体上の行列の積の性質　：　トピック一覧

【性質】

　・行列積は可換則を満たさない　
　・積の結合則　
　・積の分配則　
　・行列積とスカラー積の混合　
　・零行列との積　

【体上の行列関連ページ】

　・正方行列に関する様々な定義　
　・行列の和･スカラー倍の定義　
　・行列積の定義　
　・逆行列･正則行列･特異行列の定義　
　・転置行列の性質/行列の代数系 　
　・行列の階数　

【体として実数体を指定した具体例】

　・実行列の積の性質　　

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定理：行列の積は可換則を満たさない　

【舞台設定】

　K：体（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
　A , B ：体K上の(m,n)型行列　　

【本題】

・体K上の行列の積について、可換則は成立しない。
　つまり、体K上の(m,n)型行列A、体K上の(n,l)型行列Bの選び方によって、AB=BAが満たされないことが多々ある。

・そもそも、m≠lの場合、
　体K上の(m,n)型行列A、体K上の(n,l)型行列Bに対して、積ABは定義できても、積BAは定義できない。
　（積BAの定義は、《Bの列数》lと《Aの行数》mの一致を要請するが、
　　　　m≠lの場合これが満たされないから、積BAは定義不能。）

・m=lの場合でも、体K上の(m,n)型行列A、体K上の(n,l)型行列Bに対して、AB=BAとならないケースがある。
　たとえば、
　
　　　
( 1
 		０ )
０ 2
( 0
 		1 )
1 0
≠
( 0
 		1 )
1 0
( 1
 		０ )
０ 2
　

・AB=BAが成り立つ場合、「AとBとは交換可能」という。[藤原『線形代数』2.1(p.25);]　


【体として実数体を指定した具体例】
　行列積は可換則を満たさない

【文献】　

　・斎藤『線形代数入門』2章§1(p.34)
　・藤原『線形代数』2.1(p.25)
　・『高等学校代数幾何』(p.83)

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定理：行列の積の結合則　


【舞台設定】

　K：体（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
　A , B ,C  ：体K上の(m,n)型行列　　

【本題】

　体K上の行列の積は、結合則を満たす。　

　すなわち、

　任意の体K上の(m,n)型行列A、体K上の(n,l)型行列B、体K上の(l,k)型行列Cに対して、
　「『AとBの積』とCとの積」は、「Aと『BとCとの積』との積」と等しい。
　　　　　(AB)C=A(BC)　　

※可換則は成り立たないことに注意。
※なぜ→証明　

【体として実数体を指定した具体例】

　　積の結合則　
　
【文献】　

　・『岩波数学辞典』83行列B(pp.219-220)
　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.4(p.25)
　・斎藤『線形代数入門』2章§1(p.34)
　・藤原『線形代数』2.1(p.26)
　・『高等学校代数幾何』(p.83;86)

定理：行列の積の分配則　

【舞台設定】

　K：体（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
　A , B ,C  ：体K上の(m,n)型行列　　

【本題】

体K上の行列の積は、分配則を満たす。　

すなわち、

・任意の体K上の(m,n)型行列A、体K上の(n,l)型行列B,Cに対して、
　　　A(B＋C)=AB＋AC　

・任意の体K上の(m,n)型行列A,B、体K上の(n,l)型行列Cに対して、
　　　(A＋B)C=AC＋BC

※可換則は成り立たないことに注意。

【体として実数体を指定した具体例】

　積の分配則

【文献】　

　・『岩波数学辞典』83行列B(pp.219-220)　
　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.4(p.25)　
　・斎藤『線形代数入門』2章§1(p.34)　
　・藤原『線形代数』2.1(p.26)　
　・『高等学校代数幾何』(p.83;86)


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定理：行列積とスカラー積

【舞台設定】

　K　　　：　体（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
　A , B   ：　体K上の(m,n)型行列　　
　c　　　：　体Kの元　　

【本題】

　任意の「体K上の(m,n)型行列」A、「体K上の(n,l)型行列」B、「体Kの元」cに対して、

　　　c(AB)=(cA)B=A(cB)　
　
※行列の積については、可換則は成り立たないから、AとBの位置は入れ替えられないことに注意。

【体として実数体を指定した具体例】

　行列積とスカラー積の混合　

【文献】　
　斎藤『線形代数入門』2章§1問2(p.34)　


定理：零行列との積　　　　　

【舞台設定】

　K　：　体（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
　A    ：　体K上の(m,n)型行列　　

【本題】

　任意の体K上の(m,n)型行列Aと、零行列との積は、零行列。
　　　A On,l ＝ Om,l 　　
　　　Ol,m A ＝ Ol,n 　

【体として実数体を指定した具体例】

　零行列との積　

【文献】

　・斎藤『線形代数入門』2章§1(p.34)


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(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目83行列(pp.219-)
線形代数のテキスト
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.4行列と一次写像(pp.23-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、I.ベクトルと行列の演算§2-3行列の演算(pp.4-16)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§2.2一般の行列(pp.54-60)、§2.3行列の演算(pp.60-65)、§2.4行列の操作(pp.66-70).
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、2.1行列の定義と演算(pp.21-29)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第2章行列§1行列の定義と演算(pp.31-40)。

ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、一次方程式(pp.1-27)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、17講線形写像と行列(pp.107-112)。

数理経済学のテキスト
西村和雄『経済数学早わかり』日本評論社、1982年、２章線形代数§2行列と行列式(pp.46-72)。
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、5章行列(pp.161-199):一次写像の行列表現を中心にしている。
William H. Greene（斯波・中妻・浅井訳） 『経済学体系シリーズ：グリーン計量経済分析I：改訂4版』エコノミスト社、2000年、第２章行列代数2.2行列の用語(pp.10-12);2.3行列の算法(pp.12-21)。
岩田暁一『経済分析のための統計的方法(第2版)』東洋経済新報社、1983年、12.1行列の演算(pp.269-277);12.4.2逆行列(pp.294-5)。