体上の行列の加法・スカラー乗法 ：　トピック一覧

・定義：行列の和/行列のスカラー倍/−A/行列の差 　
・定理：行列の加法の性質/行列のスカラー乗法の性質　

【体上の行列関連ページ】
　・体上の行列の定義/正方行列に関する様々な定義　
　・行列積の定義　　　
　・逆行列･正則行列･特異行列の定義　
　・転置行列の性質/行列の代数系 　
　・行列の階数

【体として実数体を指定した具体例】
　・実行列の和・スカラー倍の定義　
　
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定義：行列の和　


【舞台設定】
　K：体（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
　A, B ：体K上の行列　

【本題】

・体K上の行列の和「A＋B」は、
　AとBの型が一致する場合に限り、
　対応する成分の「体Kに定義されている和」を成分とする行列として定義される。

・つまり、A, Bともにm×n行列であるならば、

　A ＋ B　　
＝












a11
 a12 …
 a1n




a21
 a22 … a2n

 ：
 ：
：

am1
 am2 … amn







＋












b11
 b12 …
 b1n




b21
 b22 … b2n

 ：
 ：
：

bm1
 bm2 … bmn







　
  　  　 　
　  
　










a11＋b11 a12＋b12 …
 a1n＋b1n



＝
 a21＋b21
 a22＋b22 … a2n＋b2n

 ：
 ：
：

am1＋bm1 am2＋bm2
… amn＋bmn







　と定義される。

　なお、aij ,bij は体Kの元であり、最終式の行列内の"＋"は、体Kに定義されている加法を指す。　

・上記定義を略記すると、m×n行列A=( aij ) , B=( bij )にたいして、A ＋ B = ( aij＋ bij )　　

【体として実数体を指定した具体例】

　・実行列の和

【文献】

　・『岩波数学辞典』83行列B(pp.219-220)
　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.4(p.24)
　・斎藤『線形代数入門』2章§1(p.32)
　・藤原『線形代数』2.1(p.22)


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定義：行列のスカラー倍　　

【舞台設定】
　K：体（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
　k：体Kの元　　
　A：体K上の行列　
【本題】
・k∈Kによる、K上の行列Aのスカラー倍・スカラー積 kAとは、
　　Aの各成分の「体Kに定義されている乗法」によるk倍を成分とする行列のこと。
・つまり、
kA ＝ k 












a11
 a12 …
 a1n




a21
 a22 … a2n

 ：
 ：
：

am1
 am2 … amn







 ＝ 












ka11
 ka12 …
 ka1n




ka21
 ka22 … ka2n

 ：
 ：
：

kam1
 kam2 … kamn







　
  　  　 　
　  

　と定義される。
　なお、aijは体Kの元であり、
　　　　最終式の行列内のkaijは、「体Kに定義されている乗法」によるkとaijとの積を指す。
・上記定義を略記すると、k∈K, A=(aij)にたいして、kA=(kaij)　　

【体として実数体を指定した具体例】

　・実行列のスカラー倍

【文献】
　・『岩波数学辞典』83行列B(pp.219-220)
　・永田『理系のための線形代数の基礎』1.4(p.24)
　・斎藤『線形代数入門』2章§1(p.32)
　・藤原『線形代数』2.1(p.23)]


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定義：−A　


【舞台設定】
　K：体（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
　k：体Kの元　　
　A：体K上の行列　

【本題】
・「−A」とは、(−1)∈Kと行列Aとのスカラー積のこと。
・つまり、
　−A＝(−1)A










a11
 		a12 …
 		a1n



=　(−1)　 a21
 		a22 … a2n

 ：
 		：
：

am1
 		am2 … amn







　　













　(−1)a11　
 		(−1)a12　 …
 		　(−1)a1n　



=　 　(−1)a21　
 		(−1)a22　 … 　(−1)a2n　

 ：
 		：
：

　(−1)am1　
 		(−1)am2　 … 　(−1)amn　







　　　　∵スカラー積の定義　　













−a11
 		−a12 …
 		−a1n



=　 −a21
 		−a22 … −a2n

 ：
 		：
：

−am1
 		−am2 … −amn







　　　　　∵体における積と符号の性質　　　
　　　　 　
【体として実数体を指定した具体例】

　・−(実行列)
　　　　　　　　
【文献】
　・藤原『線形代数』2.1(p.23)
　・『高等学校代数幾何』(p.79)


　
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定義：行列の差　


【舞台設定】
　K：体（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
　A, B ：体K上の行列　　　　　　

【本題】
行列Aと行列Bの差（A−B）とは、A＋(−B)のこと。　　　
つまり、AとBの型が一致する場合に限り、A−B＝A＋(−1)Bと定義される。
A, Bともにm×n行列であるならば、
　A−B　
＝












a11
 a12 …
 a1n




a21
 a22 … a2n

 ：
 ：
：

am1
 am2 … amn







−












b11
 b12 …
 b1n




b21
 b22 … b2n

 ：
 ：
：

bm1
 bm2 … bmn







　
  　  　 　
　  

＝












a11
 a12 …
 a1n




a21
 a22 … a2n

 ：
 ：
：

am1
 am2 … amn







＋(−1)












b11
 b12 …
 b1n




b21
 b22 … b2n

 ：
 ：
：

bm1
 bm2 … bmn







　
  　  　 　
　  
　
＝












a11
 a12 …
 a1n




a21
 a22 … a2n

 ：
 ：
：

am1
 am2 … amn







＋












(-1)b11
 (-1)b12 …
 (-1)b1n




(-1)b21
 (-1)b22 … (-1)b2n

 ：
 ：
：

(-1)bm1
 (-1)bm2 … (-1)bmn







　
  　 

　∵行列のスカラー積の定義　

 　
　  

＝












a11
 a12 …
 a1n




a21
 a22 … a2n

 ：
 ：
：

am1
 am2 … amn







＋












-b11
 -b12 …
 -b1n




-b21
 -b22 … -b2n

 ：
 ：
：

-bm1
 -bm2 … -bmn







　
  　 

　∵体における積と符号の性質　　

 　
　  
　
＝












a11-b11

a12-b12

…

a1n-b1n




a21-b21

a22-b22

…

a2n-b2n

 ：

：


：


am1-bm1

am2-bm2

…

amn-bmn







 　 

　∵行列の和の定義　　　

 　
　  
　
【体として実数体を指定した具体例】

　・実行列の差

【文献】
　・藤原『線形代数』2.1(p.23)
　・『高等学校代数幾何』(p.79)


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定理：行列の加法の性質　

【舞台設定】
　K：体（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
　A, B ：体K上の行列　　　　　　

【本題】

1：可換則　
　同じ型の任意の行列A,B,Cについて、行列の加法＋は、
　　　　A+B＝B+A
　を満たす。　　　
2：結合則　　
　同じ型の任意の行列A,B,Cについて、行列の加法＋は、
　　　　 ( A+B )+C ＝ A+( B+C )
　を満たす。　　　
3：零行列との和　　
　任意の行列Aと、同じ型の零行列Oとの間で、
　　　 A+O＝ O+A＝ A　　
　が成り立つ。　
4：　　　
　任意の行列Aと、同じ型の零行列Oとの間で、　
　　　A＋(−A)＝(−A)＋A＝O　　　　
　が成り立つ。

【体として実数体を指定した具体例】
  ・実行列の加法の性質　

【文献】
　・『岩波数学辞典』83行列B(pp.219-220)
　・斎藤『線形代数入門』2章§1(p.33)
　・藤原『線形代数』2.1(p.23)
　・『高等学校代数幾何』(p.79);]
　

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定理：行列のスカラー乗法の性質　　

【舞台設定】
　K：体（例：有理数をすべてあつめた集合Q、実数をすべて集めた集合R、複素数をすべてあつめた集合C）　
　A, B ：体K上の行列　　　　　　

【本題】

1：　　
　任意の行列Aと、体K上で定義された乗法の単位元"1" との、スカラー積1Aは、Aに等しい。　
　　　つまり、　1A＝A　

2：結合則　
　任意の行列Aと、任意のa,b∈Kについて、
　　「体K上で定義された積ab」とAとのスカラー積(ab)Aは、
　　　　　　aと「bとAとのスカラー積bA」とのスカラー積a(bA)に等しい。　　　　
　つまり、任意の行列Aと、任意のa,b∈Kに対して、(ab)A＝a(bA)

3：行列に関する分配則　　
　同じ型の任意の行列A,Bと、任意のa∈Kについて、
　　　aと「AとBとの和」とのスカラー積a(A+B)は、
　　　　　　「aとAとのスカラー積aA」と「aとBとのスカラー積aB」との和に等しい。　
　つまり、同じ型の任意の行列A,Bと、任意のa∈Kについて、a(A+B)＝aA+aB　　　

4：スカラーに関する分配則　　
　任意の行列Aと、任意のa,b∈Kについて、
　　「体K上で定義された和a+b」とAとのスカラー積(a+b)Aは、
　　　　　「aとAとのスカラー積aA」と「bとAとのスカラー積bA」との和に等しい。　
　つまり、任意の行列Aと、任意のa,b∈Kについて、(a+b)A＝aA+bA　　

【文献】
　・斎藤『線形代数入門』2章§1(p.33)
　・藤原『線形代数』2.1(p.23)
　・『高等学校代数幾何』(p.79)



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(reference)

日本数学会編集『岩波数学辞典（第三版）』 岩波書店、1985年、項目83行列(pp.219-)
線形代数のテキスト
永田雅宜『理系のための線形代数の基礎』紀伊国屋書店、1986年、1.4行列と一次写像(pp.23-6)。
佐武一郎『線形代数学(第44版)』裳華房、1987年、I.ベクトルと行列の演算§2-3行列の演算(pp.4-16)。
砂田利一『現代数学への入門：行列と行列式』2003年、§2.2一般の行列(pp.54-60)、§2.3行列の演算(pp.60-65)、§2.4行列の操作(pp.66-70).
藤原毅夫『理工系の基礎数学2：線形代数』岩波書店、1996年、2.1行列の定義と演算(pp.21-29)。
斎藤正彦『線形代数入門』東京大学出版会、1966年、第2章行列§1行列の定義と演算(pp.31-40)。

ホフマン・クンツェ『線形代数学I』培風館、1976年、一次方程式(pp.1-27)。
志賀浩二『数学30講シリーズ：線形代数30講』朝倉書店、1988年、17講線形写像と行列(pp.107-112)。


数理経済学のテキスト
西村和雄『経済数学早わかり』日本評論社、1982年、２章線形代数§2行列と行列式(pp.46-72)。
神谷和也・浦井憲『経済学のための数学入門』東京大学出版会、1996年、5章行列(pp.161-199):一次写像の行列表現を中心にしている。
William H. Greene（斯波・中妻・浅井訳） 『経済学体系シリーズ：グリーン計量経済分析I：改訂4版』エコノミスト社、2000年、第２章行列代数2.2行列の用語(pp.10-12);2.3行列の算法(pp.12-21)。
岩田暁一『経済分析のための統計的方法(第2版)』東洋経済新報社、1983年、12.1行列の演算(pp.269-277);12.4.2逆行列(pp.294-5)。