たす順序体となって初めて、　　　　順序完備な順序体になる[定理2.5.8(p.55)]。　・赤『実数論講義』§５.8定理5.8.1(p.１54):P⇒Q.収束の定義からの証明;カントルの公理(pp.155-6):Q⇒P.B-Wからの証明　・笠原『微分積分学』1.2定理1.13(p.14）　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』3.2.9(p.107) 　・細井『はじめて学ぶイプシロン・デルタ』定理17.2(p.180);定理17.4(p.181) 　・小平『解析入門I』§1.4-b 定理1.13(p.24):「Cauthyの判定法」　・松坂『解析入門1』2.1数列-F-定理6(p.76) 　・青本『微分と積分1』§1.3(c)命題1.32(p.23);定理1.33(p.23) 　・黒田『微分積分学』§2.6.3定理2.16(p.62) 　・神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』定理2.2.4(p.74-5) 　・吹田・新保『理工系の微分積分学』定理６(p.12.):証明付。　・岡田『経済学・経営学のための数学』定理1.６(pp.11-12):証明付　・志賀『解析入門30講』第３講(pp.21-22):証明つき

【証明】命題Q「実数の数列{a_n}はコーシー列」⇒命題P「実数の数列{a_n}は収束列」

　
　　　a_nをコーシー列であるとする。
　　　定義よりすなわち、
　　　　任意の正数εに対して、ある番号Nをとると、
　　　　Ｎ以上のすべての自然数m,nについて、
　　　　　|a_m －a_n|＜ε　（　m,n≧N　）　
　　　　が成り立つ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　…①
　　　[コーシー列は有界]
　　　①よりＮ以上のすべての自然数nに対して、
　　　|a_N－a_n|＜ε　（　n≧Nを満たす任意のn　）
　　　が成り立つ。
　　　ゆえに、
　　　－ε＜a_N－a_n＜ε
　　　a_N－ε＜a_n　,a_n＜a_N＋ε
　　　∴a_N－ε＜a_n＜a_N＋ε
　　　つまり(a_N ＋ε)は数列{ a_n| n≧N }の上界、
　　　　　　(a_N －ε)は数列{ a_n| n≧N }の下界であって、
　　　{ a_n| n≧N }は有界。
　　　{ a_n }はこれに有限個(N－１)の要素を付け加えただけの集合なので、
　　　（上界・下界は多少かわったにしても）やはり有界となる。　…②
　　　[コーシー列は収束部分列を含む]
　　　②より、ボルツァノ・ワイエルストラス(Bolzano-Weierstrass)の定理が適用され、
　　　有界な数列{ a_n }は収束部分列を含む。
　　　この部分列を
　　　　　　

　　　とし、αに収束するとする。
　　　すなわち、
　　　任意の（どんな小さな）ε＞0に対して（でも）、　
　　　　| a_nk －α|＜ε／2　(nk≧N₂ )　　　　　　　　　　…③
　　　　　　を満たす自然数N₂が存在する、
　　　ということ。（収束の定義から）
①より、
　　　任意の正数εに対して、ある番号N1をとると、
　　　　Ｎ1以上のすべての自然数m,nについて、
　　　　　|a_m －a_n|＜ε/2　（　m,n≧N₁　）　
　　　　が成り立つ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　…④
　　　max{ N₁, N₂}以上の任意のm, n_kについて、　　　
　　　|a_m－α|＝|a_m－a_nk＋a_nk－α|　　（m, n_k≧ max{ N₁, N₂ }　）　　
　　　　　　　≦|a_m－a_nk|＋|a_nk－α|　　（m, n_k≧ max{ N₁, N₂}　）　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵絶対値の性質　|x+y|≦|x|+|y|
　　　　　　　＜ε/2＋ε/2＝ε　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵③④　
　　　つまり、任意の正数εに対して、③④から決まるmax{N₁, N₂}以上の任意のmについて、
　　　　　|a_m－α|＜ε　　　（　m≧ max{N₁, N₂}　）　　
　　　数列の収束の定義より、
　　　{ a_n }は「収束部分列の極限」αに収束するといえる。


	以下を、分類。 [文献] 　・『岩波数学辞典』156B-5(p.418) 　・杉浦『解析入門I』：定理3.6(pp.26-27):注意3で順序体一般で成立するのは「収束列⇒コーシー列」だけで、　　　　　　　　逆は順序体一般では成立しない、よって、有理数のコーシー列の極限は有理数体のなかには存在しない、と指摘。　・斎藤『数学の基礎：集合・数・位相』定義2.5.4コーシー列;定義2.5.6コーシー完備;(p.54):実数の連続性公理との関連。　　　　「収束列⇒コーシー列」は順序体一般(たとえば、実数体、有理数体)で成立するが、　　　　「コーシー列⇒コーシー列」のほうは、成立する順序体（たとえば実数体）と成立しない順序体（たとえば有理数体）に分かれる。　　　　「コーシー列⇒コーシー列」の成立する順序体を、「コーシー完備な順序体」と呼ぶ。　　　　順序完備（ワイヤストラスの公理が成立する）な順序体ならば、コーシー完備な順序体であるが、　　　　コーシー完備な順序体は、順序完備でないものと順序完備であるものに分かれる。　　　　コーシー完備であることに加えて、アルキメデスの公理を満たす順序体となって初めて、　　　　順序完備な順序体になる[定理2.5.8(p.55)]。　・赤『実数論講義』§５.8定理5.8.1(p.１54):P⇒Q.収束の定義からの証明;カントルの公理(pp.155-6):Q⇒P.B-Wからの証明　・笠原『微分積分学』1.2定理1.13(p.14）　・永倉･宮岡『解析演習ハンドブック[1変数関数編]』3.2.9(p.107) 　・細井『はじめて学ぶイプシロン・デルタ』定理17.2(p.180);定理17.4(p.181) 　・小平『解析入門I』§1.4-b 定理1.13(p.24):「Cauthyの判定法」　・松坂『解析入門1』2.1数列-F-定理6(p.76) 　・青本『微分と積分1』§1.3(c)命題1.32(p.23);定理1.33(p.23) 　・黒田『微分積分学』§2.6.3定理2.16(p.62) 　・神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』定理2.2.4(p.74-5) 　・吹田・新保『理工系の微分積分学』定理６(p.12.):証明付。　・岡田『経済学・経営学のための数学』定理1.６(pp.11-12):証明付　・志賀『解析入門30講』第３講(pp.21-22):証明つき

実数の公理における「数列についてのコーシーの収束条件・判定条件」の位置

s

・コーシー完備性とは、順序体において、
　　　　　数列収束のための必要十分条件が、コーシー列の収束となっていることをいう。
　実数体は、上記の通り、これが満たされた順序体であるので、
　実数体は、コーシー完備である。
　

　・
　・・「『アルキメデス＋コーシー収束条件』で、実数の連続性公理と同値となる。

実数の公理における「数列についてのコーシーの収束条件・判定条件」の位置の証明

・コーシー完備性とは、順序体において、
　　　　　数列収束のための必要十分条件が、コーシー列の収束となっていることをいう。
　実数体は、上記の通り、これが満たされた順序体であるので、
　実数体は、コーシー完備である。
　

　・
　・・「『アルキメデス＋コーシー収束条件』で、実数の連続性公理と同値となる。