ベクトル値関数の極限の性質:トピック一覧 |
・ 極限値どおしのベクトル演算[極限値とベクトル和/極限値とスカラー倍/内積]・コーシーの判定条件 |
※ベクトル値関数の諸概念:ベクトル値関数の定義と諸属性/極限/連続性/ ※関数の極限の性質関連ページ:1変数関数の極限の性質/ 2変数関数の極限の性質/ n変数関数の極限の性質 →総目次 |
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定理:ベクトル値関数の極限値とベクトル和 |
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要旨 |
ベクトル値関数の値のベクトル和をとってから極限をとった値と、 ベクトル値関数の極限をとってからベクトル和をとった値とは、等しくなる。 つまり、極限とベクトルの加法の順序交換は可能。 |
cf .1変数関数の極限値どおしの演算 2変数関数の極限値どおしの演算 n変数関数の極限値どおしの演算 実数値関数の極限値どおしの演算 点列の極限どおしの演算
[ 文献]杉浦『解析入門I』定理6.6(pp.57-63):Rn→Rmの関数一般について。証明付。 Rudin『現代解析学』4.4(p.83)注:距離空間からRmへの写像一般について。証明無。 |
舞台 |
この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。 * n次元空間Rnとは、 実数をn個並べた組 (x1,x2,…,xn ) をすべてあつめた集合。 実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 * m次元空間Rmとは、 実数をm個並べた組 (y1,y2,…,ym ) をすべてあつめた集合。 実m次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 Step2: n次元空間Rnに通例のベクトルの加法・スカラー乗法を定義して、 実n次元数ベクトル空間Rnとする。 m次元空間Rmに通例のベクトルの加法・スカラー乗法を定義して、 実m次元数ベクトル空間Rmとする。 Step3:実n次元数ベクトル空間Rnにたいして、 「自然な内積(標準内積)・」「ユークリッドノルム‖‖n」 を定義して、ノルム空間( Rn, ‖‖n )を設定する。 実m次元数ベクトル空間Rmにたいして、 「自然な内積(標準内積)・」「ユークリッドノルム‖‖m」 を定義して、ノルム空間( Rm, ‖‖m )を設定する。 Step4:ノルム空間( Rn, ‖‖n )にたいして、 ユークリッドノルムから定めた距離dn(x, x' )=‖x−x'‖n を定義して、ユークリッド空間(Rn,dn)を設定する。 ノルム空間( Rm, ‖‖m )にたいして、 ユークリッドノルムから定めた距離dm(y, y' )=‖y−y'‖m を定義して、ユークリッド空間(Rm,dm)を設定する。 Step5: n次元空間Rn上の点集合のひとつを選んで集合Dと名づける。 つまり、「D⊂Rn」 *Dは、「実n次元数ベクトルの集合」でもある。 |
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Step 6: n次元空間Rnの点集合D上の各点Pにたいして m次元空間Rm上の点を対応づけるベクトル値関数f,gを用意。 つまり、 f : D→Rm (D⊂Rn ) ないし ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn))= f (x1,x2,…,xn) g : D→Rm (D⊂Rn ) ないし ( g1 (x1,x2,…,xn), g2 (x1,x2,…,xn) ,…, gm (x1,x2,…,xn))= g (x1,x2,…,xn) *f,gはそれぞれ「Dに属す各実n次元数ベクトルから実m次元数ベクトルへの対応付け」だとも言える。 Step7-1:「 n次元空間Rnの点集合D」に属す動点を、P= (x1,x2,…,xn )と名づける。 つまり、「P∈D⊂Rn」 *Pは、「Dに属す実n次元数ベクトル」でもある。 Step 7-2:「 n次元空間Rnの点集合D」に属すある定点を、A=(a1,a2,…,an)で表す。つまり、A=(a1,a2,…,an)∈D⊂Rn *Aは、「Dに属す実n次元数ベクトル」でもある。 Step8:「 m次元空間Rm」に属すある定点を、B=(b1,b2,…,bm)で表す。 「 m次元空間Rm」に属すある定点を、C=(c1,c2,…,cm)で表す。 つまり、B=(b1,b2,…,bm)∈Rm、C=(c1,c2,…,cm)∈Rm *B , Cは、「Dに属す実m次元数ベクトル」でもある。 |
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定理 |
[ 言葉でいうと ]動点P(x1,x2,…,xn)を定点A(a1,a2,…,an) に近づけたとき、 ベクトル値関数 ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn) ) =f (P) = f (x1,x2,…,xn)が 点(実n次元数ベクトル)B=(b1,b2,…,bm)に収束し、 かつ 動点P(x1,x2,…,xn)を定点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、 ベクトル値関数 ( g1 (x1,x2,…,xn), g2 (x1,x2,…,xn) ,…, gm (x1,x2,…,xn) ) =g (P) = g (x1,x2,…,xn)が 点(実m次元数ベクトル)C=(c1,c2,…,cm)に収束する ならば、 動点P(x1,x2,…,xn)を定点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、 「f (P)= f (x1,x2,…,xn)とg (P) = g (x1,x2,…,xn)とのベクトル和」 ( f1 (x1,x2,…,xn)+ g1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn)+ g2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn)+gm (x1,x2,…,xn) ) は、 「点B(b1,b2,…,bm)と点C=(c1,c2,…,cm)とのベクトル和」(b1+c1,b2+c2,…,bm+cm) に収束する [ 記号での表現1 ]f ( P )→B (P→A) かつ g ( P )→C (P→A) ⇒ { f (P) + g (P) }→B+C ( P→A ) [ 記号での表現2 ] P→Aとしたときに、f (P) , g (P)が収束するならば、 ![]() |
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定理:ベクトル値関数の極限値とスカラー積 |
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要旨 |
ベクトル値関数の値のスカラー積
をとってから 極限をとった値と、ベクトル値関数の極限をとってからスカラー積をとった値とは、等しくなる。 つまり、極限とスカラー積の順序交換は可能。 |
cf .1変数関数の極限値どおしの演算 2変数関数の極限値どおしの演算 n変数関数の極限値どおしの演算 実数値関数の極限値どおしの演算 点列の極限とスカラー積の演算 [ 文献]杉浦『解析入門I』定理6.6(pp.57-63):Rn→Rmの関数一般について。証明付。 |
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舞台 |
この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。 * n次元空間Rnとは、 実数をn個並べた組 (x1,x2,…,xn ) をすべてあつめた集合。 実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 * m次元空間Rmとは、 実数をm個並べた組 (y1,y2,…,ym ) をすべてあつめた集合。 実m次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 Step2: n次元空間Rnに通例のベクトルの加法・スカラー乗法を定義して、 実n次元数ベクトル空間Rnとする。 M次元空間Rmに通例のベクトルの加法・スカラー乗法を定義して、 実m次元数ベクトル空間Rmとする。 Step3:実n次元数ベクトル空間Rnにたいして、 「自然な内積(標準内積)・」「ユークリッドノルム‖‖n」 を定義して、ノルム空間( Rn, ‖‖n )を設定する。 実m次元数ベクトル空間Rmにたいして、 「自然な内積(標準内積)・」「ユークリッドノルム‖‖m」 を定義して、ノルム空間( Rm, ‖‖m )を設定する。 Step4:ノルム空間( Rn, ‖‖n )にたいして、 ユークリッドノルムから定めた距離dn(x, x' )=‖x−x'‖n を定義して、ユークリッド空間(Rn,dn)を設定する。 ノルム空間( Rm, ‖‖m )にたいして、 ユークリッドノルムから定めた距離dm(y, y' )=‖y−y'‖m を定義して、ユークリッド空間(Rm,dm)を設定する。 Step5: n次元空間Rn上の点集合のひとつを選んで集合Dと名づける。 つまり、「D⊂Rn」 *Dは、「実n次元数ベクトルの集合」でもある。 |
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Step 6: n次元空間Rnの点集合D上の各点Pにたいして m次元空間Rm上の点を対応づけるベクトル値関数f,gを用意。 つまり、 f : D→Rm (D⊂Rn ) ないし ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn))= f (x1,x2,…,xn) *fはそれぞれ「Dに属す各実n次元数ベクトルから実m次元数ベクトルへの対応付け」だとも言える。 Step7-1:「 n次元空間Rnの点集合D」に属す動点を、P= (x1,x2,…,xn )と名づける。 つまり、「P∈D⊂Rn」 *Pは、「Dに属す実n次元数ベクトル」でもある。 Step 7-2:「 n次元空間Rnの点集合D」に属すある定点を、A=(a1,a2,…,an)で表す。つまり、A=(a1,a2,…,an)∈D⊂Rn *Aは、「Dに属す実n次元数ベクトル」でもある。 Step8:「 m次元空間Rm」に属すある定点を、B=(b1,b2,…,bm)で表す。 つまり、B=(b1,b2,…,bm)∈Rm∈Rm *B は、「Dに属す実m次元数ベクトル」でもある。 |
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定理 |
[ 言葉でいうと ]動点P(x1,x2,…,xn)を定点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、 ベクトル値関数 ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn) ) =f (P) = f (x1,x2,…,xn)が 点(実n次元数ベクトル)B=(b1,b2,…,bm)に収束する ならば、 動点P(x1,x2,…,xn)を定点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、 「f (P) = f (x1,x2,…,xn)と『任意の実数c』とのスカラー積」 ( cf1 (x1,x2,…,xn), cf2 (x1,x2,…,xn) ,…, cfm (x1,x2,…,xn) ) は、 「点B(b1,b2,…,bm)と実数cとのスカラー積」(cb1,cb2,…, cbm) に収束する [ 記号での表現1 ]f ( P )→B (P→A) ⇒ (∀c∈R) ( c f (P)→cB ( P→A ) ) [ 記号での表現2 ] P→Aとしたときに、f (P)が収束するならば、 ∀c∈Rにたいして、 ![]() |
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要旨 |
ベクトル値関数の値の内積をとってから極限をとった値と、 ベクトル値関数の極限をとってから内積をとった値とは、等しくなる。 つまり、極限とスカラー積の順序交換は可能。 |
[ 文献]Rudin『現代解析学』4.4(p.83)注:距離空間からRmへの写像一般について。証明無。 |
舞台 |
この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。 * n次元空間Rnとは、 実数をn個並べた組 (x1,x2,…,xn ) をすべてあつめた集合。 実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 * m次元空間Rmとは、 実数をm個並べた組 (y1,y2,…,ym ) をすべてあつめた集合。 実m次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 Step2: n次元空間Rnに通例のベクトルの加法・スカラー乗法を定義して、 実n次元数ベクトル空間Rnとする。 m次元空間Rmに通例のベクトルの加法・スカラー乗法を定義して、 実m次元数ベクトル空間Rmとする。 Step3:実n次元数ベクトル空間Rnにたいして、 「自然な内積(標準内積)・」「ユークリッドノルム‖‖n」 を定義して、ノルム空間( Rn, ‖‖n )を設定する。 実m次元数ベクトル空間Rmにたいして、 「自然な内積(標準内積)・」「ユークリッドノルム‖‖m」 を定義して、ノルム空間( Rm, ‖‖m )を設定する。 Step4:ノルム空間( Rn, ‖‖n )にたいして、 ユークリッドノルムから定めた距離dn(x, x' )=‖x−x'‖n を定義して、ユークリッド空間(Rn,dn)を設定する。 ノルム空間( Rm, ‖‖m )にたいして、 ユークリッドノルムから定めた距離dm(y, y' )=‖y−y'‖m を定義して、ユークリッド空間(Rm,dm)を設定する。 Step5: n次元空間Rn上の点集合のひとつを選んで集合Dと名づける。 つまり、「D⊂Rn」 *Dは、「実n次元数ベクトルの集合」でもある。 |
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Step 6: n次元空間Rnの点集合D上の各点Pにたいして m次元空間Rm上の点を対応づけるベクトル値関数f,gを用意。 つまり、 f : D→Rm (D⊂Rn ) ないし ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn))= f (x1,x2,…,xn) g : D→Rm (D⊂Rn ) ないし ( g1 (x1,x2,…,xn), g2 (x1,x2,…,xn) ,…, gm (x1,x2,…,xn))= g (x1,x2,…,xn) *f,gはそれぞれ「Dに属す各実n次元数ベクトルから実m次元数ベクトルへの対応付け」だとも言える。 Step7-1:「 n次元空間Rnの点集合D」に属す動点を、P= (x1,x2,…,xn )と名づける。 つまり、「P∈D⊂Rn」 *Pは、「Dに属す実n次元数ベクトル」でもある。 Step 7-2:「 n次元空間Rnの点集合D」に属すある定点を、A=(a1,a2,…,an)で表す。つまり、A=(a1,a2,…,an)∈D⊂Rn *Aは、「Dに属す実n次元数ベクトル」でもある。 Step8:「 m次元空間Rm」に属すある定点を、B=(b1,b2,…,bm)で表す。 「 m次元空間Rm」に属すある定点を、C=(c1,c2,…,cm)で表す。 つまり、B=(b1,b2,…,bm)∈Rm、C=(c1,c2,…,cm)∈Rm *B , Cは、「Dに属す実m次元数ベクトル」でもある。 |
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定理 |
[ 言葉でいうと ]動点P(x1,x2,…,xn)を定点A(a1,a2,…,an) に近づけたとき、 ベクトル値関数 ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn) ) =f (P) = f (x1,x2,…,xn)が 点(実n次元数ベクトル)B=(b1,b2,…,bm)に収束し、 かつ 動点P(x1,x2,…,xn)を定点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、 ベクトル値関数 ( g1 (x1,x2,…,xn), g2 (x1,x2,…,xn) ,…, gm (x1,x2,…,xn) ) =g (P) = g (x1,x2,…,xn)が 点(実m次元数ベクトル)C=(c1,c2,…,cm)に収束する ならば、 動点P(x1,x2,…,xn)を定点A(a1,a2,…,an)に近づけたとき、 「f (P)= f (x1,x2,…,xn)とg (P) = g (x1,x2,…,xn)との自然な内積(標準内積)」 f1 (x1,x2,…,xn) g1 (x1,x2,…,xn)+ f2 (x1,x2,…,xn)g2 (x1,x2,…,xn) +…+ fm (x1,x2,…,xn)gm (x1,x2,…,xn) は、 「点B(b1,b2,…,bm)と点C=(c1,c2,…,cm)との自然な内積(標準内積)」b1c1+b2c2+…+bmcmに収束する |
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定理:ベクトル値関数の極限に関するコーシーの判定条件 [P→ Aのとき] |
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舞台 |
この定理は、以下の手順で設定された舞台上で成立する。 * n次元空間Rnとは、 実数をn個並べた組 (x1,x2,…,xn ) をすべてあつめた集合。 実n次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 * m次元空間Rmとは、 実数をm個並べた組 (y1,y2,…,ym ) をすべてあつめた集合。 実m次元数ベクトルをすべて集めた集合でもある。 Step2: n次元空間Rnに通例のベクトルの加法・スカラー乗法を定義して、 実n次元数ベクトル空間Rnとする。 m次元空間Rmに通例のベクトルの加法・スカラー乗法を定義して、 実m次元数ベクトル空間Rmとする。 Step3:実n次元数ベクトル空間Rnにたいして、 「自然な内積(標準内積)・」「ユークリッドノルム‖‖n」 を定義して、ノルム空間( Rn, ‖‖n )を設定する。 実m次元数ベクトル空間Rmにたいして、 「自然な内積(標準内積)・」「ユークリッドノルム‖‖m」 を定義して、ノルム空間( Rm, ‖‖m )を設定する。 Step4:ノルム空間( Rn, ‖‖n )にたいして、 ユークリッドノルムから定めた距離dn(x, x' )=‖x−x'‖n を定義して、ユークリッド空間(Rn,dn)を設定する。 ノルム空間( Rm, ‖‖m )にたいして、 ユークリッドノルムから定めた距離dm(y, y' )=‖y−y'‖m を定義して、ユークリッド空間(Rm,dm)を設定する。 Step5: n次元空間Rn上の点集合のひとつを選んで集合Dと名づける。 つまり、「D⊂Rn」 *Dは、「実n次元数ベクトルの集合」でもある。 |
Cf .1変数関数の場合のコーシーの判定法 2変数関数の場合のコーシーの判定法 n変数関数の場合 実数値関数一般の場合 [ 文献]杉浦『解析入門I』定理6.10(pp.61-62):証明付. |
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Step 6: n次元空間Rnの点集合D上の各点Pにたいして m次元空間Rm上の点を対応づけるベクトル値関数fを用意。 つまり、 f : D→Rm (D⊂Rn ) ないし ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn))= f (x1,x2,…,xn) *fは「Dに属す各実n次元数ベクトルから実m次元数ベクトルへの対応付け」だとも言える。 Step7-1:「 n次元空間Rnの点集合D」に属す動点を、P= (x1,x2,…,xn )と名づける。 つまり、「P∈D⊂Rn」 *Pは、「Dに属す実n次元数ベクトル」でもある。 Step 7-2:「 n次元空間Rnの点集合D」に属すある定点を、A=(a1,a2,…,an)で表す。つまり、A=(a1,a2,…,an)∈D⊂Rn *Aは、「Dに属す実n次元数ベクトル」でもある。 |
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定理 |
次の命題 S,T,Rは互いに言い換え可能である。つまり、命題S⇔命題T⇔命題R 命題 S :動点P(x1,x2,…,xn)∈Dを定点A(a1,a2,…,an)∈D に近づけたとき、 ベクトル値関数 ( f1 (x1,x2,…,xn), f2 (x1,x2,…,xn) ,…, fm (x1,x2,…,xn) ) =f (P) = f (x1,x2,…,xn) が収束する。 命題T : 任意の正数εに対して、ある正数δをとると 任意のP,Q∈D にたいして、 「(0<dn(P,A)<δかつ0<dn(Q,A)<δ)ならば、dm ( f (P), f (Q) ) <ε」 が成り立つ。 論理記号では、 (∀ε>0) (∃δ>0) (∀P,Q∈D) ((0<dn(P,A)<δかつ0<dn(Q,A)<δ)⇒dm ( f (P), f (Q) )<ε) 命題U : 任意の正数εに対して、あるRn上の点Aの除外δ近傍U*δ(A)とると、 任意のP,Q∈(U*δ(A)∩D)にたいして、dm ( f (P), f (Q) )<εが成り立つ。 論理記号では、 (∀ε>0) (∃U*δ(A)) (∀P,Q∈(U*δ(A)∩D)) (dm ( f (P), f (Q) )<ε) |
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活用例 |