数列間の大小関係と極限操作


0. 収束数列の大小関係は、極限操作後も、保存される。

【表現1】

数列{an}、数列{bn}が
  [条件1] 数列{an}がαに収束
  かつ
  [条件2] 数列{bn}がβに収束 
  かつ
  [条件3] どの自然数nについても、anbnが成り立つ
 を満たすならば
 α≦β。
・つまり、
 「anα (n→∞)  かつ bnβ (n→∞) かつ (nN)(anbn)」 「αβ」 

【表現2】

収束列{an},{bn}について、  




 
   (nN)(anbn)   lim an    lim bn
n→∞ n→∞
なぜ?→証明 cf. 「数列の大小関係」と「数列の上限の大小関係」




[文献]
 ・『高等学校微分・積分』p.11. 証明なし
 ・杉浦『解析入門I』定理2.6(p.15):表現1
 ・神谷・浦井『経済学のための数学入門』定理2.2.1(5)(p.69.):表現2
 ・赤攝也『実数論講義』定理5.2.2(i)(p.119):背理法による証明付:表現2
 ・小平『解析入門I』定理1.14 (p.26)
 ・吹田・新保『理工系の微分積分学』定理1-3 (p.7)
 ・黒田『微分積分学』§2.5.3定理2.9(pp.49-50)
 ・松坂『解析入門1』2.1-E-定理4(p.65):証明略。
 ・岡田『経済学・経営学のための数学』定理1.3(p.8):背理法による証明付
 ・永倉・宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』3.1.9-ii(p.92)
 ・斎藤『数学の基礎:集合・数・位相』2.5.3命題4(p.53):証明略。順序体一般において。


 ・青本『微分と積分1』§1.2(b)命題1.18(i)(p.14):証明略。
 

  活用例:区間縮小法の原理の証明/



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証明



 右記文献参照。





[文献]
 ・杉浦『解析入門I』定理2.6(p.15):表現1
 ・神谷・浦井『経済学のための数学入門』定理2.2.1(5)(p.69.):表現2
 ・赤攝也『実数論講義』定理5.2.2(i)(p.119):背理法による証明付:表現2
 ・小平『解析入門I』定理1.14 (p.26)
 ・吹田・新保『理工系の微分積分学』定理1-3 (p.7)
 ・黒田『微分積分学』§2.5.3定理2.9(pp.49-50)
 ・岡田『経済学・経営学のための数学』定理1.3(p.8):背理法による証明付



 

  活用例:区間縮小法の原理の証明/




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