ε−δ論法による厳密な「極限値」定義 ― 近傍概念を用いた表現
・《実数の集合D》を定義域とする1変数関数f
《実数の集合D》の集積点x0
実数α
に対して、
「xがx0に近づくとき、f(x)はαに収束する」 f(x)→α (x→x0)
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「xがx0に近づくときのf(x)の極限値はα」
"f has limit a as x approaches x0"[Fischer212]
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lim
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f(x)＝α
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x→x0
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とは、
αのどんな近傍
を選んで Uε(α) に代入しても、
〈Uε(α)に代入した《αの近傍》〉に好都合な《点x0の除外近傍》が少なくとも一個は存在するので、
その〈Uε(α)に代入した《αの近傍》〉に好都合な《点x0の除外近傍》を探し出してU*δ(x0)に代入することによって、
U*δ(x0)の f による像を Uε(α) のなかに収め込んで
f
( U*δ(x0)
∩D
) ⊂ Uε(α) を成り立たせることができる
すなわち、
どんな《正の実数》
を選んで、εに代入しても、
〈εに代入した《正の実数》〉に好都合な《正の実数》が少なくとも一個は存在するので、
その〈εに代入した《正の実数》〉に好都合な《正の実数》を探し出してδに代入することによって、
「 f
( U*δ(x0)
∩D
) ⊂ Uε(α)
」 すなわち 「 x∈（U*δ(x0)
∩D）
ならば、f
(x)∈ Uε(α)
」
を成り立たせることが出来る
ということ。
論理記号で表すと、
∀Uε(α)
∃U*δ(x0)
( f
( U*δ(x0)
∩D
) ⊂Uε(α)
) )
∀ε＞0 ∃δ＞0 ( f
( U*δ(x0)
∩D
) ⊂ Uε(α)
)
∀ε＞0 ∃δ＞0 ∀x∈（U*δ(x0)
∩D） ( f
(x)∈ Uε(α) )
※どう読むの？→ 読み下しサンプル
※どういうこと？→ 考え方 / 論理にこだわって
※別の表現は？→ 近傍概念を用いた簡潔な表現
※「関数fがx0において連続」の定義では、
「0< |x− x0|＜δ」ではなく、「 |x− x0|
＜ δ」─つまり、 x0を含めて考えた。
・《実数の集合D》を定義域とする1変数関数f
《実数の集合D》の集積点x0
に対して、
「xがx0に近づくとき、f(x)が収束する」
「xがx0に近づくときのf(x)の極限値が存在する」"the limit of f(x) as x approaches a exists"[Lang39]
とは、
「 f(x)→α (x→x0 )」 を満たす実数αが存在する
論理記号で表すと、
∃α∈R ∀Uε(α)
∃U*δ(x0)
( f
( U*δ(x0)
∩D
) ⊂Uε(α) )
∃α∈R ∀ε＞0 ∃δ＞0 ( f
( U*δ(x0)
∩D
) ⊂ Uε(α)
)
∃α∈R ∀ε＞0 ∃δ＞0 ∀x∈（U*δ(x0)
∩D） ( f
(x)∈ Uε(α) )
ということ。
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