行列の積の結合則の証明

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証明：行列の積の結合則　　　　　

　[『岩波数学辞典』83行列B(pp.219-220);永田『理系のための線形代数の基礎』1.4(p.25);
　　斎藤『線形代数入門』2章§1(p.34);藤原『線形代数』2.1(p.26);『高等学校代数幾何』(p.83;86)]
(舞台設定)
K：体（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
A, B, C ：体K上の行列　
(定理の確認)
体K上の行列の積は、結合則を満たす。　
すなわち、
　任意の体K上の (m,n)型行列A、体K上の (n,l)型行列B、体K上の (l,k)型行列Cに対して、
　「『AとBの積』とCとの積」は、「Aと『BとCとの積』との積」と等しい。
　　　　　(AB)C=A(BC)　　

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(証明)　

行列における等号の定義にたちかえれば、
(AB)C=A(BC)とは、
　1.　(AB)CとA(BC)の型が一致し、　　
　2.　全ての対応する成分が等しい
という主張である。
以下1.,2.に分けて、この主張が成り立つことを示す。
1.　(AB)CとA(BC)の型は一致する。
　・任意の体K上の (m,n)型行列Aと、体K上の (n,l)型行列Bとの積は定義可能であり、　　
　　　ABは、体K上の (m,l)型行列となる。　　∵行列の積の定義　
　・体K上の (m,l)型行列(AB)と、体K上の (l,k)型行列Cとの積は定義可能であり、
　　　(AB)Cは、体K上の (m,k)型行列となる。　　∵行列の積の定義　　　
　・任意の体K上の (n,l)型行列Bと、体K上の (l,k)型行列Cとの積は定義可能であり、　　
　　　BCは、体K上の (n,k)型行列となる。　　∵行列の積の定義　
　・任意の体K上の (m,n)型行列Aと、体K上の (n,k)型行列(BC)との積は定義可能であり、　　
　　　A(BC)は、体K上の (m,k)型行列となる。　　∵行列の積の定義　
　以上から、(AB)Cも、A(BC)も、体K上の (m,k)型行列となって、型が一致する。　　　
2.　(AB)CとA(BC)の全ての対応する成分は等しい　　　
　A=(a_ij), B=(b_ij), C=(c_ij)とする。　　
　・ABのi行j列成分 (AB)_ij　(i=1,2,…,m, j=1,2,…,l )　は、行列の積の定義によって、　　
　　　　　(AB)_ij=a_i₁b_1j＋a_i₂b_2j＋a_i₃b_{3 j}＋…＋a_inb_nj　
　　　　　　　

　　…(1)　　
　・(AB)Cの i行j列成分 ((AB)C)_ij　(i=1,2,…,m, j=1,2,…,k )　は、　　　
　　　　　((AB)C)_ij=(AB)_i₁c_1j＋(AB)_i₂c_2j＋(AB)_i₃c_{3 j}＋…＋(AB)_ilc_lj　
　　　　　　　

　　　…(2)　　　
　・(1)を(2)に代入すると、　
　　((AB)C)_ij　
　　　

　　　　　
　　　=(a_i₁b₁₁＋a_i₂b₂₁＋a_i₃b₃₁＋…＋a_inb_n₁)c_1j　　　　　
　　　　　　　＋(a_i₁b₁₂＋a_i₂b₂₂＋a_i₃b₃₂＋…＋a_inb_n₂)c_2j　　　　　
　　　　　　　＋(a_i₁b₁₃＋a_i₂b₂₃＋a_i₃b₃₃＋…＋a_inb_n₃)c_{3 j}＋…
　　　　　　　…＋(a_i₁b_1l＋a_i₂b_2l＋a_i₃b_3l＋…＋a_inb_nl)c_lj　　　　　
　　　=(a_i₁b₁₁c_1j＋a_i₂b₂₁c_1j＋a_i₃b₃₁c_1j＋…＋a_inb_n₁c_1j)　　　　　
　　　　　　　＋(a_i₁b₁₂c_2j＋a_i₂b₂₂c_2j＋a_i₃b₃₂c_2j＋…＋a_inb_n₂c_2j)　　　　　
　　　　　　　＋(a_i₁b₁₃c_{3 j}＋a_i₂b₂₃c_{3 j}＋a_i₃b₃₃c_{3 j}＋…＋a_inb_n₃c_{3 j})＋…
　　　　　　　…＋(a_i₁b_1lc_lj＋a_i₂b_2lc_lj＋a_i₃b_3lc_lj＋…＋a_inb_nlc_lj) 　　　∵体における加法乗法の分配則　　
　　　

　…(3)　　
　・BCの i行j列成分 (BC )_ij　(i=1,2,…,n, j=1,2,…,k )　は、行列の積の定義によって、　　
　　　(BC )_ij=b_i₁c_1j＋b_i₂c_2j＋b_i₃c_{3 j}＋…＋b_ilc_lj　
　　　　　　　

　　…(4)　　
　・A(BC)の i行j列成分 ((AB)C)_ij　(i=1,2,…,m, j=1,2,…,k )　は、　　　
　　　　　(A(BC))_ij=a_i₁(BC )_1j＋a_i₂(BC )_2j＋a_i₃(BC )_{3 j}＋…＋a_in(BC )_nj　
　　　　　　　

　　　…(5)　　　　
　・(4)を(5)に代入すると、　　
　　(A(BC))_ij　
　　　

　　　
　　　=a_i₁(b₁₁c_1j＋b₁₂c_2j＋b_{1 3}c_{3 j}＋…＋b_1lc_lj)
　　　　＋a_i₂(b₂₁c_1j＋b₂₂c_2j＋b_{2 3}c_{3 j}＋…＋b_2lc_lj)
　　　　＋a_i₃(b₃₁c_1j＋b₃₂c_2j＋b_{3 3}c_{3 j}＋…＋b_3lc_lj)＋…
　　　　…＋a_in(b_n₁c_1j＋b_n₂c_2j＋b_n₃c_{3 j}＋…＋b_nlc_lj)　
　　　=(a_i₁b₁₁c_1j＋a_i₁b₁₂c_2j＋a_i₁b_{1 3}c_{3 j}＋…＋a_i₁b_1lc_lj)
　　　　＋(a_i₂b₂₁c_1j＋a_i₂b₂₂c_2j＋a_i₂b_{2 3}c_{3 j}＋…＋a_i₂b_2lc_lj)
　　　　＋(a_i₃b₃₁c_1j＋a_i₃b₃₂c_2j＋a_i₃b_{3 3}c_{3 j}＋…＋a_i₃b_3lc_lj)＋…
　　　　…＋(a_inb_n₁c_1j＋a_inb_n₂c_2j＋a_inb_n₃c_{3 j}＋…＋a_inb_nlc_lj)　　　∵体における加法乗法の分配則　　
　　　

　　　　…(6)　
・(3)(6)より、
　　((AB)C)_ij＝(A(BC))_ij　　　　
　なぜなら、
　　　　

　　と　

　は、
　　　足す順番が違うだけだから。（∵2重和の性質、体における加法の可換則）　
　つまり、
　　

　
　は、下表の、各行内を足し合わせてから、すべての行和を足し合わしたものであるのに対して、
　　

　
　は、下表の各列内を足し合わせてから、全ての列和を足し合わせたもの
　と言うだけであって、
　どちらも、下表すべての合計であることに変わらない。　　　

	a_ivb_vwc_wjで v=1	a_ivb_vwc_wjで v=2	a_ivb_vwc_wjで v=3	…	a_ivb_vwc_wjで v=n
a_ivb_vwc_wjでw=1	a_i₁b₁₁c_1j	a_i₂b₂₁c_1j	a_i₃b₃₁c_1j	…	a_inb_n₁c_1j
a_ivb_vwc_wjでw=2	a_i₁b₁₂c_2j	a_i₂b₂₂c_2j	a_i₃b₃₂c_2j	…	a_inb_n₂c_2j
a_ivb_vwc_wjでw=3	a_i₁b₁₃c_{3 j}	a_i₂b₂₃c_{3 j}	a_i₃b₃₃c_{3 j}	…	a_inb_n₃c_{3 j}
：	：	：	：		：
a_ivb_vwc_wjでw=l	a_i₁b_1lc_lj	a_i₂b_2lc_lj	a_i₃b_3lc_lj	…	a_inb_nlc_lj

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