ベクトル値連続関数と有界閉集合・連結:トピック一覧 |
・有界閉集合上の性質:連続関数による有界閉集合の像は有界閉集合/有界閉集合上連続な関数は有界/ 関数f (x)を有界閉集合D上で連続とすると、fはDにおいて一様連続 ・連結な集合上の性質:連続関数の連結不変性 |
※ ベクトル値関数の諸概念:ベクトル値関数の定義と諸属性/極限の性質/連続性の定義/※ベクトル値関数の連続性の具体例:1変数関数の連続性/ 2変数関数の連続性/ n変数関数の連続性/ ※ベクトル値関数の連続性の一般化:距離空間上の写像/位相空間上の写像 →参考文献/総目次 |
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定理:ベクトル値連続関数による有界閉集合の像は、有界閉集合 |
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要旨 |
「 Rn上の有界な閉集合」Dで連続なベクトル値関数によるDの像は「Rm上の有界な閉集合」。 |
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設定 |
この定理は、以下の手順で設定された舞台上でなされる。 * n次元空間Rnとは、 実数をn個並べた組 (x1,x2,…,xn ) をすべてあつめた集合。 実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 * m次元空間Rmとは、 実数をm個並べた組 (y1,y2,…,ym ) をすべてあつめた集合。 実m次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 Step2-1: n次元空間Rnにユークリッド距離dnを定めて、 ユークリッド空間(Rn,dn)を設定。 Step2-2: m次元空間Rmにユークリッド距離dmを定めて、 ユークリッド空間(Rm,dn)を設定。 Step3: n次元空間Rn上の点集合のひとつを選んで集合Dと名づける。 つまり、「D⊂Rn」 *Dは、「実n次元数ベクトルの集合」でもある。 Step4: n次元空間Rnの点集合D上の各点Pにたいして m次元空間Rm上の点を対応づける ベクトル値関数fを用意。 つまり、 f : D→Rm (D⊂Rn ) ないし ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn))= f (x1,x2,…,xn) *fは 「Dに属す各実n次元数ベクトルから 実m次元数ベクトルへの対応付け」だとも言える。 Step5:「 n次元空間Rnの点集合D」に属す点を、 P= (x1,x2,…,xn )と名づける。 つまり、「P∈D⊂Rn」 *Pは、「Dに属す実n次元数ベクトル」といってもよい。 |
[ 活用例]・「有界閉集合で連続なベクトル値関数は有界」の証明 [ 具体例]1変数関数のケース/2変数関数のケース/ n変数関数のケース[一般化]距離空間のあいだの写像のケース [ 文献]斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』3.4.19 (p.90) 杉浦『解析入門I』定理7.3(p.68):証明付; ルディン『現代解析学』4.14(p.87)距離空間一般上。 |
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定理 |
命題 P「ベクトル値関数fが、Rn上の点集合Dで連続である」 が成り立ち、 かつ 命題Q 「Rn上の点集合Dが有界な閉集合である」 が成り立つ ならば、 命題R 「ベクトル値関数f による点集合Dの像 f (D)が Rm上の点集合として有界な閉集合である」 が成り立つ。 |
[ 予備情報]・命題Q「Rn上の点集合Dが有界な閉集合である」 ⇔命題Q'「Rn上の点集合Dが点列コンパクト」 (∵ハイネ・ボレル・ルベークの被覆定理) ・命題R「ベクトル値関数f による点集合Dの像 f (D)が Rm上の点集合として有界な閉集合」 ⇔命題R'「ベクトル値関数fによる点集合Dの像 f (D)が Rm上点列コンパクト」 (∵ハイネ・ボレル・ルベークの被覆定理) |
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定理:有界閉集合で連続なベクトル値関数は有界 | |||
要旨 |
「 Rn上の有界な閉集合」Dで連続なベクトル値関数はDで有界。 |
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設定 |
この定理は、以下の手順で設定された舞台上でなされる。 * n次元空間Rnとは、 実数をn個並べた組 (x1,x2,…,xn ) をすべてあつめた集合。 実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 * m次元空間Rmとは、 実数をm個並べた組 (y1,y2,…,ym ) をすべてあつめた集合。 実m次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 Step2-1: n次元空間Rnにユークリッド距離dnを定めて、 ユークリッド空間(Rn,dn)を設定。 Step2-2: m次元空間Rmにユークリッド距離dmを定めて、 ユークリッド空間(Rm,dn)を設定。 Step3: n次元空間Rn上の点集合のひとつを選んで集合Dと名づける。 つまり、「D⊂Rn」 *Dは、「実n次元数ベクトルの集合」でもある。 Step4: n次元空間Rnの点集合D上の各点Pにたいして m次元空間Rm上の点を対応づける ベクトル値関数fを用意。 つまり、 f : D→Rm (D⊂Rn ) ないし ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn))= f (x1,x2,…,xn) *fは 「Dに属す各実n次元数ベクトルから 実m次元数ベクトルへの対応付け」だとも言える。 Step5:「 n次元空間Rnの点集合D」に属す点を、 P= (x1,x2,…,xn )と名づける。 つまり、「P∈D⊂Rn」 *Pは、「Dに属す実n次元数ベクトル」といってもよい。 |
1変数関数のケース/2変数関数のケース/ n変数関数のケース [一般化]距離空間のあいだの写像のケース
木『解析概論』定理13(p.26); 小平『解析入門U』定理6.3(p.263):証明付; 吹田・新保『理工系の微分積分学』p. 160. 杉浦『解析入門I』定理7.3(p.68):証明付; ルディン『現代解析学』4.15(p.87)距離空間一般上。 |
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定理 |
命題 P「ベクトル値関数fが、Rn上の点集合Dで連続である」 が成り立ち、 かつ 命題Q 「Rn上の点集合Dが有界な閉集合である」 が成り立つ ならば、 命題R「ベクトル値関数fは、点集合Dで有界」 が成り立つ。 |
[ 予備情報]・命題Q「Rn上の点集合Dが有界な閉集合である」 ⇔命題Q'「Rn上の点集合Dが点列コンパクト」 (∵ハイネ・ボレル・ルベークの被覆定理) ・命題R「ベクトル値関数fは、点集合Dで有界」 ⇔命題R'「『ベクトル値関数f による点集合Dの像』f (D) が、Rm上の点集合として有界」 (∵有界関数の定義) |
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証明 |
・ 定理より、命題Pかつ命題Qならば、「『f による点集合Dの像』 f (D)は、Rm上の点集合として有界な閉集合」。つまり、命題Pかつ命題Qならば、「『f による点集合Dの像』f (D)は、Rm上の有界な点集合」。 ・有界関数の定義より、 「ベクトル値関数fは、点集合Dで有界」とは、 「『f による点集合Dの像』f (D)が、Rm上の有界な点集合である」の意。 ・以上2点から、命題Pかつ命題Qならば、命題R「ベクトル値関数fは、点集合Dで有界」が成り立つといえる。 |
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[トピック一覧:連続関数の性質] →総目次 |
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ハイネの定理:有界閉集合上連続な関数はそこで一様連続 |
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設定 |
この定理は、以下の手順で設定された舞台上でなされる。 * n次元空間Rnとは、 実数をn個並べた組 (x1,x2,…,xn ) をすべてあつめた集合。 実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 * m次元空間Rmとは、 実数をm個並べた組 (y1,y2,…,ym ) をすべてあつめた集合。 実m次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 Step2-1: n次元空間Rnにユークリッド距離dnを定めて、 ユークリッド空間(Rn,dn)を設定。 Step2-2: m次元空間Rmにユークリッド距離dmを定めて、 ユークリッド空間(Rm,dn)を設定。 Step3: n次元空間Rn上の点集合のひとつを選んで集合Dと名づける。 つまり、「D⊂Rn」 *Dは、「実n次元数ベクトルの集合」でもある。 Step4: n次元空間Rnの点集合D上の各点Pにたいして m次元空間Rm上の点を対応づける ベクトル値関数fを用意。 つまり、 f : D→Rm (D⊂Rn ) ないし ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn))= f (x1,x2,…,xn) *fは 「Dに属す各実n次元数ベクトルから 実m次元数ベクトルへの対応付け」だとも言える。 Step5:「 n次元空間Rnの点集合D」に属す点を、 P= (x1,x2,…,xn )と名づける。 つまり、「P∈D⊂Rn」 *Pは、「Dに属す実n次元数ベクトル」といってもよい。 |
[文献] 黒田『微分積分学』定理8.6(p.279); 斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』3.4.18 (p.90) 杉浦『解析入門I』W章積分§4連続関数の可積分性-定理4.1(p. 226):ベクトル値関数一般・証明付; ルディン『現代解析学』4.19(p.88):距離空間一般上:証明付。 加古『自然科学の基礎としての微積分』定理6.2(p.92); |
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定理 |
命題 P「ベクトル値関数fが、Rn上の点集合Dで連続」が成り立ち、 かつ 命題Q「Rn上の点集合Dが有界な閉集合である」 が成り立つ ならば、 命題R「ベクトル値関数fは、点集合Dで一様連続」 |
[ 予備情報]命題Q「Rn上の点集合Dが有界な閉集合である」 ⇔命題Q'「Rn上の点集合Dが点列コンパクト」 (∵ハイネ・ボレル・ルベークの被覆定理) |
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証明 |
2 変数関数に限定:小平『解析入門U』定理6.2(p.262)n変数関数一般: ベクトル値関数一般:杉浦『解析入門I』W章積分§4連続関数の可積分性-定理4.1(p. 226) 距離空間から距離空間への関数一般:ルディン『現代解析学』4.19(p.88) |
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※ |
関連事項: 点での連続性、D上で連続 / 1変数関数の一様連続性Cf.D上で連続:δが各A∈D毎にちがっていてもよい。 |
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定理:ベクトル値連続関数の連結不変性 | |||
要旨 |
連結な点集合を連続なベクトル値関数で写した像は連結。 | ||
舞台設定 |
この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。 * n次元空間Rnとは、 実数をn個並べた組 (x1,x2,…,xn ) をすべてあつめた集合。 実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 * m次元空間Rmとは、 実数をm個並べた組 (y1,y2,…,ym ) をすべてあつめた集合。 実m次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 Step2: n次元空間Rnに距離dnを定めて、距離空間(Rn,dn)を設定。 *普通は、 n次元空間Rnにユークリッド距離を与えた ユークリッド空間を考える。 m次元空間Rmに距離dmを定めて、距離空間(Rm,dm)を設定。 *普通は、 m次元空間Rmにユークリッド距離を与えた ユークリッド空間を考える。 Step3: n次元空間Rn上の点集合のひとつを選んで集合Dと名づける。 つまり、「D⊂Rn」 *Dは、「実n次元数ベクトルの集合」とも呼べる。 Step4: n次元空間Rnの点集合D上の各点Pにたいして m次元空間Rm上の点を対応づける ベクトル値関数fを用意。 つまり、 f : D→Rm (D⊂Rn ) ないし ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn))= f (x1,x2,…,xn) *fは 「Dに属す各実n次元数ベクトルから 実m次元数ベクトルへの対応付け」だとも言える。 Step5:「 n次元空間Rnの点集合D」に属す点を、 P= (x1,x2,…,xn )と名づける。 つまり、「P∈D⊂Rn」 *Pは、「Dに属す実n次元数ベクトル」といってもよい。 |
[ 具体例]1変数関数の中間値定理/2変数関数の中間値定理/ n変数関数の中間値定理 [ 文献]杉浦『解析入門I』T章§8問題5(p.79):ベクトル値関数一般; ルディン『現代解析学』4.22(p.91):証明付。 矢野『距離空間と位相構造』定理5.5(p.168):位相空間間の写像で。 松坂『集合・位相入門』5章§1定理1(p.196):位相空間間の写像で。 斉藤『数学の基礎:集合・数・位相』5.3.4 (p.161):位相空間間の写像で; |
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定理 |
命題 P「ベクトル値関数fが、Rn上の点集合Dで連続」かつ 命題Q「Rn上の点集合Dが連結」 ならば、 命題R「『ベクトル値関数f による点集合Dの像』 f (D)は連結」 |
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(
reference)『
岩波数学辞典(第三版)』項目441連続関数 (pp.1329-1331).神谷和也・浦井憲『
経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、pp.148-160.高木貞治『
解析概論 改訂第三版』岩波書店、1983年、pp. 26-8.小平邦彦『
解析入門II』(軽装版)岩波書店、2003年、pp.260-264.和達三樹『
理工系の数学入門コース1・微分積分』岩波書店、1988年、pp.115-6.吹田・新保『
理工系の微分積分学』学術図書出版社、1987年、pp.160-1。杉浦光夫『
解析入門』岩波書店、1980年、pp.55-56;74-75. 極限の定義が特殊なので注意。高橋一『
経済学とファイナンスのための数学』新世社、1999年、pp.144-146.ルディン『
現代解析学』共立出版、1971年、4.5-4.24(pp.83-91)。一般の距離空間の上で論じている。→
[トピック一覧:連続関数の性質]