実n次元数ベクトルが基底となるための十分条件の証明　　
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(舞台設定)
　R：実数体(実数をすべて集めた集合）　　
　Rⁿ：実n次元数ベクトル空間　　
　+：実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているベクトルの加法　
　スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの：実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいて定義されているスカラー乗法
　v₁, v₂, …, v_n：n個の実n次元数ベクトル。
　　　　　　　　具体的に書くと、i=1,2,…, nにたいして、v_i1, v_i2, …, v_in∈Rとして、v_i=( v_i1, v_i2, …, v_in )　　　
　　　　　　　　したがって、v₁, v₂, …, v_n ∈Ｒⁿ 。
　　　　　　　　なお、個数nが有限個であることに注意。　　
　a₁, a₂, …, a_n ：スカラー。a₁, a₂, …, a_n ∈R　　

(定理の確認)
実n次元数ベクトル空間Rⁿにおいては、n個の一次独立な実n次元数ベクトルがそろえば、基底となる。
つまり、
v₁, v₂, …, v_n∈Rⁿが一次独立ならば、v₁, v₂, …, v_nは、Rⁿの基底である。

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（証明）　[永田『理系のための線形代数の基礎』系1.2.3(p.13);]
・「v₁, v₂, …, v_n∈RⁿがRⁿの基底である」とは、v₁, v₂, …, v_nが次の2条件を満たすことであった。
　　基底であるための条件1：v₁, v₂, …, v_nが一次独立となること。
　　基底であるための条件2：v₁, v₂, …, v_nの一次結合として、Rⁿに属す任意の実n次元数ベクトルを表せること。
　　　　　　　　　　　　　　　( ∀v ∈Rⁿ ) ( ∃a₁, a₂, …, a_n ∈R) ( v =a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n )　
・v₁, v₂, …, v_n∈Rⁿが一次独立ならば、
　　　　それだけで、v₁, v₂, …, v_nは「基底であるための条件1」を満たしている。…(1) 　
・「v₁, v₂, …, v_n∈Rⁿが一次独立」ということを、一次独立の定義に遡って書き下すと、　
　　　「a₁＝a₂＝…＝a_n＝０でない」⇒a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n≠０　　　…(2) 　
・v は、任意の「Rからつくった実n次元数ベクトル」であるとする。
　すると、v, v₁, v₂, …, v_nは一次従属となる。
　　　　　　∵ n個より多くの実n次元数ベクトルは一次従属だから。
　「v,v₁, v₂, …, v_nは一次従属」ということを、一次従属の定義に遡って書き下すと、
　　a＝a₁＝a₂＝…＝a_n＝０でないスカラーa,a₁, a₂, …, a_n が存在して、
　　　（つまり、a,a₁, a₂, …, a_n のなかに少なくとも一つ0ではないものを含むスカラーa₁, a₂, …, a_n が存在して）
　　　　　av+a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n=０を満たす。　
　　ここで、a=０ではないことがわかる。…(3)
　　なぜなら、
　　｜a=0ならば、
　　｜　・a₁＝a₂＝…＝a_n＝０でない
　　｜　　　　∵a＝a₁＝a₂＝…＝a_n＝０でないという条件は、
　　｜　　　　　　つまり、a,a₁, a₂, …, a_n のなかに少なくとも一つ０ではないスカラーを含むということ。　　
　　｜　　　　　　a=０ならば、０ではないスカラーはa₁, a₂, …, a_n のなかに存在しなければならない。　
　　｜　・av+a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n＝０v+a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n　
　　｜　　＝a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n　　∵スカラーゼロ倍　
　　｜　だから、(2)より、
　　｜　av+a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n＝a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n≠０　
　　｜となってしまう。　　
　　｜つまり、a=0ならば、v,v₁, v₂, …, v_nが一次従属であることの定義を満たさない。
　　｜したがって、av+a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n=０を満たす、a＝a₁＝a₂＝…＝a_n＝０ではないスカラーa,a₁, a₂, …, a_n は、
　　｜a≠０という制約のもとにある。　
・(3)で、a=０ではないことがわかったから、aには、逆数a^−１が存在する。…(4)　
・av+a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n=０　は、次のように変形してゆける。
　av+a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n+{−(a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n）}=−(a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n）+０　
　　　　　　　　　　　　　　∵両辺に(a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n）の逆ベクトルを加えた。　
　av+０=−(a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n）+０　
　　　　　　　　　　　　　　∵数ベクトルの加法の性質：v+(−v）＝０　　　
　av=−(a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n）　　∵数ベクトルの加法の性質：v+０＝v　　　
　av=(−１)(a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n）　　∵逆ベクトルの定義　　　
　av= (−1)a₁v₁+(−1)a₂v₂+…+(−1)a_nv_n　　∵数ベクトルのスカラー乗法の性質：分配則　　
　a^−１av=a^−１ (−1)a₁v₁+a^−１(−1)a₂v₂+…+a^−１(−1)a_nv_n　
　　　∵(4)よりaには、逆数a^−１が存在するので、これを両辺にかけた。　　
　a^−１av= (−1)a^−１a₁v₁+(−1)a^−１a₂v₂+…+(−1)a^−１a_nv_n　
　　　　　　∵実数の乗法の可換則　　
　1v= (−1)a^−１a₁v₁+(−1)a^−１a₂v₂+…+(−1)a^−１a_nv_n　　∵実数の逆数との積　　
　v= (−1)a^−１a₁v₁+(−1)a^−１a₂v₂+…+(−1)a^−１a_nv_n　　∵数ベクトルのスカラー乗法の性質：1v=v　　
　v= (−a^−１a₁)v₁+(−a^−１a₂)v₂+…+(−a^−１a_n)v_n　　∵数ベクトルのスカラー乗法の性質：結合則　　
ここで、
　　 (−a^−１a₁),(−a^−１a₂),…,(−a^−１a_n)∈Rだから、
　　v₁, v₂, …, v_nは「基底であるための条件2」を満たしている。…(5) 　　　　
・(1)(5)より、「v₁, v₂, …, v_n∈RⁿがRⁿの基底である」といえる。

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