実
n次元数ベクトルが基底となるための十分条件の証明
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(舞台設定)
R:実数体(実数をすべて集めた集合)
Rn:実n次元数ベクトル空間
+:実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているベクトルの加法
スカラーに続けてベクトルを並べて書いたもの:実n次元数ベクトル空間Rnにおいて定義されているスカラー乗法
v1, v2, …, vn:n個の実n次元数ベクトル。
具体的に書くと、i=1,2,…, nにたいして、vi1, vi2, …, vin∈Rとして、vi=( vi1, vi2, …, vin )
したがって、v1, v2, …, vn ∈Rn 。
なお、個数nが有限個であることに注意。
a1, a2, …, an :スカラー。a1, a2, …, an ∈R
(
定理の確認)
実n次元数ベクトル空間Rnにおいては、n個の一次独立な実n次元数ベクトルがそろえば、基底となる。
つまり、
v1, v2, …, vn∈Rnが一次独立ならば、v1, v2, …, vnは、Rnの基底である。
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(証明)
[永田『理系のための線形代数の基礎』系1.2.3(p.13);]
・「v1, v2, …, vn∈RnがRnの基底である」とは、v1, v2, …, vnが次の2条件を満たすことであった。
基底であるための条件1:v1, v2, …, vnが一次独立となること。
基底であるための条件2:v1, v2, …, vnの一次結合として、Rnに属す任意の実n次元数ベクトルを表せること。
( ∀v ∈Rn ) ( ∃a1, a2, …, an ∈R) ( v =a1v1+a2v2+…+anvn )
・v1, v2, …, vn∈Rnが一次独立ならば、
それだけで、v1, v2, …, vnは「基底であるための条件1」を満たしている。…(1)
・「v1, v2, …, vn∈Rnが一次独立」ということを、一次独立の定義に遡って書き下すと、
「a1=a2=…=an=0でない」⇒a1v1+a2v2+…+anvn≠0 …(2)
・v は、任意の「Rからつくった実n次元数ベクトル」であるとする。
すると、v, v1, v2, …, vnは一次従属となる。
∵ n個より多くの実n次元数ベクトルは一次従属だから。
「v,v1, v2, …, vnは一次従属」ということを、一次従属の定義に遡って書き下すと、
a=a1=a2=…=an=0でないスカラーa,a1, a2, …, an が存在して、
(つまり、a,a1, a2, …, an のなかに少なくとも一つ0ではないものを含むスカラーa1, a2, …, an が存在して)
av+a1v1+a2v2+…+anvn=0を満たす。
ここで、a=0ではないことがわかる。…(3)
なぜなら、
|a=0ならば、
| ・a1=a2=…=an=0でない
| ∵a=a1=a2=…=an=0でないという条件は、
| つまり、a,a1, a2, …, an のなかに少なくとも一つ0ではないスカラーを含むということ。
| a=0ならば、0ではないスカラーはa1, a2, …, an のなかに存在しなければならない。
| ・av+a1v1+a2v2+…+anvn=0v+a1v1+a2v2+…+anvn
| =a1v1+a2v2+…+anvn ∵スカラーゼロ倍
| だから、(2)より、
| av+a1v1+a2v2+…+anvn=a1v1+a2v2+…+anvn≠0
|となってしまう。
|つまり、a=0ならば、v,v1, v2, …, vnが一次従属であることの定義を満たさない。
|したがって、av+a1v1+a2v2+…+anvn=0を満たす、a=a1=a2=…=an=0ではないスカラーa,a1, a2, …, an は、
|a≠0という制約のもとにある。
・(3)で、a=0ではないことがわかったから、aには、逆数a−1が存在する。…(4)
・av+a1v1+a2v2+…+anvn=0 は、次のように変形してゆける。
av+a1v1+a2v2+…+anvn+{−(a1v1+a2v2+…+anvn)}=−(a1v1+a2v2+…+anvn)+0
∵両辺に(a1v1+a2v2+…+anvn)の逆ベクトルを加えた。
av+0=−(a1v1+a2v2+…+anvn)+0
∵数ベクトルの加法の性質:v+(−v)=0
av=−(a1v1+a2v2+…+anvn) ∵数ベクトルの加法の性質:v+0=v
av=(−1)(a1v1+a2v2+…+anvn) ∵逆ベクトルの定義
av= (−1)a1v1+(−1)a2v2+…+(−1)anvn ∵数ベクトルのスカラー乗法の性質:分配則
a−1av=a−1 (−1)a1v1+a−1(−1)a2v2+…+a−1(−1)anvn
∵(4)よりaには、逆数a−1が存在するので、これを両辺にかけた。
a−1av= (−1)a−1a1v1+(−1)a−1a2v2+…+(−1)a−1anvn
∵実数の乗法の可換則
1v= (−1)a−1a1v1+(−1)a−1a2v2+…+(−1)a−1anvn ∵実数の逆数との積
v= (−1)a−1a1v1+(−1)a−1a2v2+…+(−1)a−1anvn ∵数ベクトルのスカラー乗法の性質:1v=v
v= (−a−1a1)v1+(−a−1a2)v2+…+(−a−1an)vn ∵数ベクトルのスカラー乗法の性質:結合則
ここで、
(−a−1a1),(−a−1a2),…,(−a−1an)∈Rだから、
v1, v2, …, vnは「基底であるための条件2」を満たしている。…(5)
・(1)(5)より、「v1, v2, …, vn∈RnがRnの基底である」といえる。
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